多元函数极限与连续

关于多元函数极限与连续4.1空间解析几何简介4.1.1空间直角坐标系的建立4.1.2空间两点间的距离4.1.3常见的空间曲面第2页,共50页，2024年2月25日，星期天4.1.1空间直角坐标系的建立横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系在空间任取一点o，过点o作三条相互垂直的直线ox,oy,oz,规定单位长度，并按右手规则4.1空间解析几何简介确定其方向.第3页,共50页，2024年2月25日，星期天7(-,-,-)xy面yz面空间直角坐标系的三个坐标面，将空间分成面2(-,+,+)3(-,-,+)5(+,+,-)6(-,+,-)8(+,-,-)1(+,+,+)4(+,-,+)八个卦限,各卦限符号，如图所示.第4页,共50页，2024年2月25日，星期天注1

引进空间直角坐标系的目的是为了研究空注2

对于空间中任意一点，都有唯一一个三元P空间的点有序数组(x,y,z).间曲线与曲面.有序数组(x,y,z)与之对应.第5页,共50页，2024年2月25日，星期天4.1.2空间两点间的距离

设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)为空间任意两点.过P1P2分别作平行于坐标平面的平面，这六个平面构成一个以P1

P2为对角线的长方体，如下图所示，则其三条边长分别为|x1-x2|,|y1-y2|,|z1-z2|，由勾股定理，得P1与P2间的距离ρ为第6页,共50页，2024年2月25日，星期天注

特别地，点P(x,y,z)到原点O的距离为第7页,共50页，2024年2月25日，星期天例1证明:由于

证明：以点M1(4,3,1)，M2(7,1,3)，

M3即△M1

M2

M3

是等腰三角形.所以，(5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形.第8页,共50页，2024年2月25日，星期天4.1.3常见的空间曲面如果曲面S与方程F(x,y,z)=0之间存在这样的关系：（1）若点M(x,y,z)在曲面S上，则点M的坐标（2）若一组数x,y,z满足方程F(x,y,z)=0，则点M(x,y,z)满足三元方程F(x,y,z)=0.M(x,y,z)就在曲面S上.

称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程。曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。第9页,共50页，2024年2月25日，星期天注空间的曲线可以看作是两个曲面的交线，因此空间曲线的方程通常可以表示为：平面的方程第10页,共50页，2024年2月25日，星期天柱面

平行于定直线L并沿定曲线C移动的直线所成LC动直线称为柱面的母线.的曲面，称为柱面，定曲线C称为柱面的准线,第11页,共50页，2024年2月25日，星期天可以证明：柱面的方程是设柱面的母线平行于z轴，准线C是xy面上的一条曲线，其方程为从柱面方程看柱面的特征：只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.(其他类推)第12页,共50页，2024年2月25日，星期天椭圆柱面//轴,双曲柱面//轴,抛物柱面//轴.实例第13页,共50页，2024年2月25日，星期天柱面方程

xyz0第14页,共50页，2024年2月25日，星期天二次曲面二元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.例2解：设P(x,y,z)是球面S上的任一点，由球面的求通过P0(x0,y0,z0)为中心，以R为半径的球面S的方程.定义及两点间距离公式得经过原点的球面的方程为：第15页,共50页，2024年2月25日，星期天

可以证明，经过适当地选取空间直角坐标系，二次曲面有下面几种标准形式：球面椭球面单叶双曲面第16页,共50页，2024年2月25日，星期天双叶双曲面二次锥面椭圆抛物面双曲抛物面（马鞍面）第17页,共50页，2024年2月25日，星期天

以上曲面的图形形状，可通过对曲面方程的定性分析（如对称性、有界性等）和“截痕法”，即用坐标平面或平行于坐标平面的平面与曲面相交所得交线，通过分析交线（称为截痕）的形状，确定曲面的大致形状加以初步确定.第18页,共50页，2024年2月25日，星期天例3解：试作出单叶双曲面的草图.由方程可知：单叶双曲面的图形是一个关于原点、坐标轴、坐标平面均对称的无界对称图形,用平行于xy平面的平面z=h截曲面得，第19页,共50页，2024年2月25日，星期天综上可知，单叶双曲面的形状如下图所示：

xyo

z其截痕是中心在z轴的椭圆，用平行于xz平面,yz平面截曲面所得截痕均为双曲线.第20页,共50页，2024年2月25日，星期天类似可得双叶双曲面的形状如下图所示：yzox第21页,共50页，2024年2月25日，星期天旋转抛物面第22页,共50页，2024年2月25日，星期天双曲抛物面（马鞍面）xzyo第23页,共50页，2024年2月25日，星期天4.2多元函数的概念4.2.1平面区域的概念4.2.2二元函数的概念第24页,共50页，2024年2月25日，星期天4.2.1平面区域的概念1.邻域设P0(x0,y0)是xoy面上的一定点，d是一正数,称为点P0的δ邻域，记为U(P0,d).以P0为圆心，d为半径的圆的内部4.2多元函数的概念第25页,共50页，2024年2月25日，星期天U(P0,d)中除去中心P0后所剩部分，即为点P0的δ去心邻域，记为第26页,共50页，2024年2月25日，星期天设D是xoy平面上的点集，P是xoy平面上的一点.

