2021年上海市中考数学真题试卷

上海市2021年中考数学试题

一、选择题

1.下列实数中，有理数是（）

'4RegD

【答案】C

解：

A、J:：乎：夜是无理数，故£是无理数

B、6是无理数,故R是无理数

C、为有理数

V42

D、£=?；&是无理数,故［是无理数

故选：C

【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键

2.下列单项式中，//的同类项是（）

2

A.B.2a2及C.abD.加

【答案】B

【详解】的指数是3,b的指数是2,与///中。的指数是2,6的指数是3不一致，

不是//的同类项，不符合题意；

•.%的指数是2,6的指数是3,与中。的指数是2,。的指数是3一致，

是的同类项，符合题意；

♦.Z的指数是2,6的指数是I,与中”的指数是2,b的指数是3不一致，

不是/匕3的同类项，不符合题意；

♦.Z的指数是1,匕的指数是3,与/犷中a的指数是2,匕的指数是3不一致,

不是//的同类项，不符合题意;

故选8

【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键.

3.将抛物线>=以2+区+c（awO）向下平移两个单位，以下说法错误的是（）

A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变

【答案】D

【详解】将抛物线旷=以2+陵+。（。力0）向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故），随x的变

化情况不变；与y轴的交点改变

故选D.

【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点.

4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）

A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包

【答案】A

【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，

选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适.

故选：A.

5.如图，已知平行四边形A8CD中，AB=a,AD=b，E为A8中点,^.—a+b=()

2

£H

A.ECB.CEC-EDD-DE

【答案】A

【详解】•••四边形ABC。是平行四边形，E为A3中点,

：.-a+b^-AB+BC^EB+BC^EC

22

故选A.

6.如图，已知长方形A3CD中，AB=4,AO=3,圆8的半径为1,圆A与圆8内切，则点C,。与圆A

的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点。在圆A内B.点C在圆A外，点。在圆4外

C.点C在圆A上，点。在圆A内D.点C在圆A内，点。在圆A外

【答案】C

•..圆4与圆8内切，AB=4,圆B的半径为1

.•.圆A的半径为5

•；AZ)=3<5

.•.点。在圆4内

2222

在用ZV1BC中，Ac=y/AB+BC=74+3=5

.•.点C在圆A上

故选：C

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键

二、填空题

7.计算：x1-i-x2=------------

【答案】X5

【详解】

故答案为：X5.

8.已知，（x）=g,那么/（由）=---------

X

【答案】2也.

6

解：•••/（%）=一,

X

f电）=^=26,

故答案为：2也.

［点睛］本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键•

9.已知«74=3,则*=------------

【答案】5

解：Jx+4=3，

两边同平方，得尤+4=9，

解得：x=5,

经检验，％=5是方程的解，

故答案是：5.

10,不等式2x-12<0的解集是-

【答案】x<6

【详解】2x-12<0

2%<12

x<6

故答案为：x<6.

11.70°的余角是•

【答案】20。

［详解】70°的余角是90°-70°=20°

故答案为：20。.

12.若一元二次方程2x2—3x+c=0无解，则c的取值范围为.

9

【答案】c〉一

8

解：关于x的一元二次方程2尤2—3x+c=0无解，

a=2,Z?=-3>c=c,

：.=/-4ac=(-3)2-4X2C<0,

9

解得c>一,

8

9

；.c的取值范围是c>'.

8

9

故答案为：c>—.

8

13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34,从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为.

【答案】f

O

【分析】根据概率公式计算即可

【详解】根据概率公式，得偶数的概率为J,

O

,3

故答案为：-.

O

【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键.

14.已知函数丫=后经过二、四象限，且函数不经过请写出一个符合条件的函数解析式.

【答案】y=-2x(攵<0且Zw—1即可)

【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0,又不经过(-1,1),得到厚-1,由此即可求解.

解：•.•正比例函数y=履经过二、四象限，

：.k<0,

当y=Ar经过(-1,1)时,k=-l,

由题意函数不经过说明后-1,

故可以写的函数解析式为：y=-2%(本题答案不唯一，只要％<0且Zw-1即可).

