2023黑龙江省龙东地区中考数学真题试卷和答案

黑龙江省龙东地区2023年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列运算正确的是（A.(2a)24a2

）

B.(ab)2a2b2C.

m2m2m24

2

72.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形

）A.

B.

C.

D.3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A.4

B.5

C.6

D.74.已知一组数据1,0,3,5,x,2,3的平均数是1，则这组数据的众数是（

）A.3

B.5

C.3和5

D.1和35.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（

）A.5m试卷

B.70m

C.5m或70m

D.10m

1aD.a5的aD.a5的是（6.已知关于x的分式方程

mx2

1

x2x

的解是非负数，则m的取值范围是（

）A.m2

B.m2

C.m2且m2

D.m2且m27.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（

）A.5种

B.6种

C.7种

D.8种8.如图，ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y

kx

过A,B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S

BCD

12，则k的值是（

）A.6

B.12

C.

92

D.99.如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD5,OA:OD1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（

）A.1,2

B.

(-1,2)

C.

51,2

D.

1

5,2

10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AFDE，垂足为G，将△ABF沿

AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交

AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AFDE；②BM∥DE；③若CM试卷

FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动2到AB的中点，tanBHF22；⑤EPDH2AGBH．（

）A.①②③④⑤

B.①②③⑤

C.①②③

D.①②⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11.据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．12.函数y=x3中，自变量x的取值范围是____________．13.如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件______________，使矩形ABCD是正方形（填一个即可）14.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．x5015.关于x的不等式组

有3个整数解，则实数m的取值范围是__________．16.如图，AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连接BC，若B28，则P__________．17.已知圆锥的母线长13cm，侧面积65cm2，则这个圆锥的高是__________cm．18.在RtACB中，BAC30,CB2，点E是斜边AB的中点，把RtABC绕点A顺时针旋转，试卷

3xm1xm1得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF,CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是__________．19.矩形ABCD中，AB3,AD9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若VADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是__________．20.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在直线l:y1

33

x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB22，顶点C在直线l:y2

3x上，BCl；过点A作直线l的垂线，垂足为C，交x轴于221B，过点B作AB垂直x轴，交l于点A，连接AC，得到第一个△ABC；过点A作直线l的垂线，1111111111112垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，……，则A2023B2023C2023的面积是__________．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：

1

2

m22m1m2m

，其中mtan601．22.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A2,1,B1,2，C3,3．试卷

4m1m1（1）将ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（2）请画出ABC关于y轴对称的△ABC．222（3）将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．23.如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A3,0,B1,0两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点P，使得S

PBC

1S2ABC

，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24.某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．试卷

5（1）这次学校抽查的学生人数是__________人；（2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________；（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．25.已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发

23

h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离ykm与货车行驶时间xh之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中a的值是__________；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．26.如图①，ABC和VADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH

3FG．若ABC和VADE都是等腰直角三角形，且BACDAE90，如图②：若ABC和VADE都是等腰三角形，且BACDAE120，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的试卷

6同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．28.如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，AOC60，OC的长是一元二次方程x24x120的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线AD的解析式．（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．试卷

7黑龙江省龙东地区2023年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列运算正确的是（A.(2a)24a2

）

B.(ab)2a2b2C.

m2m2m24

2

7【答案】C【解析】【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．【详解】解：A.2a24a2，原式计算错误；B.ab2a22abb2，原式计算错误；C.m2m2m24，计算正确；2故选：C．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．2.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A.

B.

C.

D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．试卷

8aD.a5aD.a5aD.a510，原式计算错误．）【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（

）A.4

B.5

C.6

D.7【答案】B【解析】【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．4.已知一组数据1,0,3,5,x,2,3的平均数是1，则这组数据的众数是（

）A.3

B.5

C.3和5

D.1和3【答案】C【解析】【分析】先根据平均数的定义列出关于x的方程，求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可．试卷

9【详解】解：∵数据1,0,3,5,x,2,3的平均数是1，∴1035x2371，解得x5，则1,0,3,5,5,2,3，∴这组数据的众数是3和5，故选：C．【点睛】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数的概念．5.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（

