2019年概率论与数理统计期末模拟考试题库200题（含参考答案）

2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题［含

答案］

一、选择题

1.设随机变量X,Y相互独立，且均服从［0,1］上的均匀分布，则服从均匀分布的是

(B)。

A.XYB.(X,Y)C.X—YD.X+Y

2.已知随机变量X的概率密度为/x(x),令y=-2X+3,则丫的概率密度力S)为

(A)o

一；/x(-与马一与与丁…)D.…)

A.2，B，，

3.设总体X服从参数为彳的指数分布，办，工2,七，'当是一组样本值，求参数”的最大

似然估计。

2=，行"公=》屋亭InL=nIn2-AEx,.

解：似然函数/=1i=l

dinLnn

——Zx,=0

~dT2日'

4.设总体X服从参数为万的指数分布，苞，工2，七，'七，是一组样本值，求参数。的最大

似然估计。

n1-Xi

L=n-e0

解:，=i0

dinLn14=o(9=1£X.=X

ni=i

5.已知连续型随机变量X的概率密度为

2x,xG(0,A)

/(X)=

0,其它

求(1)A；(2)分布函数F(x)；(3)P(-O.5<X<1)»)

(1)Jf(x)dx-£2xdx-A2-1

解：A=1

(2)当x<O0寸，E(x)=J：/QMr=O

当0K工<1时，F(x)=「f(J)dt=「2tdt=x2

J-coJ0

当x>1时，F(x)=f=1

J-00

0,x<0

故F(x)=<x2,0<x<1

1,x>1

(3)P(-O.5<X<1)=F⑴一F(-0.5)=l

6.已知连续型随机变量X的概率密度为

/W=j\ok,x+\.0<其x<它2

求⑴k；(2)分布函数F(x)；(3)P(1.5<X<2.5)

(1)J/(x)tZx=£(kx+\)dx-^x2+x)|；=2Z+2=1

解：k=-1/2

V

(2)当x<0时，F(X)=1/(r)J/=O

X2

当0Vx<2时，F(x)=[*x,f(t)dt=c\x(-0.5/+l)J/=——+x

J-gJo4

当x>,F(A:)=ff(t)dt=1

J-OO

0,x<0

,x2

故F(x)=<-■—+x,0<x<2

1,x>2

(3)P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

7.设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算

如下：元=162.6%机，s=4.2Q7、求该校女生身高方差人的置信度为095的置信区

间。

2

(已知:笈g2⑻=17.535,a9752(8)=2.18；Zo,^(9)=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因为学生身高服从正态分布，所以

r(〃—1)S~2/1、

UF一~Z()”今一叱八心州2(8)}=0.95

(/?-l)S2(»-l)S2

〃的置信区间为：1%。25(〃-1)热975(〃T)J，的置信度0.95的置信区间为

’8x4.228x4.22、

,17.53552.180)即(8.048,64.734)

7'军警发生/=1，2,-,100,

8.设①(“)为标准正态分布函数，10'心贝U且

100

y=£x,.

P(A)=0.6,X|,、2,…，X⑼相互独立。令,=1则由中心极限定理知y的分布

函数尸(y)近似于(B)。

中(*①(*)

A.①⑺B,V24c①(V-60)D.24,

9.一批螺丝钉中，随机抽取9个，测得数据经计算如下：元=16.10C7〃，S=2.10CVM。设螺

丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差b?的置信度为0.95的置信区间。

222

(已知:备02s2(8)=17.535,ZO.975(8)=2.18；ZOO25(9)=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

〃一2/八

T"_(—1)5Z22

F一~()P{ZO.O25(8)<W<ZO,975(8)}=O.95

(»-l)S2(»-l)S2

/的置信区间为：〔总。25(〃一1)忘.975(〃-6

’8x2.1028x2.102、

〃的置信度0.95的置信区间为117.5352,180)即(2.012,16.183)

)X

10.设随机变量X在区间［1,2］上服从均匀分布，求Y=e-的概率密度f(y)0

1

［答案：当仁“yWe”时，f(y)=2y,当y在其他范围内取值时，f(y)=o.］

11.设随机变量X〜N(口，9),Y〜N(u,25),记

Pi=P{XK4_3},〃2={丫24+5},则(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

12.设①（X）为标准正态分布函数，

丫_〃，事件A发:生

7=jo,否则,=1'2,…，1。°，且P（A）=0.7

X],X2,…，X]0G相

100

y=£x,.

