2024高考数学教材-解析几何

2024高考数学教材一解析几何

目录

1.直线的倾斜角与斜率、直线的方程.....................................1

2.两直线的位置关系...................................................10

3.圆的方程...........................................................23

4.直线与圆、圆与圆的位置关系........................................32

5.椭圆................................................................43

6.双曲线.............................................................58

7.抛物线.............................................................73

8.直线与圆锥曲线的综合问题..........................................85

1.直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课程标准考向预测

1.在平面直角坐标系中，结合具体

图形，探索确定直线位置的几何要素.

考情分析：直线方程单独考查较

2.理解直线的倾斜角和斜率的概

少，与圆的方程、圆锥曲线方程结合考

念，经历用代数方法刻画直线斜率的过

查是高考的热点，各种题型都有.

程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

学科素养：直观想象、数学抽象、

3.根据确定直线位置的几何要素，

数学运算.

探索并掌握直线方程的几种形式（点斜

式、两点式及一般式）.

❷等分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关

V学生用书P136

I整知识I

1.直线的倾斜角

⑴定义

(2)范围：直线的倾斜角a的取值范围是：［0,7t1.

2.直线的斜率

条件公式

直线的倾斜角仇且。#90°Z=tan-

,yi—y2

直线过点A(X1,yi),8(X2,>2)且k一

XI~X2"

,A

直线Ar+By+C=0(BW0)

K—Br

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜

y—yo=A(x~~xo)不含直线x=xo

式

斜截

y=Ax+/?不含垂直于X轴的直线

式

两点y-yix-x\不含直线x=xi(xi#x2)和直线y=

式y2-y\X2~x\yi(yiW")

截距

a+b=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

式

一般Ar+By+C=0,A2+

平面内所有直线都适用

式」WO

［注意］“微距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是

零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.

4.线段的中点坐标公式

若点a,P2的坐标分别为⑶，y),(X2,刈，线段PlP2的中点M的坐标为

‘幻+尢2

x—2，

(x,y),则〈；此公式为线段PP2的中点坐标公式.

yi十y2

卜=亍，

1.直线倾斜角和斜率的关系

(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.

(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为攵=tana,当aW0,野时，a

越大，斜率々就越大，同样ad仔，兀)时也是如此，但当ad[0,兀)且a器时就

不是了.

2.特殊直线的方程

(1)直线过点Pi(xi,yi),垂直于无轴的方程为x=xi；

(2)直线过点Pi(xi,yi),垂直于y轴的方程为y=yi；

(3)y轴的方程为x=0；

(4)x轴的方程为y=0.

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()

(3)若直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.()

(4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()

(5)经过点P(xo,yo)的直线都可以用方程y—yo=Z(x—xo)表示.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X

2.(必修2P95练习T2改编)直线1：xsin30°+ycos150°+a=0的斜率为

()

A.坐B.小C.一小D.—

•\/3.1sin30°

A[cos150°——0,sin30°=5,所以16co—-

22k——cos150

1

_工一齿］

_也_3

2

3

3.已知直线/经过点P(—2,5),且斜率为一彳，则直线/的方程为()

A.3x+4y—14=0B.3x—4y+14=0

C.4x+3y—14=0D.4光一3y+14=0

3

A［由y—5=—1(x+2),得3x+4y—14=0.］

4.若过点M(—2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m=.

4—m

解析：由仁=1,得4—机=机+2,即“2=1.

〃，十2

答案：1

5.已知△ABC的三个顶点坐标为4(1,2),8(3,6),C(5,2),M为A3的

中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为.

解析：由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直线的方程为^

整理得2x+y-S=Q.

答案：2x+y—8=0

v学生用书P137

直线的倾斜角与斜率

［题组练透］

1.若经过两点A(4,2y+l),B(2,-3)的直线的倾斜角为半，则y等于()

A.-1B.-3C.0D.2

,—3~2v-13n

B［由k=---或蠢---=tan—=—1.

得一4-2y=2,.'.y=­3.］

2.(2020.山东省青州第一中学高二月考)如图，直线/i,h,上的斜率分别为

h,依，依，倾斜角分别为④，CC2,a3,则下列选项正确的是()

A.k\<h<kiB.h<ki<k\

C.a\<a3<azD.a3<ai<a\

AD[如图，直线/1,/2,/3的斜率分别为依，依，上，倾斜角分别为ai,a

2,a3,则女2>%3>0,依<0,

故Gti>a2>a3〉0,且ai为钝角.故选AD.]