）A.5m

B.70m

C.5m或70m

D.10m【答案】A【解析】【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为1002xm，宽为502xm的矩形的面积，根据花草的种植面积为3600m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为1002xm，宽为502xm的矩形的面积，依题意得：1002x502x=3600）1∴小路宽为5m．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．m6.已知关于x的分式方程x2试卷

1

x2x

的解是非负数，则的取值范围是（）

10解得：x解得：x5，x270（不合题意，舍去，mA.m2

B.m2

C.m2且m2

D.m2且m2【答案】C【解析】【分析】解分式方程求出x

2m2

，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：分式方程去分母得：mx2x，解得：x

2m2

，∵分式方程

mx2

1

x2x

的解是非负数，∴

2m2

0，且x

2m2

2，∴m2且m2，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．7.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（

）A.5种

B.6种

C.7种

D.8种【答案】B【解析】【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中5x6,y0,z0,且x,y,z均为整数，根据题意得，30x25y20z500，整理得，6x5y4z100，①当x5时，655y4z100，∴y

704z5

,∵y0,z0,且y,z均为整数，试卷

11∴当704z10时，y2，∴z15；当704z30时，y6，∴z10；当704z50时，y10，∴z5；②当x6时，665y4z100，∴y

644z5

,∵y0,z0,且y,z均为整数，∴当644z20时，y4，∴z11；当644z40时，y8，∴z6；当644z60时，y12，∴z1；综上，此次共有6种采购方案，故选：B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．8.如图，ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y

kx

过A,B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S

BCD

12，则k的值是（

）A.6

B.12

C.

92

D.9【答案】C【解析】【分析】设

b

k

kb

，然后过点A作AEBC于E，求出BC4b，点D的横坐标为3b，再根据S试卷

BCD

12列式求出CD，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标12Bb,，根据反比例函数的中心对称性可得ABb,，根据反比例函数的中心对称性可得Ab,代入反比例函数解析式即可求出k的值．kb∵AB过原点O，∴

kb过点A作AEBC于E，∵ABC是等腰三角形，∴CEBEbb2b，∴BC4b，点D的横坐标为3b，∵底边BC∥x轴，CD∥y轴，∴S

BCD

12

BCCD

12

4bCD12，∴CD

6b

，∴点D的纵坐标为

6kbb

6kb

，∴

6kb

，∴k3b

6kb

36k，解得：

9k，2故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．9.如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD5,OA:OD1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（试卷

）

13【详解】解：由题意，设Bb,，Ab,，【详解】解：由题意，设Bb,，Ab,，D3b,A.1,2

B.

(-1,2)

C.

51,2

D.

1

5,2

【答案】D【解析】【分析】首先证明AOBD1C1O，求出ABCD2，连结OC，设BC与OC1交于点F，然后求出OCOC25，可得CF252，再用含EF的式子表示出EC，最后在RtEFC中，利用勾股1111定理构建方程求出EF即可解决问题．【详解】解：∵矩形ABCD的边AD5，OA:OD1:4，∴OA1，OD4，BC5，由题意知AB∥OC1，∴ABOD1OC1，又∵BAOOD1C190，∴AOBD1C1O，∴

OAAB

DC11，OD1由折叠知OD1OD4，D1C1DCAB，∴

1AB

AB4

，∴AB2，即CD2，连接OC，设BC与OC交于点F，1∴OC

OD2CD2422225，∵FOAOABABF90，∴四边形OABF是矩形，试卷

14∴ABOF2，BFO90EFC1，OABF1，∴CF514，由折叠知OC1OC25，EC1ECCFEF4EF，∴CFOCOF252，11∵在RtEFC1中，EF2C1F2EC12，∴EF2252

2解得：EF

51，∴点E的坐标是15,2，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质AB的长是解题的关键．10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AFDE，垂足为G，将△ABF沿

AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交

AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AFDE；②BM∥DE；③若CM

FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tanBHF22；⑤EPDH2AGBH．（

）A.①②③④⑤

B.①②③⑤

C.①②③

D.①②⑤【答案】B试卷

154EF，2求4EF，2求出【解析】【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：四边形ABCD是正方形，DAEABF90，DAAB，AFDE，BAFAED90，BAFAFB90，AEDBFA，ABF≌△AEDAAS，AFDE，故①正确，将△ABF沿