互独立。令-='，则由中心极限定理知丫的分布函数/（）'）近似于（B）。

①（二2）①（匕卫）

A.①⑴B,V21c①（k70）D.21）

13.设随机变量X的密度函数为f（x）,则Y=7—5X的密度函数为（B）

1y-71v-7

A.--A-2—)B.)

5555

C._〈/(一?

)D.)

55

14.设①（X）为标准正态分布函数，

H事件A发生.।,

X.=<一,z=1,2,…

0,小则且P（A）=p,X],X29'X”相互独

y这X,

立。令（-=）,则由中心极限定理知丫的分布函数/（>）近似于（B）。

①（厂叩）①

A.①（y）B.<〃PQ-P）c.①D,秋（i-p）

15.设X]，X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为工（X）和

人（X）,分布函数分别为片（X）和工（X）,则（B）。

A./（X）+&（X）必为密度函数B,耳（幻,工（X）必为分布函数

Cf]（x）+8（X）必为分布函数D./（x）"2（x）必为密度函数

16.设①（X）为标准正态分布函数，

fl,事件A发生.

A.=<一,Z=1,2,・•・，九，

0,pj则且P（A）=p,X],X2,,Xn相互独

r=£x,.

立。令-=',则由中心极限定理知丫的分布函数尸⑶)近似于(B)。

例广叩)①(上")

A.①(y)B,，秋(1一，)C.①(丁一”〃)D.〃p(l-p)

17.设随机向量(X,Y)联合密度为

\6x,0<x<y<l;

*、［o,其它.

f(x,y)=I

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<0或x>l时，fX(x)=O；

当O&W1时，仅伏尸匚力羽田力可向…武一).

6x-6x2,0<x<1,

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x0)=其丹匕它・

当y<0或y>l时，fY(y)=O；

当OWyWl时，"所口(国网小城=3/格=3优

3y2,0<y<l,

其中

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=1U0'丹匕.

(2)因为f(l/2,1/2)=3/2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8Wf(l/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

18.若A.B相互独立，则下列式子成立的为(A)。

AP(AB)-P(A)P(B)B.P(A8)=OcP(A\B)=P(B\A)D

P(A|B)=P(B)

19.若E(xr)=E(x)E(y),则⑴).

A.X和丫相互独立B.X与y不相关c.D(XY)=D(X)D(Y)D.

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

20.在假设检验中，下列说法错误的是(C)。

A.乩真时拒绝乩称为犯第二类错误。B.凡不真时接受乩称为犯第一类错误。

C.设P｛拒绝"I"。具）=%P｛接受4I%不真｝=尸，则a变大时£变小。

D.二.夕的意义同（C）,当样本容量一定时，&变大时则万变小。

1,事件A发生

xi=i=l,2,…，100,

21.设①（X）为标准正态分布函数，0,否则日

I旦

100

y=JX.

