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文档简介
北京市育英学校2023-2024学年高考数学三模试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设向量,满足,,,则的取值范围是A. B.C. D.2.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()A. B.C. D.3.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线与轴交于点,线段与交于点.若,则的方程为()A. B. C. D.4.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势5.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()A.2 B.5 C.7 D.86.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.7.如图,正方体中,,,,分别为棱、、、的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线8.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.9.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.10.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.11.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.12.已知集合,,若AB,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数过定点________.14.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_________.15.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.16.在如图所示的三角形数阵中,用表示第行第个数,已知,且当时,每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即,若,则正整数的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,为推动新能源汽车产业迅速发展,有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量(单位:万台)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图.(1)求直方图中的值,并估计销量的中位数;(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表),并以此预计年的销售量.18.(12分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.19.(12分)已知函数,其中.(1)讨论函数的零点个数;(2)求证:.20.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.21.(12分)(1)求曲线和曲线围成图形的面积;(2)化简求值:.22.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.2、C【解析】
设,,则,,相减得到,解得答案.【详解】设,,设直线斜率为,则,,相减得到:,的中点为,即,故,直线的方程为:.故选:.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.3、D【解析】
由题可得,所以,又,所以,得,故可得椭圆的方程.【详解】由题可得,所以,又,所以,得,,所以椭圆的方程为.故选:D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆标准方程的求解.4、D【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.5、B【解析】
求出,,,,,,判断出是一个以周期为6的周期数列,求出即可.【详解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一个以周期为6的周期数列,则.故选:B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.6、C【解析】
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.7、C【解析】
充分利用正方体的几何特征,利用线面平行的判定定理,根据判断A的正误.根据,判断B的正误.根据与相交,判断C的正误.根据,判断D的正误.【详解】在正方体中,因为,所以平面,故A正确.因为,所以,所以平面故B正确.因为,所以平面,故D正确.因为与相交,所以与平面相交,故C错误.故选:C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征,线面平行的判定定理,还考查了推理论证的能力,属中档题.8、D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.9、A【解析】
先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.10、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.11、C【解析】
根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.12、D【解析】
先化简,再根据,且AB求解.【详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
令,,与参数无关,即可得到定点.【详解】由指数函数的性质,可得,函数值与参数无关,所有过定点.故答案为:【点睛】此题考查函数的定点问题,关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关,熟记常见函数的定点可以节省解题时间.14、【解析】
将四面体补成一个正方体,通过正方体的对角线与球的半径的关系,得到球的半径,利用球的表面积公式,即可求解.【详解】如图所示,将正四面体补形成一个正方体,则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,设球的半径为,因为球的直径是正方体的对角线,即,解得,所以球的表面积为.【点睛】本题主要考查了有关求得组合体的结构特征,以及球的表面积的计算,其中巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长,得到球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及运算与求解能力,属于基础题.15、.【解析】
先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.16、2022【解析】
根据条件先求出数列的通项,利用累加法进行求解即可.【详解】,,,下面求数列的通项,由题意知,,,,,,数列是递增数列,且,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键.综合性较强,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),中位数为;(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为万台,以此预计年的销售量约为万台.【解析】
(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可计算出的值,利用中位数左边的矩形面积之和为可求得销量的中位数的值;(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积,相加可得出销量的平均数,由此可预计年的销售量.【详解】(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为,则,解得,由于,因此,销量的中位数为;(2)由频率分布直方图可知,新能源汽车平均每个季度的销售量为(万台),由此预测年的销售量为万台.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.18、见解析【解析】试题分析:把不等式的左边写成形式,利用柯西不等式即证.试题解析:证明:∵,又,∴考点:柯西不等式19、(1)时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)见解析【解析】
(1)利用的导函数,求得的最大值的表达式,对进行分类讨论,由此判断出的零点的个数.(2)由,得到和,构造函数,利用导数证得,即有,从而证得,即.【详解】(1),∴当时,,当时,在上递增,在上递减,.令在上递减,在上递增,,当且仅当时取等号.①时,有一个零点;②时,,此时有两个零点;③时,,令在上递增,,此时有两个零点;综上:时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)由(1)可知:,令在上递增,.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.20、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面,所以由为等腰直角三角形,所以又,故平面.取的中点,连接,因为,所以因为平面,所以平面所以平面如图,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系则,又,所以且于是设平面的法向量为,则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为,则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角,属于中档题.21、(1)(2)【解析】
(1)求曲线和曲线围成的图形面积,首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求在区间上的定积分.(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出,然后再整体代入可得;【详解】解
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