AF翻折，得到AMF，BMAF，∵AFDE，BM∥DE，故②正确，当CM

FM时，CMF

90，AMFABF90，AMFCMF180，即A,M,C在同一直线上，MCF45，MFC90MCF45，通过翻折的性质可得HBFHMF45，BFMF，∴HMFMFC，HBCMFC，BC∥MH,HB∥MF，四边形BHMF是平行四边形，BFMF，平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，试卷

16设正方形ABCD的边长为2a，则AEBFa，在Rt△AED中，DE

AD2AE25aAF，AHDFHB,ADHFBH45，AHD∽△FHB，

FHAH

BFAD

a2a

12

，AH

23

AF

253

a，AGEABF90，AGF∽△ABF，

AEAF

EGBF

AGAB

a5a

55

，EG

55

BF

55

a，AG

55

AB

255

a，DGEDEG

455

a，GHAHAG

4515

a，BHFDHA，在RtDGH中，tanBHFtanDHAAHD∽△FHB，

DGGH

3，故④错误，

BHDH

12

，11BHBD22a33

223

a，DH

23

2BD22a3

423

a，AFEP，根据翻折的性质可得EP2EG试卷

255

a，

17EPDH

255

a

423

a

81015

a2，2AGBH2

255

a

223

a

81015

a2，EPDH2AGBH

81015

a2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11.据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为__________．【答案】5.699107【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1

a10，n为整数，确定n的值时，要看把.数；当原数的绝对值1时，n是负数．【详解】5699万569900005.699107，故答案为：5.699107．.

a10，n为整数，表示时关键要正确确定

a的值以及n的值．12.函数y=

x3中，自变量x的取值范围是____________．【答案】x3【解析】【详解】解：由题意得，x30，解得x3．13.如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件______________，使矩形ABCD是正方形（填一个即可）试卷

18原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1【答案】ABBC或ACBD【解析】【分析】根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形.【详解】∵邻边相等的矩形是正方形，∴可添加条件ABBC或者∵对角线互相垂直的矩形是正方形∴还可以添加条件ACBD【点睛】本题考查正方形的判定，找出正方形与矩形的性质差异，即为可添加的条件.14.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．【答案】

35

##0.6【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：列表得：红1

红1

红2（红1，红2）

红3（红1，红3）

白1（红1，白1）

白2（红1，白2）红2红3

（红2，红1）（红3，红1）

（红3，红2）

（红2，红3）

（红2，白1）（红3，白1）

（红2，白2）（红3，白2）白1白2

（白1，红1）（白2，红1）

（白1，红2）（白2，红2）

（白1，红3）（白2，红3）

（白2，白1）

（白1，白2）由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，∴恰好是一红一白的概率是

1220

35

，试卷

19故答案为：

35

．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．x5015.关于x的不等式组

有3个整数解，则实数m的取值范围是__________．【答案】3m2##2m3【解析】【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得m的取值范围．x50【详解】解：解不等式组

得：xm1，x50∵关于x的不等式组

有3个整数解，∴这3个整数解为4，3，2，∴2m11，解得：3m2，故答案为：3m2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．16.如图，AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C，连接BC，若B28，则P__________．【答案】34【解析】【分析】首先根据等边对等角得到BOCB28，然后利用外角的性质得到AOCBOCB56，利用切线的性质得到OAP90，最后利用三角形内角和定理求解即可．试卷

20xm1xm1xm1xm1【详解】解：∵B28，OBOC，∴BOCB28，∴AOCBOCB56，∵PA切O于点A，∴OAP90，∴P180OAPAOP34．故答案为：34．【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17.已知圆锥的母线长13cm，侧面积65cm2，则这个圆锥的高是__________cm．【答案】12【解析】【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．【详解】解：根据圆锥侧面积公式S

侧

rl变形可得r

S侧l

6513

5cm，根据圆锥母线公式l

r2h2，可得hl2r21325212cm，故答案为：12．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．18.在RtACB中，BAC30,CB2，点E是斜边AB的中点，把RtABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF,CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是__________．【答案】43##34【解析】【分析】过点A作AGCE交CE的延长线于点G，求出AG

12

AC3，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心AB的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线CE的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可．【详解】解：如图，在RtACB中，BAC30，CB2，点E是斜边AB的中点，∴AB2CB4，CE试卷