P（A）=0.3,X|,X2,…，相互独立。令/=1则由中心极限定理知y的分布

函数Ry）近似于（B）。

7

C.21JD①U-30)

A.①(y)

22.设总体X的数学期望EX=口，方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是来自总体X的简

单随机样本，则下列U的估计量中最有效的是(D)

A.—X\X)HXR4XqB.—X|H—X)H—Xq

616233333'3233

C.-X、H—X1XaX&D.-X]+-XrHX34—XA

515253544'424344

23.随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3（m/s）,设炮口速度服

从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差0的置信度为0.95的置信区间。

2

（已知:8通⑻=17.535,ZO975（8）=2.18;⑼=0⑴，心975）⑼=2.7）

因为炮口速度服从正态分布，所以

4力(〃1)P{篇二(8)<WM%O,9752(8)}=O.95

'(rt-l)S2(rt-l)S2、

的置信区间为:

f8x98x9

b?的置信度0.95的置信区间为117.535'2.180即(4.106,33.028)

’76、

24.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为6I。9)

求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9・2*6=4

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2

_G?v(x+y,x-y)__2_-i

Px+YX-Y~jz)(x+y)j£)(x-y)-V28*V4-V28

"28-2、

-24

所以，(X+Y,X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为I"和

fl*

V28

A1

25.连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件(C)。

A.0</(x)<lB.在定义域内单调不减

C.ff[.x}dx=1D.limf(x)=1

J-ocXf+00

26.某厂由甲.乙.丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1,各车间产品的

不合格率依次为8%,9%,12%o现从该厂产品中任意抽取一件，求：(1)取到不合格产

品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。(同步45页三.1)

解：设Al,A2,A3分别表示产品由甲.乙.丙车间生产，B表示产品不合格，则Al,A2,

A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2,P(A2)=l/3,P(A3)=l/6,

P(B|Al)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12。

由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09

由贝叶斯公式：P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9

27.正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为(次/分)：

28.715.114.815.015.314.915.214.615.1

已知方差不变。问在°=805显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15?

(已知：%05a5)=2.131,%0s(14)=2.145,U0025=1.960)

解：待检验的假设是〃一八选择统计量在〃。成立时

U~N(0,l)

?{|。1>的皿}=0.05取拒绝域w={IU»L960}

9MD一0.3/3-°-33|“<L960

x==14.967

经计算7

接受“。，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

29.已知某味精厂袋装味精的重量X〜N(M，4),其中〃=54=0.09,技术革新

后，改用新机器包装。抽查9个样品，测定重量为(单位：克)

30.已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4・55,0.1F)。现

抽测了9炉铁水，算得铁水含碳量的平均值亍=4445,若总体方差没有显著差异，即

0-2=0.11\问在。=°。5显著性水平下，总体均值有无显著差异？

(已知：

/005(9)=2.262,Z005(8)=2.306,UO()25=1.960)

u=x

解：待检验的假设是"。：4=4.5选择统计量b/血在"。成立时

U~N(0,l)

尸{|U|>w0025)=0.05取拒绝域w={।1>1-960}

山二尸"二4.445-甜=2.864

由样本数据知\(y/4n\0.11/3M>L96()拒绝名,即

认为总体均值有显著差异。

31.某厂生产铜丝，生产一向稳定，现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得

10

x=287.5,Za一唬『=1605

I。假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平

[=°」下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16?

22

(已知：%.052(10)=18.31,ZO95(1O)=3.94;ZO.O5(9)=16.9,4095?(9)=3.33)

,明(­

解：待检验的假设是选择统计量b?在“。成立时

⑼

也2小9)>卬>人95⑼}=0.90

取拒绝域w={W>16.92,W<3.33}

,W=1=1003

由样本数据知(〃-IB=160.51616.92>10.03>3.33

接受“。，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

32.设①（X）为标准正态分布函数，

X=?，事件A发生；,=12…1（K）

1o,否则。且尸（A）=0.1,X|,Xi（）o相互独

100

y这x,

立。令,则由中心极限定理知丫的分布函数E（y）近似于（B）。

①（钟

A.①⑶）B.3c①（3y+l0）D.①（9>+1°）

33.设A,B是两个随机事件，则下列等式中（C）是不正确的。

AP（AB）=P（A）P（B），其中A,B相互独立B.P（A3）=P（3）PW）,其中

P（B）HO

C.P（AB）=P（A）P（B）,其中A,B互不相容D,尸⑺与=P（A）P（@A）,其中

P（A）H0

34设①（x）为标准正态分布函数，

X=『，事件A发生；,=12…io。

10,否则。且P（A）=0.1,X],X2f-,Xg相互独

y=£1x00,.