【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，丫=丘(原0)当女<0时经过第二、四象限；当

%>0时经过第一、三象限.

15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千

克，现以8元/千克卖出，赚元.

33人

【答案】

丁

【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为y=g+〃(5WxW10),将(5,4k),(10,k)代入

关系式：

5m+n=4km-~~k

1。，〃+〃=/解得5

n=7k

3

y=-：h+72(5K10)

令x=8,则y=

1I33

，利润二(8—5)x,Z=^Z

16.如图，已知q白些=i不，则q^:二―

3BCD23BCD

2

【答案】-

3

解：作AE_L8C,CFVBD

・・SABD=1

*S~2

uBCD4

•••△ABD和△3CQ等高，高均为AE

o_ADAE4n[

.・・SA8J2=丝」

SBCDIfiCAEBC2

2

•:AD//BC

・・・MAODsXCOB

——OD=A——D=1一

OBBC2

•••△80C和△OOC等高，高均为CF

0BCF

SBOC\OB2

•D(JC—乙——

**---：------~j---------------------——

SDOCLoDCF°。1

2

.SBOC__2

SBCD3

2

故答案为：一

3

17.六个带30。角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求中间正六边形的面积

解：如图所示，连接AC、AE、CE,作BG_LAC、DI_LCE、FHLAE.A/±CE,

在正六边形ABCQEF中，

•••直角三角板的最短边为1,

...正六边形ABCOEF为1,

/\ABC.XCDE、为以1为边长的等腰三角形，4ACE为等边三角形，

:NABC=NCDE=NEFA=120°,AB=BC=CD=DE=EF=FA=1,

：.ZBAG=ZBCG=ZDCE=ZDEC=ZFAE=ZFEA=30°,

:.BG=DI=FH=L,

2

...由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=^-,

2

：.AC=AE=CE=6

3

...由勾股定理得：AI=~,

2

5=3x—xV3x—+—x5/3x—=XE,

22222

故答案为：空.

2

18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形,

边长为2,中心为。，在正方形外有一点P,0P=2,当正方形绕着点。旋转时，则点尸到正方形的最短距

离d的取值范围为.

【答案】2-42<d<\

解：如图1,设的中点为E,连接。4,0E,则AE=OE=1,NAEO=90°,。4=行.

.•.点。与正方形ABC。边上的所有点的连线中,

0E最小，等于1，0A最大，等于J5.

.•.点P与正方形A3CD边上的所有点的连线中，

如图2所示，当点E落在0P上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；

如图3所示，当点A落在0P上时，最小值PA=PO—AO=2—J5.

当正方形A8C£>绕中心0旋转时,点P到正方形的距离d的取值范围是2—起<d<\-

故答案为：2-也WdVl

三、解答题

19.计算：95+|1-V2|-2-IXV8

【答案】2

解：93+11—01—2一1x返，

=V9-(1-V2)-^X2V2,

=3+V2-l-V2，

=2.

x+y=3

20.解方程组:

x2-4y2=0

x=2x=6

【答案】和＜

[y=lfy=-3

x+y=3(1)

解：由题意:

22

x-4y=0(2)

由方程(1)得到：尤=3-y,再代入方程(2)中:

得到：(3-y)2-4y2=0,

进一步整理为：3-y=2y或3-y=-2y,

解得X=l，%=-3，

再回代方程(1)中，解得对应的演=2,々=6，

x—2x=6

故方程组的解为：，和《.

.y=i[y=-3

21.已知在△A3。中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZABC=BP为AO边上的中线.

(1)求AC的长；

(2)求tan的值.

3

【答案】(1)AC=6；(2)—

10

4

【详解】(1)•.•ACLBO,cosZABC=-

AcosZABC=—=-

AB5

：.AB=IO

；•AC=J/§2一BC.z=6：

(2)过点F作FG_LBD,

：BE为A。边上的中线.

.•.尸是AO中点

'：FG±BD,ACA.BD

：.FG//AC

；.FG是△人□)的中位线

：.FG=-AC=3

2

CG=-CD=2

2

22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图.

（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB,下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒,

求5G手机的下载速度.