12

AB2AE，AC3BC23，

21∴ECABAC30，过点A作AGCE交CE的延长线于点G，∴AG

12

AC3，又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心AB的长为半径的圆上运动，AFAB4，∴点F到直线CE的距离的最大值为43，（如图，G、A、F三点共线时）∴△CEF面积的最大值

12

CE43

12

24343，故答案为：43．【点睛】本题考查了含30直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线CE距离的最大值是解答本题的关键．19.矩形ABCD中，AB3,AD9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若VADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是__________．【答案】6或322或322【解析】【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，延长BA交A的另一侧于点E，则此时VADE是直角三角形，易得点E到直线BC的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时，VADE是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．【详解】解：由题意矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，可知点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，如图，延长BA交A的另一侧于点E，则此时VADE是直角三角形，点E到直线BC的距离为BE的长度，即BE2AB6，试卷

22当过点D的直线与圆相切与点E时，VADE是直角三角形，分两种情况，①如图，过点E作EH

BC交BC于点H，交AD于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴EGAD，∴四边形ABHG是矩形，GHAB3∵AEAB3，AEDE，AD9，由勾股定理可得DE923262，∵S

AED

12

AEDE

12

ADEG，∴EG22，∴E到直线BC的距离EHEGGH322，②如图，过点E作ENBC交BC于点N，交AD于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴NMAD，∴四边形ABNM是矩形，MNAB3∵AEAB3，AEDE，AD9，试卷

23由勾股定理可得DE923262，∵SAED

12

AEDE

12

ADEM，∴EM22，∴E到直线BC的距离ENMNGN322，综上，6或322或322，故答案为：6或322或322．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在直线l:y1

33

x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB22，顶点C在直线l:y2

3x上，BCl；过点A作直线l的垂线，垂足为C，交x轴于221B，过点B作AB垂直x轴，交l于点A，连接AC，得到第一个△ABC；过点A作直线l的垂线，1111111111112垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，……，则A2023B2023C2023的面积是__________．【答案】240463【解析】【分析】解直角三角形得出AOB30，BOC60，求出S

ABC

3，证明△ABC∽ABC，111ABC∽A2B2C2，得出S

ABC111

4S

ABC

，S

ABC222

42S

ABC

222S

ABC

，总结得出S

ABCnnn

2n2S

ABC

22nS

ABC

，从而得出S

ABC202320232023

2220233240463．【详解】解：∵OB22，试卷

24∴B22,0，∵ABx轴，∴点A的横坐标为22，∵l:y1

33

x，∴点A的纵坐标为

33

22

263

，26∴

tanAOB

ABOB

322

3，3∴AOB30，∵l:y2

3x，∴设C

x

C

,y

C

，则yC

3x，C∴tanBOC

yCx

3，C∴BOC60，∴OCOBcos6022

12

2，BCOBsin6022

32

6，∵AOC1BOCAOB30，∴AOBAOC1，∴OA平分BOC，∵AC1l2，ABOB，∴ACAB1

263

，∵ABAC1，OAOA，∴RtOAB≌RtOAC1，试卷

25∴OCOB22，1∴CCOCOC22211∴SABC2SOABSACCSBOC1

2，12222

263

122

263

12623，∵BCl2，∴BCO90，∴CBO906030，∵B1C1l2，BCl2，B2C2l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴C1B1OC2B2OCBO30，∴C1B1OC2B2OCBOAOB，∴AOAB1，A1OA1B2，∵ABx轴，A1B1x轴，∴

11OBOB，OBOB，112∵ABx轴，A1B1x轴，A2B2x轴，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴

ABAB

OBOB

1AB2，AB

OBOB

14，11

1

2

2

2∵BC∥B1C1∥B2C2，∴

BCBC

OBOB

1BC2，BC

OBOB

14，1

1

1

2

2

2∴

ABAB11

BCBC，11试卷

262222∵ABCA1B1C1903060，∴△ABC∽A1B1C1，同理ABC∽A2B2C2，∴SABC4SABC，111S

ABC222

42S

ABC

222S

ABC

，∴S

ABCnnn

2n2S

ABC

22nS

ABC

，∴S

ABC202320232023

2220233240463．故答案为：240463．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律S