3.若点A(4,3),3(5,d),C(6,5)三点共线，则a的值为.

5—3ci-3

解析：因为kAC=Z7=1，kAB=£7=G-3.

由于A,B,。三点共线，所以a—3=1,即a=4.

答案：4

4.直线/过点P(l,0),且与以A(2,1),仇0,小)为端点的线段有公共点，

则直线/斜率的取值范围为.

1—0

解析：如图，因为kAP=\T-1,

2—1

所以收(一8,一小]U[1,+0°).

答案：(-8,一小]U[1,+°°)

斜率取值范围的三种求法

(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结

合正切函数的单调性确定(如题3).

(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化线线、线面

的位置关系，构造不等式求范围.

(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.

直线的方程

（1）已知点M是直线/：2x—>—4=0与x轴的交点，将直线/绕点M

按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是（）

A.%+厂3=0B.x~3y~2=0

C.3x—y+6=0D.3x+y—6=0

（2）（多选）（2020.市中区校级期中）过点P（2,3）,并且在两轴上的截距相等的

直线方程为（）

A.x+y—5=0B.2x+y—4=0

C.3x—2y=0D.4%—2丫+5=0

（1）D（2）AC[⑴设直线/的倾斜角为a,则tana=：=2,

TV

直线I绕点M按逆时针方向旋转45°,所得直线的斜率〃=tan（a+疝）=

2+1

।5=-3,又点M（2,0）,

1—ZX1

所以y=-3（尤—2）,即3x+y—6=0.

3

（2）当直线经过原点时，直线的斜率为2=],

所以直线的方程为x,即3x—2y=0；

当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=a,

代入点P（2,3）可得。=5,

所以所求直线方程为尤+y=5,即x+y—5=0.

综上可得，所求直线方程为：x+y-5=0或3%—2y=0.故选AC.]

恸归纳升华

1.求解直线方程的两种方法

根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方

直接法

程

①设所求直线方程的恰当形式（点斜式、斜截式、两点式、截

待定距式和一般式）；

系数法②由条件建立所求参数的方程（组）；

③解这个方程（组）求出参数；

④把参数的值代入所设直线方程

2.谨防三种失误

(1)选用点斜式和斜截式时，要注意讨论斜率是否存在.

(2)选用截距式时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0(如本例(2)).

(3)选用一般式Ax+3y+C=0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.

1.过点4-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的一"的直线方程为

解析：设所求直线的斜率为人,依题意

仁一(X3=-1•

又直线经过点A(—l,-3),

3

因此所求直线方程为y+3=—彳(x+1),

即3x+4y+15=0.

答案：3x+4y+15=0

2.过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为

解析：设直线方程的截距式为By+5=1,则岛+5^=1，解得。

ClI1C4I1W

=2或a=l,则直线的方程为壮7+W=1或备=1,即2x+3y-6=0

乙I141I11

或x+2y—2=0.

答案：2x+3y—6=0或x+2y—2=0

直线方程的综合利用讲练型

过点P(4,1)作直线/分别交x轴，)轴正半轴于A,B两点.

(1)当△AOB的面积最小时，求直线/的方程；

(2)当|0川+|0目取最小值时，求直线/的方程.

解析：设直线/：:+今=l(a>0,。〉0),因为直线/经过点P(4,1),所

41

以-

+--^-

Q匕1

414/4

⑴因知+豆=122aby[ab

所以股以16,当且仅当a=8,。=2时等号成立,

所以当a=8,8=2时，4AOB的面积最小,

此时直线/的方程为］+1=1,

即x+4y—8=0.

41

因为-

十

1於O

--*1

2)aPJ>0,

（41、ci4-b

所以|OA|+Q8|=a+O=（a+份=5+^+—29,

当且仅当a=6,。=3时等号成立，

所以当|0A|十|08|取最小值时，直线/的方程为x+2y—6=0.

争归纳升华

直线方程综合问题的两大类型及解法

（1）与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x,y的

关系，将问题转化为关于M或y）的函数，借助函数的性质解决.

（2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识（如

方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等）来解决（如本例）.

1.（变结论）本例条件不变，求当|或\-\PB|取得最小值时直线/的方程

解析：设A(a,0),B(0,b),则。＞0,解0,

41

一-

、

直线/的方程为宗=1,匕

。

|或||丽|=一成•PB

=—(«—4,—1)-(—4,b—1)

=4(a—4)+b—1=4a+/?-17

=(4。十错十?-17

=16+Mb+a-+1—1722X4=8

当且仅当a=b=5时取等号，此时直线I的方程为x+y-5=0.

