2024届广西南宁市“4+N”高中联合体高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2024届广西南宁市“4+N”高中联合体高三第三次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A． B．C． D．2．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．3．已知随机变量的分布列是则（）A． B． C． D．4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A． B． C． D．5．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）6．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（）A．16 B．14 C．12 D．87．的展开式中的常数项为()A．－60 B．240 C．－80 D．1808．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（）A．3 B． C． D．9．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（）A． B． C． D．10．已知集合，，，则集合()A． B． C． D．11．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（）A． B． C．8 D．612．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．14．已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________.15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________.16．若,则=______,=______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．18．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02419．（12分）已知抛物线与直线.（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.20．（12分）已知数列满足，，，且.（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）在数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值22．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0,），且满足a+b＝3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A，B，点M坐标为（2,1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？并说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故选B．【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．2、B【解析】

可判断函数在上单调递增，且，所以.【详解】在上单调递增，且，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.3、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得，得，所以，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．4、C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选．5、C【解析】

根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.6、B【解析】

取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果.【详解】取中点，连接，，，即.，，，则.故选：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.7、D【解析】

求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.【详解】由题意，中常数项为，中项为，所以的展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.8、C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故选：C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.9、D【解析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.【详解】类产品共两件，类产品共三件，则第一次检测出类产品的概率为；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；故选：D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.10、D【解析】

根据集合的混合运算，即可容易求得结果.【详解】，故可得.故选：D.【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.11、D【解析】

作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．【详解】如图所示，作，垂足为，设，由，得，则，.过点N作，垂足为G，则，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因为，所以为线段的中点，所以F到l的距离为．故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．12、D【解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出，从而得函数在区间上为增函数；在区间为减函数．即可得的最大值为，令，得函数取得最小值，由有实数解，，进而得实数的取值范围．【详解】解：，当时，；当时，；函数在区间上为增函数；在区间为减函数．所以的最大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：．故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.14、【解析】

连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围.【详解】如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，当最小时，最小，设点，则，所以当时，，则，当点的横坐标时，，此时，因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15、【解析】

由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得：,执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.16、10【解析】

①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.【详解】①由题：,则；②由①可得：.故答案为：①1，②0【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】

（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.【详解】（1），，，．（2）设，其中，则由题意：，故，即，考虑，可知：，或，若，则考虑，，，则，，但此时，，不满足题意；若，此时，满足题意，，其中为相异正整数．（3）记，则，首先，，设，其中，分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，而，，，对于，考虑，，其和大于，故其差，特别的，，，由，且，，以此类推：，，此时，故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.18、(1)；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】

（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，，故，，，，.所以的分布列为：01234数学期望为.或（）．【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.19、（1）；（2）证明见解析，或【解析】

（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）设，，，，表示出直线，的方程，利用表示出，，即可求定点的坐标．【详解】（1）设抛物线上点的坐标为，则，时取等号），则抛物线上的点到直线距离的最小值；（2）设，，，，，，直线，的方程为分别为，，由两条直线都经过点点得，为方程的两根，，直线的方程为，，，，，共线．又，，，解，，点，是直线上的动点，时，，时，，，或．【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）证明见解析；（2）【解析】