ABCnnn

2n2S

ABC

22nS

ABC

．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：

1

2m1

m22m1m2m

，其中mtan601．【答案】

mm1

，原式

333【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出m

31，最后代值计算即可．

2m1

m22m1m2m

m12m1

m12mm1

m1mm1

mm1

，∵mtan601试卷

31，

27【详解】解：1m1m12【详解】解：1m1m12∴原式

31311

333

．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．22.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A2,1,B1,2，C3,3．（1）将ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（2）请画出ABC关于y轴对称的△ABC．222（3）将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．【答案】（1）见解析

（2）见解析（3）

134【解析】【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；（3）画出旋转后的图形，根据SC3A3A2C2SC3DEC2S扇COCS扇DOE即可得出答案．23【小问1详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求；试卷

28【小问2详解】如图所示，△ABC即为所求；222【小问3详解】将△ABC着原点O顺时针旋转90，得到△ABC，22233323OA2

OA，OCOC，323CECD，23AOA90，COC90，3223AODAOE，32ADAE，3

2S曲边ACD33试卷

S曲边ACE22

，OC32，ODOA32

5，

29设AA所在圆交OC设AA所在圆交OC3于点D，交OC2于点E，S

CAAC3322

S

CDEC32

S

扇C2OC3

S

扇DOE

90OC23360

90OD2360

9032360

360

2

13，4故线段A2C2在旋转过程中扫过的面积为

134

．【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23.如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A3,0,B1,0两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点P，使得S

PBC

1S2ABC

，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx22x3（2）存在，点P的坐标为2,3或3,12【解析】【分析】（1）采用待定系数法，将点A和点B坐标直接代入抛物线yax2bx3，即可求得抛物线的解析式．（2）过线段AB的中点D，且与BC平行的直线上的点与点B，点C连线组成的三角形的面积都等于1S2ABC试卷

，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答

30590590案．【小问1详解】解：因为抛物线yax2bx3经过点A3,0和点B1,0两点，所以9a3b30解得

，a1

，所以抛物线解析式为：yx22x3．【小问2详解】解：如图，设线段AB的中点为D，可知点D的坐标为1,0，过点D作与BC平行的直线l，假设与抛物线交于点P1，P2（P1在P2的左边），（P2在图中未能显示）．设直线BC的函数解析式为ykxb1k0．因为直线BC经过点B1,0和C0,3，所以试卷

31abab30b2kb011

，k3解得1

，所以，直线BC的函数解析式为：y3x3．又P1P2//BC，可设直线P1P2的函数解析式为y3xb2，因为直线P1P2经过点D

1,0，所以3b0．2解得b23．所以，直线P1P2的函数解析式为y3x3．根据题意可知，S

DBC

12

S

ABC

．又P1P2//BC，所以，直线P1P2上任意一点P与点B，点C连线组成的PBC的面积都满足S

PBC

12

S

ABC

．所以，直线P1P2与抛物线yx22x3的交点P1，P2即为所求，可得3x3x22x3，化简，得x2x60，解得x13，x22，所以，点P1的坐标为2,3，点P2的坐标为3,12．故答案为：存在，点P的坐标为2,3或3,12．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键．24.某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格试卷

32b3bb3b3四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）这次学校抽查的学生人数是__________人；（2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是__________；（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．【答案】（1）40

（2）见解析（3）90（4）220人【解析】【分析】（1）用A：优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；（2）先求出C：合格的人数，再补全统计图即可；（3）用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案；（4）用2200乘以样本中D组对应的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：1230%40人，∴这次学校抽查的学生人数是40人，故答案为：40；【小问2详解】解：由（1）得C：合格的人数为401214410人，补全统计图如下所示：试卷

33【小问3详解】解：360

1040

90，∴扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是0，故答案为：90；【小问4详解】解：2200

440

220人，∴估计该校不合格的人数为220人．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．25.已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发

23

h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离ykm与货车行驶时间xh之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中a的值是__________；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．【答案】（1）120试卷

（2）y60x

3499（3）

12517

h或

13117

h【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得OC的解析式，将1,a代入解析式，解方程即可解答；（2）根据题意可得a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发

23

h后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线BG的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线BG的解析式，利用待定系数法即可解答；（3）根据（2）中直线BG的解析式求得点F的坐标，结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时；②出租车和货车第二次相遇后，距离12km时，分别进行解答即可．【小问1详解】解：结合图象，可得C4,480，设直线OC的解析式为ykx，将C4,480代入解析式，可得4804k，解得k120，直线OC的解析式为y120x，把1,a代入y120x，得a120，故答案为：120；【小问2详解】解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距