立。令（=），则由中心极限定理知丫的分布函数/（>）近似于（B）。

①厘）

A.①⑴B.3'c①（3y+l°）D①（9y+l0）

35.设①（灯为标准正态分布函数，

vfl,事件A发生；.।c,A

Xi=<】=1,2,・・・，100,

0，否人（J；且P（A）=0.8,X],XZ,…,X]0G相

100

Y=XXi

互独立。令，则由中心极限定理知y的分布函数尸⑶）近似于（B）o

①（—0）

A.力（y）B.4'c.①（16y+80）D①（4y+80）

36.设（X|，X2，…,X,,）为总体N（1,22）的一个样本，灭为样本均值，则下列结论中正

确的是（D）。

v_11“y_1

----广~-1尸~尸（〃，1）—f=~产~N（0,l）

A.2/AM；B.4占;c.；D.

-1J”(X,-1)2~z2(n)

41=1；

37.设随机变量X〜N(u,9),Y〜N(N,25),记

｛｝则(

px=P[X<JU-3｝，P2=y>//+5>B)°

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

38.在假设检验中，下列说法错误的是(C)。

A."1真时拒绝乩称为犯第二类错误。B.凡不真时接受乩称为犯第一类错误。

C.设「｛拒绝।"。真｝=0,P｛接受“01”o不真｝=尸，则a变大时夕变小。

D.的意义同(C),当样本容量一定时，。变大时则仅变小。

39.设随机变量X的概率密度为/(x)=ce国，贝|」c=。

J__1_

(A)-2(B)0(C)2(D)1

40.设A,B为随机事件，P(8)>0,P(A|B)=1,则必有(A)。

A尸(AU8)=P(A)B.An8C,玖&=尸(或D.尸(AB)=P(A)

41.若E(xr)=E(x)E(y),则⑴)o

A.X和丫相互独立B.X与y不相关c.D(XY)=D(X)D(Y)D

o(x+y)=£>(x)+z)(y)

42.设随机事件A与B互不相容，且P(A)>P(5)>0,则(口)。

AP(A)=1—P(8)B.P(AB)=P(A)P(B)c.尸(AuB)=lD

P(AB)=1

43.抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是

O

(A)0.125,(B)0.25,(C)0.375,(D)0.5

44.若A.B相互独立，则下列式子成立的为(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)B.尸(A5)=0cP(A\B)=P(B\A)D

P(A|B)=P(B)

45.某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为

0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得元=°146

厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（a=0.05）

（同步52页四.2）【不一样】

46.设随机变量X〜N(U,81),Y〜N(U,16),记

0=P{X9},2={卜2〃+4},则(B)。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

47.设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计

算如下：元=16267,.1=18.43。求该校女生平均身高的95%的置信区间。

T=〜-1）,

解：S;&，由样本数据得〃=10,亍=16267,s~=18.43,2=0.05

查表得：t0.05（?）=2.2622,故平均身高的95%的置信区间为

（元Tow⑼吃，元+<05⑼为=（159.60,165.74）

48.设总体x的概率密度为

(e+i)d,0<x<l

f(x)=

0,其他

其中未知参数。>-1,X】，X2，一・X“是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求

e的估计量

〃。)=口(。+1)非(0<X,.<1;«=1,2,.••,«)

解：设似然函数Z=1

对此式取对数即

lnL（6）=〃ln（e+l）+e>JnXjd\nL

且dO

n

0=-\

d\nL八x

--------=0,ZIn'