【答案】（1）36万部；（2）100MB/秒

【详解】⑴3月份的百分比=1-30%-25%=45%

三月份共生产的手机数=80x45%=36（万部）

答：三月份共生产了36万部手机.

(2)设5G手机的下载速度为尤MB/秒，则4G下载速度为(x-95)MB/秒,

10001000

由题意可知:-----------------=190

x-95x

解得：x=100

检验：当x=100时，—95)/0

100是原分式方程的解.

答：5G手机的下载速度为100MB/秒.

23.已知：在圆。内，弦A。与弦8C交于点G,AO=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG.

(2)联结AC,AM,CN,当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【详解】证明：(1)连结。W,ON,

•；M、N分别是CB和的中点，

：.OM,ON为弦心总回

：.OM±BC,ON1AD,

ZGMO=ZGNO=90°,

在。中，AB=CD,

OM=ON,

在RtxOMG和RsONG中，

OM=ON

OG=OG'

Rt\GOM^Rt\GON(HL),

:.MG=NG,NMGO=NNGO,

，OGIMN;

(2)设OG交MN于E,

RtkGOM色RtkGON〈HL),

MG=NG,

NGMN=4GNM,即Z.CMN=NANM,

CM=-CB=-AD=AN,

22

在△CMN和△ANM中

CM=AN

-4cMN=4ANM,

MN=NM

CMN"ANM,

AM=CN,ZAMN=4CNM,

,:CN〃OG,

：.NCNM=NGEM=90°,

：.4AMN=4CNM=90°,

NAMN+4CNM=90°+90°=180°,

:.AM〃CN,

ACNM是平行四边形，

ZAMN=90°,

四边形ACMW是矩形.

24.已知抛物线y=ax2+c(a¥0)过点尸(3,0),0(1,4).

(2)点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作轴于8,以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC.

①若A与。重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C落在抛物线上，求C的坐标.

【答案】(1)y-X2H—；(2)①1；②点C的坐标是(一2,7]

22I2)

,f9a+c=0,

【详解】⑴将「(3,0)、。(1,4)两点分别代入〉=加+。，得《

Q+C=4,

19

解得Q=__,C=_.

22

19

所以抛物线的解析式是y=-2x7+2'

(2)①如图2,抛物线的对称轴是y轴，当点A与点。(1,4)重合时，AB=4,

作SLAB于从

ABC是等腰直角三角形，

C8”和C4H也是等腰直角三角形，

CH=AH=BH=2,

...点C到抛物线的对称轴的距离等于1.

3&+Z?=0,

②如图3,设直线PQ的解析式为尸去+〃，由尸（3,0）、2（1,4）,得v

k+b=4,

k=—2,

解得

b=6,

・•・直线PQ的解析式为y=-2%+6,

设A(m,-2m+6),

AB=-2m+6,

所以C”=BH=AH=一根+3.

m

所以>c=~+3,xc=-(-in+3-m)=2m-3.

19

将点C(2加-3,+3)代入y=-]%29+],

1,9

得一m+3=——（2加一3尸+—.

22

整理，得2>-7帆+3=0.

因式分解，得（2加一1）（加-3）=0.

解得根=’,或加=3（与点3重合，舍去）.

2

当机=，时，2机—3=1—3=—2,—m+3=——+3=—.

222

所以点C的坐标是

【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方

程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键.

25.如图，在梯形ABCD中，4。//3。,/48。=90。,4。=8,。是对角线4。的中点，联结8。并延

长交边CD或边于£.

(1)当点E在边CO上时，

①求证：DAC^OBC-,

②若BELCD,求吆的值；

BC

(2)若DE=2,OE=3,求CO的长.

2

【答案】(1)①见解析；②];(2)1+J历或3+J历

【详解】(1)①由AD=C。，得N1=N2.

由AD//BC,得N1=N3.

因为8。是RtZkABC斜边上的中线，所以。8=0。.所以/3=N4.

所以/1=N2=N3=N4.

所以D4csOBC.

②若BELCO,那么在RtBCE中,由N2=N3=N4.可得N2=/3=/4=30。.