2.当心0时，两直线依一y=0,2龙+竹一2=0与x轴围成的三角形面积的

最大值为.

解析：直线2%+6一2=0与x轴交于点(1,0).由L,仁，、解得y

、2x十价一2=0,

2k

=F+2，

所以两直线依一y=0,2x+。-2=0与x轴围成的三角形的面积为gXIX

2k1

3+2

又A+号22yz•生=2也,

当且仅当％=地时取等号，故三角形的面积的最大值为#.

答案：乎

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2.两直线的位置关系

课程标准考向预测

考情分析：确定两条直线的位置

1.能根据斜率判定直线平行或垂

关系，已知两条直线的位置关系求参数，

直.

求直线的交点和点到直线的距离，对称

2.能用解方程组的方法求两条相交

问题，过定点的直线系问题是高考考查

直线的交点坐标.

的热点，往往和圆锥曲线综合起来.题

3.探究并掌握两点间的距离公式、

型多为解答题.

点到直线的距离公式，会求两条平行直

学科素养：直观想象、逻辑推理、

线间的距离.

数学运算.

❷0分步落实

V学生用书P138

I整知识I................................................

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

两直线位置关

条件斜率的关系

系

两条不重%1=42

平行

合的直线1\,队与心都不存在

b,斜率分别为kik2=-1

垂直

ki,kik\与ki一个为零、另一个不存在

［注意］在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直

线斜率存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑.

2.两条直线的交点

3.三种距离公式

三种距

条件公式

离

两点间|AB|=

A(XHyi),8(x2,yi)

的距离错误!

点到直

P(xo,yo)到直线Ax+By+C=0|Axo+8yo+C|

线22

的距离为d"A/A+B-

的距离

两平行

线直线Ax+By+Ci=0到直线Are—QI

2

间的距+8y+C2=0的距离为dyl^+B-

离

将常用结论

1.两个充要条件

(1)两直线平行或重合的充要条件

直线/i：Aix+8iy+G=0与直线人：A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要条

件是482—A23I=0.

(2)两直线垂直的充要条件

直线11：Aix+Biy+Ci=0与直线InA2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

AIA2+BI&=0.

2.三类直线系方程

(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ar+3y+m=0(加6R且

加手C).

(2)与直线Ar+3)，+C=0垂直的直线系方程是&-Ay+〃=0(〃GR).

(3)过直线k4x+3iy+G=0与人4犹+及了+。2=0的交点的直线系方程

为4无+Biy+C+"A2x+B2y+C2)=0«eR),但不包括/2.

3.六种常用对称关系

(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(一无，—y).

(2)点(无，y)关于x轴的对称点为(龙，一y),关于y轴的对称点为(一x,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=~x的对称点为(一

y,—x).

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y),关于直线的对称点

为(x,lb—y).

(5)点(x,y)关于点(a,匕)的对称点为(2a—x,2b-y).

(6)点(x,y)关于直线x+y=%的对称点为(A—y,k—九)，关于直线x—^=左的

对称点为(左+y，x-k).

I练基础I.............................................................»

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)当直线人和/2的斜率都存在时，一定有依=%2=/1〃/2.()

(2)如果两条直线1\与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

答案：(l)x(2)X(3)V(4)7

2.(必修2P109习题T3改编)若直线加一3y—2=0与直线(2—加)x—3y+5=

0互相平行，则实数机的值为()

A.2B.-1C.1D.0

C[两直线平行，其系数满足关系式一3机=-3(2一〃。，解得机=1.]

3.(必修2P101习题T2改编)已知点(a,2)(a>0)到直线/：*一>+3=0的距

离为1，则a的值为()

A.y[2B.2-72C.近一1D.啦+1

C[由题意知上一靠3=1,所以|“+1|=啦，又a>0,所以。=也—1.]

4.直线I过点(-1,2)且与直线2光-3y+4=0垂直，则直线/的方程是

33

解析：由题意知，直线/的斜率是一挤，因此直线/的方程为>一2=一邑

(x+1),即3x+2y—1=0.

答案：3x+2y—1=0

5.直线Ax+3y+C=0与直线2x—3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为

解析：因为两直线的交点在y轴上，所以交点坐标为（0,力,AX0+3x1

+C=0,解得。=一4.