令dO可得i,此即°的极大似然估计量。

49.袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱

内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。（课本117页41题）

50.已知随机变量X和y相互独立，且它们分别在区间［-1,3］和［2,4］上服从均匀分

布，则凤XK)=(A)。

A.3B.6C.10D.12

51.有」个球，随机地放在n个盒子中(yWn),则某指定的Y个盒子中各有一球的概率

为。

/!crZl匹C"—

(A)(B)”(C)7"(D)//“

52.工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(〃，b2),现从某日生产的零件

中随机抽出9个，分别测得其口径如下：

53.其平均寿命为1070小时，样本标准差S=109小时。问在a=°Q5显著性水平下，检

测灯泡的平均寿命有无显著变化？

(已知：

/005(9)=2.262,Z005(8)=2.306,UO()25=1.960)

解：待检验的假设为%：〃=U2°

T.一〃

V

选择统计量/乐当"。成立时，T〜t(8)81丁乜05(8)}=。05

取拒绝域亚={⑺>2306}由已知

1070-1120

=1.376

喝

|T|<2.306接受”。，即认为检测灯泡的平均寿命无显著变

化。

54.某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20,1)。在

某天的生产过程中，随机抽查4只表壳，测得直径分别为：19.519.820.020.5.

问在a=0.05显著性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常？

(已知:如5(4)=2.776,%5(3)=3/82,C7oa25=1.960)

解：待检验的假设为“。：〃=20选择统计量/yin当"。成立时，u〜

P{|UI>％.=0.05

14

亍=一2：芍=19.95|U|<1.960

取拒绝域w={|t/|>L960}经计算4,=l

接受”。，即认为表壳的均值正常。

55.已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在

某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375»试问在显著水平

a=0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？

(已知:力00252a0)=20.48,a975?。。)=3.25,%,02s2⑼=19.02,%。二⑼=2.7)

STU

解：待检验的假设是=80选择统计量/在“。成立时

⑼

22

^{ZO,O25(9)>W>ZO.975(9)}=O.95

取拒绝域亚=严>及023,W<2.7()。}

W=("1)S2=9X0.0375=]]25

003

由样本数据知。一

19.023>11.25>2.700

接受“。，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

56.某岩石密度的测量误差X服从正态分布"("，0?),取样本观测值*个，得样本方差

S?=0.04,试求cr2的置信度为95%的置信区间。

2

(已知：ZO.O25(16)=28.845,&9752a6)=6.908；400252a5)=27.488,%09752a5)=6.262)

解：由于x~Ms)所以

...(〃—1)S~2/八

w=-----，---/■(«-!)P优.2a5)WW〈友-(15)}=0.95

O--025

22

((H-DS(n-D5

)

2力0.025-1)为0.975("-1)

。一的置信区间为:

'15x0.0415x0.04

即(0.022,0.096)

ae的置信度0.95的置信区间为:、27.488'6.262

57.已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布'（〃，。?）。从中随机抽取9根，经计算得

其标准差为8.069。求人的置信度为0.95的置信区间。

（已知:您必⑼=19.023,总%（9）=27/必⑻=17.535,Z^5（8）=2.180）

解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

(〃-1)S2/

W=----；----22

(y~^ZO.O25(8)<W<Z0,975(8)}=0.95

(H-1)52(«-1)52

()

Zo.025(〃—1)40.975(〃—1)

的置信区间为:

’8x8.06928x8.0692

的置信度为0.95的置信区间为I05352.180(29.705,238.931)

(nn

y~，b|J

58.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口径X的标准差=°.15,求〃的置信度为0.95的置信区间。

(已知：/005(9)=2.262,/005(8)=2.306,£70025=1.960)

U=x-*~N(0,1)

解：由于零件的口径服从正态分布，所以b/册P{|U|</3人0.95

9

=

(X一“0.025~r，X+WOO25_7=^X==2X]=14.9

所以〃的置信区间为：7"经计算T

M的置信度为0.95的置信区间为(14.9-1.96*券,14.9+1.96、竽即

(14,802,14.998)