120km，可得此时出租车距离乙地为120120240km，出租车距离甲地为480240240km，把y240代入y120x，可得240120x，解得x2，货车装完货时，x2，可得B2,120，根据货车继续出发

23

2h后与出租车相遇，可得（出租车的速度货车的速度）120，3根据直线OC的解析式为y120x，可得出租车的速度为120kmh，相遇时，货车的速度为120试卷

23

12060kmh，

35故可设直线BG的解析式为y60xb，将B2,120代入y60xb，可得120120b，解得b0，直线BG的解析式为y60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离ykm与行驶时间xh之间的函数关系式为y60x；【小问3详解】解：把y480代入y60x，可得48060x，解得x8，G8,480，F8,0，根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车15分钟到达甲地，可得EF

1560

14

,314

4

314

设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128t4128t512km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时；可得60t1128t151212，解得t1

12517

，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时；可得128t251260t212，解得t2

13117

，故在出租车返回的行驶过程中，货车出发

12517

h或

13117

h与出租车相距12km．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．26.如图①，ABC和VADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连试卷

36早E,0，出租车返回时早E,0，出租车返回时的速度为804128kmh，接FG,FH．易证：FH

3FG．若ABC和VADE都是等腰直角三角形，且BACDAE90，如图②：若ABC和VADE都是等腰三角形，且BACDAE120，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】图②中FH

2FG，图③中FHFG，证明见解析【解析】【分析】图②：如图②所示，连接BD，HG，CE，先由三角形中位线定理得到12

12

BD，再证明△ABD≌ACE得到CEBD，∠ACE∠ABD，则FGHG，进一步证明FGH90，即可证明△HGF是等腰直角三角形，则FH

2FG；图③：仿照图②证明△HGF是等边三角形，则FHFG．【详解】解：图②中FH

2FG，图③中FHFG，图②证明如下：如图②所示，连接BD，HG，CE，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴FG是CDE的中位线，∴

12同理可得

GH∥BD，GH

12

BD，∵ABC和VADE都是等腰直角三角形，且BACDAE90，∴ABAC，BADCAE，ADAE，∴△ABD≌△ACESAS，∴CEBD，∠ACE∠ABD，∴FGHG，试卷

37FG∥CE，FGCE，GH∥BDFG∥CE，FGCE，GH∥BD，GHFG∥CE，FGCE，∵BD∥GH，FG∥CE，∴FGHFGDHGD∠DCE∠GHC∠GCH∠DBC∠DCB∠ACD∠ACE∠DBC∠ABD∠ACBACBABC90，∴△HGF是等腰直角三角形，∴FH

2FG；图③证明如下：如图③所示，连接BD，HG，CE，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴FG是CDE的中位线，∴

12同理可得

GH∥BD，GH

12

BD，∵ABC和VADE都是等腰三角形，且BACDAE120，∴ABAC，BADCAE，ADAE，∴△ABD≌△ACESAS，∴CEBD，∠ACE∠ABD，∴FGHG，∵BD∥GH，FG∥CE，∴FGHFGDHGD∠DCE∠GHC∠GCH∠DBC∠DCB∠ACD∠ACE∠DBC∠ABD∠ACB试卷

38FG∥CE，FGFG∥CE，FGCE，ACBABC180BAC60，∴△HGF是等边三角形，∴FHFG．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，（2）一共有六种购买方案（3）m5【解析】【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件x10元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫

300a件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫

300a件，求出Wm5a12000300m，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出m5．试卷

39【小问1详解】解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件x10元，由题意得，

500x

400x10

，解得x50，检验，当x50时，xx100，∴x50是原方程的解，∴x1040，∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；【小问2详解】解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫

300a件，由题意得，1475050a40300a14800，解得275a280，∵a是正整数，∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，∴一共有六种购买方案；【小问3详解】解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫由题意得，W0.750a40m300am5a12000300m，∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴W的取值与a的值无关，∴m50，∴m5．

300a件，【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．28.如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，AOC60，OC的长是一元二次方程x24x120的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F试卷

40和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线AD的解析式．（2）连接MN，求△