答案：一4

❷❷分类突破

微点拨、多维练，研透命题点。

V学生用书P139

两条直线的平行与垂直自练型

［题组练透］

1.（多选）（2020•历下区校级期中）已知直线/i：x+my—1=0,上：（机-2）x+

3y+l=0,则下列说法正确的是（）

A.若l\//h,则m=—1或772=3

B.若则m=一1

C.若则机=—劣

D.若则机=3

AD［已知直线/i：x+my—1=0,b：（m—2）x+3y+l=0,

若贝!J1X3—m（m—2）—0,求得m=3或m=—1,故A正确，B错

误.

若则1义（〃?-2）+机义3=0,求得〃2=g,故C不正确，D正确.故

选AD.］

2.（2020•江西南昌模拟）已知直线小（女-3）%+（4—@y+l=0与〃：2（k-3）x

—2y+3=0平行，则上的值是（）

A.1或3B.1或5

C.3或5D.1或2

C［由两直线平行得，当归一3=0时，两直线的方程分别为y=-l和y=|,

k—34——Z1

显然两直线平行；当％—3#0时，由。；=——WQ,可得％=5.综上，

2（攵—3）—2J

%的值是3或5.故选C.］

3.求满足下列条件的直线方程.

(1)过点P(—1,3)且平行于直线x—2y+3=0；

(2)已知A(l,2),B(3,1),线段A8的垂直平分线.

解析：(1)设直线方程为x-2y+c=0,把P(—1,3)代入直线方程得c=7.

所以直线方程为x—2y+7=0.

,,f1+32+1、f3、

(2)43中点为［亍，—J,即(2,方.

2—11

直线AB斜率ZAB=";~-=—5,

故线段AB垂直平分线的斜率k=2,

3

所以其方程为丁一^=2(x-2),

即4光一2y—5=0.

?练后悟通

1.两直线平行、垂直的判断方法

若已知两直线的斜率存在.

(1)两直线平行㈡两直线的斜率相等且在坐标轴上的截

距不等.

(2)两直线垂直㈡两直线的斜率之积等于一1.

2.解决两直线平行与垂直的参数问题要..前思后想”

在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否

前思

需要分类讨论

在解题后要检验答案的正确性.看是否出

后想一

现增解或漏解

直线的交点问题自练型

［题组练透］

1.(2020.北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x—y+l=0上，若直线

MN垂直于直线x+2y—3=0,则点N的坐标是()

A.(-2,-1)B.(2,3)

C.(2,1)D.(-2,1)

B［因为点N在直线x—y+l=0上，

所以可设点N坐标为(xo,xo+1).

(xo+1)+1xo+2

根据经过两点的直线的斜率公式，得％MN=

X0X0

因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率％=一;，

所以fcwvX(—)=-1,即喑=2,解得xo=2.因此点N的坐标是(2,3).]

2.(2020•历下区校级期中)设直线/的方程为(a+l)x+y+l—a=O,则直线/

经过定点；若直线/在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为

解析：直线/的方程为(a+l)x+y+1—<2=0,即a(x—l)+x+y+1=0,

令x—1=0,求得x=l,y=—2,可得直线/经过定点(1,-2).

由于直线/在两坐标轴上的截距相等，若直线/过原点，方程为y=-2尤，

即2x+y=0.

若直线/不过原点，设它的方程为无+y+c=0,再把点(1,一2)代入，求得

c=\,

故直线I的方程为无+y+l=0.

综上可得，直线/的方程为2x+y=0,或x+y+l=0.

答案：(1,—2)；2x+y=0,或x+y+l=0.

3.经过两直线/1：x—2y+4=0和/2：%+>-2=0的交点P,且与直线b：

3x—4y+5=0垂直的直线I的方程为.

[x―2y+4=0,[x=0,

解析：由方程组-得c即P(0,2).因为山3,所以

〔x+y—2=0n,[y=2,

44

直线/的斜率左=—§,所以直线/的方程为厂2=—Qx,即4x+3y—6=0.

答案：4x+3y—6=0

练后悟通

(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到方

程组的解就可以写出交点的坐标.

(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结

合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程

距离问题讲练型

[111I(1)若直线/i：x+ay+6=0与b：(a—2)%+3y+2a=0平彳丁，则1\与h

间的距离为()

8^2

A.也B.3

C.小D.

(2)已知点P(—1,-1),A(l,0),B(0,1),则△A8P的面积为

"a(。-2)=3,

解析：⑴因为所以土昔2屋W18,

，所以＜解

*2,

2

得。=一1,所以/i：尤一y+6=0,Z2：x—y+g=0,所以/1与12之间的距离d=

8g…口

,故选B.