59.已知连续型随机变量X的分布函数为

X2

F(x)-<+Be2,x>0

[0,其它

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)«

(1)limF(x)=A=]

Xf+oo

lim1'(x)=A+8=0

.10*

解：8=T

(2)

x2/2

、口，/、\xe-,x>0

f(x)=F(x)=<

0,x<()

-2

⑶P(1<X<2)=F(2)—F(l)=e

60.已知连续型随机变量X的概率密度为

0<x<\

/(x)="

Io,其它

求(1)a；(2)X的分布函数F(x)；(3)P(X>0.25)»

(1)f(x)dx=£a\[xdx=go=1

解:a=3/2

(2)当x<0时,F(x)=「f(t)dt=O

J-co

当04x<l时,F(x)=]=皆&dt=x3/2

当x210寸,F(x)=\\f(t)dt=\

0,x<0

故F(x)=<0<x<l

1,x>\

⑶P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

61.设随机变量X的密度函数为f(x),则Y=5—2X的密度函数为(B)

y-5■V-5

A.--/(-)B.—/(-)

2222

y+5y+5

C.--/(-)D.—/(-)

2222

P(2)=—

62.设总体X服从参数为％的泊松分布*(%=0,1,),其中4>°为

未知参数，玉，工2，工3，，当是一组样本值，求参数力的最大似然估计。

n

匕=口"”Jr

i=l%!

n%,.!InL=Vx(.ln/l-y^ln(x;!)-n2

解：似然函数i=l/=1

^LL=ii_n=Q

daAn

63.设X”X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为工（工）和

力（无），分布函数分别为耳（X）和B（x）,则（B）。

A.工@）+%（X）必为密度函数B,耳（%）.工（无）必为分布函数

C.尸（1幻+居（幻必为分布函数D,工（X）,人（X）必为密度函数

「92、

21

64.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为'”')

求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+l-2*2=6

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=9-1=8

_Cov(X+y,X—y)_8_4

Px+Y-x-Y~j£>(x+y)jo(x-y)--V21

q4、

所以，（X+Y,X-Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为186；和

4

1

V21

4

、不1

65.已知随机变量X〜N（0,1）,求Y=|X|的密度函数。

解：当yWO时，FY（y）=P（YWy）=P（|X|Wy）=O；

当y>0时,FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=「㈠&X"y)

-x2,1dx=2~x2,2dx

因此，fY（y）=1°，

66设二元随机变量（XY）的联合密度是

10Tx+y)

x>0,y>0

f(x,y)=2500

0others

求：(1)关于X的边缘密度函数fX(x)；(2)P{X250,Y250}

(同步52页三.4)

[Ax0<x<2

f(x)={

67.设随机变量X的概率密度函数为I0°thers

求：(1)常数入；(2)EX；(3)P{1<X<3|；(4)X的分布函数F(x)(同步47页三.2)

r+00广2

f(x)dx=Axdx=1

解：(1)由jo得到入=1/2

2

EX-Jxf(x)dx=(gx=g

3r：

P{l<x<3f(x)dx=J也时=3

(3)24

F(x)=['Qdt=0

(4)当x<0时，J-

F(x)=ff(t)dt-[Odlr+f—tdt=—x2

当0«x<2时，J"晨J。24

当x22时，F(x)=1

0%<0

1,

F(x)=<~x20<x<2

68.设X-是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是(A)。

111213

〃=-X1+—X,

12^=-X.1+-X2p=-X.1+-X,2

A.22B,33c,44D.

23

〃=-+—X,

5152

69.已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含

碳量平均数元=4.445,样本方差S2=0.0169。若总体方差没有变化，即。2=0.121,

问总体均值U有无显著变化？(a=0.05)(同步50页四.1)

解：原假设HO：u=4.55

元—4.55

u=

0.11/J5,当H0成立时，U服从N（0,

统计量1）

对于a=0.