函数的单调性（原卷版）2

5.3函数的单调性【考点梳理】重难点：单调性考点一：增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．考点二：函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．重难点：函数的最大(小)值考点一:函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标考点二:求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【题型归纳】题型一：函数单调性的判定与证明1．（2020·高一课时）下列函数中在区间上单调递增的函数为（

）A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．3．（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）已知函数(1)判断并证明函数在区间上的单调性；(2)求函数在区间上的值域．题型二：根据函数的单调性求参数范围4．（2022秋·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2023·高一课时练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·高一课时练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：复合函数的单调性7．（2021秋·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（

）．A． B． C． D．8．（2023·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2020秋·江苏泰州·高一江苏省兴化中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．题型四：根据函数的单调性解不等式10．（2023·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．11．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期中）定义在上的函数满足（），且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．12．（2021秋·高一单元测试）已知函数为定义在R上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型五：根据函数的单调性求值域13．（2023秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2023·高一课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．15．（2019秋·江苏南通·高一江苏省西亭高级中学校考阶段练习）已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值题型六：函数不等式恒成立问题16．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2020秋·江苏苏州·高一统考期中）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．18．（2021秋·高一单元测试）定义在上的函数满足，当时：，若对任意的时，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型六：比较函数值大小问题19．（2023·高一课时练习）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．20．（2023秋·高一课时练习）定义在上的函数，对任意，有，则（

）A． B．C． D．21．（2022秋·高一单元测试）已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．题型七：函数的单调性的综合问题22．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，用定义法证明函数在上是减函数；(2)已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围.23．（2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末）已知函数(1)判断并证明函数在上的单调性；(2)若，对任意，，都有成立，求a的取值范围．24．（2022秋·江苏·高一淮阴中学校考期中）设是定义在上的函数，且对任意，，恒有且时，.(1)求的值；(2)证明函数在上单调递增；(3)若，且，求实数的取值范围.【双基达标】一、单选题25．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校）已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B．C． D．26．（2023·高一课时练习）已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．27．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．28．（2022秋·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2022秋·江苏南通·高一校考期中）若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．30．（2023春·江苏·高一校考开学考试）已知函数，且．(1)求实数a的值，并用单调性定义证明在上单调递增；(2)若当时，函数的最大值为，求实数m的值．31．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期中）已知函数f(x)＝x﹣．(1)判断并用定义法证明y＝f(x)在（0，+∞）上的单调性；(2)若∃x∈[1，2]，使得x2+成立，求m的取值范围．【高分突破】一、单选题32．（2022秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．33．（2023·高一课时练习）已知是定义在上的减函数，且对，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．34．（2023·高一课时练习）给出下列命题，其中错误的命题有（

）个①若函数的定义域为，则函数的定义域为；②函数，则③已知函数是定义域上减函数，若，则；④函数在定义域内是减函数A．1 B．2 C．3 D．435．（2023·高一课时练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（2023·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题37．（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数在上是单调递增B．函数在上是单调递增C．当时，函数有最大值D．当或时，函数有最小值38．（2022秋·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考期中）下列命题中正确的是（

）A．函数在上是增函数B．函数在上是减函数C．函数的单调减区间是D．已知在上是增函数，若，则有39．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则整数的取值可以是（

）A． B． C． D．40．（2023·江苏·高一专题练习）函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a，b恒有；②对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为G函数，下列函数为G函数的是（

）A． B．C． D．41．（2022秋·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（

）A．是函数的一个“和谐区间”B．函数存在“和谐区间”C．函数的所有“和谐区间”为、、.D．若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是三、填空题42．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为．43．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）已知函数对于任意，都有，则实数的取值范围是．44．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．45．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为．46．（2022秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考期末）用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是.四、解答题47．（2023·江苏·高一专题练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且.(1)求和的值；(2)证明函数为上的减函数；(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.48．（20