(2)因为4(1,0),B(0,1),所以依引=&.直线43的方程为x+y—1=0,

则点P(—1,一1)到直线A5的距离4=左，所以的面积为义X啦X关

3

-

-2

答案1

12)

归纳升华

1.点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.

2.两平行线间的距离的求法

(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另

一条直线的距离.

(2)利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x,y的系数

化为相同的形式).

变式训练

1.若尸，。分别为直线3x+4y—12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ

的最小值为()

34—12

C[因为d=8/下一，所以两直线平行，将直线3x+4y—12=0化为6x

I—24—51

+8)，-24=0,由题意可知|PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即杭『

=靠，所以IPQI的最小值为意.]

2.直线/过点尸(一1,2)且到点A(2,3)和点次一4,5)的距离相等，则直线

I的方程为.

解析：法一：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为>一2=%。+1),

即kx—y+A+2=0.

雄一3+/+2|4『5+4+2]

由题意知

Ap+i

即|3%一1|=|一3攵一3],所以上=—g,

所以直线/的方程为y—2=—g(x+1),

即x+3y—5=0.

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=-1,经验证符合题意.

法二：当AB〃/时，有Z=kAB=—

直线/的方程为y—2=—^(x+l),

即x+3>-5=0.

当/过A3中点时，AB的中点坐标为(一1,4),

所以直线/的方程为x=-l.

故所求直线/的方程为x+3y—5=0或x=-1.

答案：x+3y—5=0或%=—1

对称I可题讲练型

ELI已知直线/：2x—3y+l=0,点A(—1,—2).求:

(1)点A关于直线I的对称点4的坐标;

(2)直线m：3x—2y—6=0关于直线I的对称直线加的方程.

解析：⑴设4(x,y),：点A和4关于直线/对称,

所在直线与直线/垂直,且线段4V的中点在直线/上,

fy+2v233

x——百

即S解得

X—1y—2,4

2X-^--3><、一+l=0,>=百

•••A，(一言总•

(2)在直线机上取一点，如M(2,0),

则M(2,0)关于直线/的对称点心必在直线加上.

设M的对称点为。),

a+2。+0

2X-y-3X-y-卜1=0,

则彳

“x?=—1

la-23L

解得M佶,笥.

设"2与/的交点为M

[2x-3y+l=0,

则由，.一c

[3x—2y—6—0.

得N(4,3).

又•.•”经过点N(4,3),

v-3x-4

...由两点式可得防一=%---,故直线〃的方程为9x—46y+102=0.

13-313-4

，归纳升华

多点变式

1.(2020.岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=l对称的直线方程是()

A.x+2y—1=0B.2x+y-1=0

C.2x+y-3=0D.x+2y—3=0

D[法一：设所求直线上任一点为(x,>'),则它关于x=l的对称点(2—x,

y)在直线x—2y+l=0上，所以2—x—2y+l=0,化简得x+2y—3=0.

法二：根据直线x-2y+l=0关于直线x=i对称的直线斜率是互为相反数

可排除选项B,C,再根据两直线交点在直线x=l上，即两直线交点坐标为(1,

1),排除选项A,故选D.]

2.(变设问)在本例条件下，则直线/关于点4一1,一2)对称的直线「的方

程为.

解析：法一：在/：2%—3y+1=0上任取两点，

如M(l,1),N(4,3),

则M,N关于点A的对称点M',N'均在直线厂上.

易知M(—3,-5),N'(-6,-7),

,y+5x+3

由两八''式可付一7+5=-6+3，

故/'的方程为2x—3y—9=0.

法二：设P(x,y)为厂上任意一点，

则P(x,y)关于点A(—1,—2)的对称点为P(—2—x,~4-y),

,:P'在直线/上，

/.2(-2-x)-3(-4-j)+l=0,

即2x-3y-9=0.

答案：2x—3y—9=0

3.已知点A(l,3)关于直线对称的点是8(—2,1),则直线y=Ax

+人在x轴上的截距是.

解析：由题意得线段AB的中点(一；，2)在直线y=kx-h上，故

信•2T,

33535

J解得女=一5"=w，所以直线方程为y=—太x+a，令y=。，

1—/+6=2,

3555

即一5x+》=0,解得,故直线在x轴上的截距为点.

答案：i

微专题系列32［思想方法］

直线系方程的灵活应用

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直

线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.