若存在

d>0，使得,则称点P是D的内点；

若存在

d>0，使得

,则称P是D的外点；

若P的任何邻域内，既含有属于D的点，又含有

D的所有界点所成之集称为D的边界；

若P的任何邻域内均含有D中无穷多个点,则称不属于D的点，则称P为点集D的边界点或界点；P是D的聚点.2.点集与点的关系第27页,共50页，2024年2月25日，星期天

例如，点集注内点必属于D，外点必不属于D，边界点和的点都是D的内点；满足的点都是D的界点；满足的点都是D的外点；满足或的点都是D的聚点.满足聚点可以属于D，也可以不属于Ｄ．第28页,共50页，2024年2月25日，星期天例如，也不是R2的闭集.而既不是R2中的开集，是R2中的开集；是R2中的闭集；如果D的余集Dc为开集，则称D为R2中的闭集.

设，如果D中每一个点都是D的内点，则称D是R2中的开集；3.区域第29页,共50页，2024年2月25日，星期天有界集与无界集一个集合如果不是有界集，则称之为无界集.，则称D是R2中的有界集.设点集，如果存在常数k>0，使得第30页,共50页，2024年2月25日，星期天区域点P1与P2

，总存在D中的折线把P1与P2连接起来，设为一非空开集，如果对于D中任意两则称D是连通的。连通的开集称为R2中的开区域；开区域与其边界所构成的集合，称为闭区域.开区域与闭区域统称为区域.第31页,共50页，2024年2月25日，星期天例如，和都是R2中的开区域.和都是R2中的闭区域.第32页,共50页，2024年2月25日，星期天定义4-1二元函数,记为设D为平面上非空点集，若存在对应法则f,使得对D中每一个点按照对应法则f，对应唯一一个z，则对应法则f为定义在D上的“点函数”.这样可使多元函数,一元函数在形式上保持一致.4.2.2二元函数的概念第33页,共50页，2024年2月25日，星期天称为函数f的值域.函数f的定义域，

z称为因变量,D称为称为自变量，其中类似地可以得到n元函数的定义：

注1注2二元与二元以上函数统称为多元函数.当n=1时，就是我们以前所学的一元函数；第34页,共50页，2024年2月25日，星期天二元函数的定义域

与一元函数一样，在讨论用解析式表示的函数时，其定义域是一切使该解析式有意义的平面点的集合.若函数所表示的是某一实际问题，则自变量的取值范围要符合实际.下面我们将举例说明.

二元函数的定义域在几何上表示一个平面区域围成平面区域的曲线称为该区域的边界.第35页,共50页，2024年2月25日，星期天例4解:要使函数有意义，x,y必须满足：xyo11-1-1求函数的定义域D，并画出D的示意图.故定义域其图形如下图所示.第36页,共50页，2024年2月25日，星期天二元函数的图形在直角坐标系中，取x为横坐标，y为纵坐标，{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为二元函数z=

f(x,y)的图形，它通常是一张曲面，该曲面在z为竖坐标，则空间中点集z=f(x,y)的定义域D.xy平面上的投影就是函数第37页,共50页，2024年2月25日，星期天4.3二元函数的极限与连续4.3.1二元函数的极限4.3.2二元函数的连续第38页,共50页，2024年2月25日，星期天4.3.1二元函数的极限定义4-2设二元函数f(x,y)定义在平面点集D上,P0(x0,y0)记为或为D的聚点，A为一常数.如果当动点P

(x,y)在D内沿任意路径趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于常数A，则称A是f(x,y)当P

(x,y)→P0(x0,y0)时的极限.第39页,共50页，2024年2月25日，星期天注1注2亦可写成通常称之为二重极限.若在D内当P沿着两条不同的路径趋向于P0动点P在D内趋向于定点P0的方式是任意的，即在D内沿任意路径趋向于P0，f(P)均以A为极限.时，

f(P)的极限不同，或者沿着某一路径趋向于P0时，f(P)的极限不存在，则称f(P)在P→P0时极限不存在，或称之为发散.第40页,共50页，2024年2月25日，星期天例5解：

当k取不同值时，其极限不同，故原式极限(1)当(x,y)沿射线y=kx趋于(0,0)时，有判断下列极限是否存在,若存在求出其值.不存在.返回第41页,共50页，2024年2月25日，星期天(2)由得由此，当(x,y)→(0,0)时，故第42页,共50页，2024年2月25日，星期天例6解：(1)当

(x,y)→(6,0)时，xy→0，sinxy～xy

，求下列极限.(1)(2)因此第43页,共50页，2024年2月25日，星期天(2)由乘积的极限运算法则得第44页,共50页，2024年2月25日，星期天定义4-32.二元函数的连续设二元函数z

f

(x

y)在点

P0(x0

y0)的某邻域

则称函数f(x,y)在点P0(x0

y0)处连续，否则称函内有定义，如果极限数f(x,y)在点P0(x0

y0)处间断（不连续）.第45页,共50页，2024年2月25日