直线系方程的常见类型

(1)平行于已知直线加+的+。=0的直线系方程是:Ax+3)，+A=(V是参数

且2#。；

⑵垂直于已知直线Ax+8)，+C=0的直线系方程是：8LAy+2=0Q是参数);

(3)过两条已知直线/i：4x+3iy+G=0和京44+&、+。2=0的交点的直

线系方程是：Aix+8iy+Ci+4(Azx+32y+C2)=0(/ieR,但不包括，2).

类型1平行直线系方程

区3已知直线与直线/2：x—3y+6=o平行，/|与x轴、)，轴围成面积为

8的三角形，请求出直线人的方程.

解析：设直线/i的方程为：x—3y+c=0(cW6),则令y=0,得尤=—c；

令x=0,得产：，依照题意有：|X|—c|X,=8,c=±4小，所以/|的方

程是：X—3y±4/=0.

类型2垂直直线系方程

求经过42,1),且与直线2%+>—10=0垂直的直线/的方程.

解析：因为所求直线与直线2尤+y—10=0垂直，所以设该直线方程为x

—2y+c=0,又直线过点A(2,1),

所以2—2Xl+c=0,解得c=0,

即所求直线方程为x—2y=0.

类型3过直线交点的直线系

求经过两条直线2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交点，并且垂直于

3x+4厂7=0的直线方程.

解析：由题意可设所求直线方程为

(2x+3y+l)+/l(x—3y+4)=0,

即(2+2)x+(3—32)y+1+42=0,①

又•••所求直线与直线3x+4y-7=0垂直，

/.3(2+2)+4(3-32)=0,

,4=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.

变式训练

1.与直线2x—3y+l=0垂直，且在x轴上的截距为一2的直线方程是

解析：设所求直线的方程为3x+2y+2=0,

A,A

令y=0,得％=—.由一行=-2,得2=6.

故所求直线方程为3x+2y+6=0.

答案：3x+2y+6=0

2.平行于直线3%+4)，—2=0,且与它的距离是1的直线方程为

匚2-c|

解析:设所求直线方程为3x+4y+c=0(cW—2),则d==1,

^31+42

.\c=3或c=-7,

即所求直线方程为3x+4y+3—0或3x+4y—7=0.

答案：3x+4y+3=0或3x+4y—7=0

［友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入“课时作业（四十六）”，去收获希望，体验成功！本栏目内容

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3.圆的方程

课程标准考向预测

考情分析：求圆的标准方程、一

1.回顾确定圆的几何要素，在平面

般方程，圆心到直线的距离，与圆有关

直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方

的轨迹、最值问题仍是高考考查的热点，

程与一般方程.

题型将以选择题与填空题为主，也可能

2.能根据圆的方程解决一些简单的

出现在解答题中.

数学问题与实际问题.

学科素养：直观想象、数学运算.

❷❽分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关-

V学生用书P142

I整知识I

1.圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准(九一4)2+(?-〃)2=^圆心：(a,b),

方程(r>0)半径：二

圆心:(二二轴

一般/+y2+0x+Ey+尸=0

方程(D2+E2-4F>0)半径：1、/。2+序一4~

2.点与圆的位置关系

点M(xo,yo)与圆(x—〃)2+(y—力2=，的位置关系:

(1)若M(xo,yo)在圆外，贝U(xo—a)?+(y()—.

(2)若M(xo,yo)在圆上，则(xo—+(yo—=r2.

⑶若M(xo,yo)在圆内，则(xo—。)2+(yo—。)2V—.

?常用结论

1.以A(xi,yi),3(x2,>2)为直径端点的圆的方程为(x—xi)(x—X2)+(y-yi)(y

»=0.

2.二元二次方程表示圆的条件

对于方程f+V+Qx+Ey+pnO表示圆时易忽视Z^+E2-4Q0这一条件.

I练基础I................................................»

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程/+9=层表示半径为。的圆.()

(3)方程/+y2+4mx—2y+5〃?=O表示圆.()

(4)方程4/+8肛+。)2+6+斗，+尸=0表示圆的充要条件是A=CWO,B

=0,D2+E^-4AF>0.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)V

2.(必修2P124A组T1改编)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是

()

A.(2,3),3B.(-2,3),事

C.(-2,-3),13D.(2,-3),恒

D［由公式可知圆心坐标为(一,，一爹)，半径r=5，。2+£2一477,解

得圆心坐标为(2,-3),半径一=恒.］

3.方程f+V+4/u—2y+5m=0表示圆的充要条件是()

A.:<m<lB.m<T或"?〉1

1

c-D

m<