利用导数研究函数极值 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学高二年级利用导数研究函数的极值一、知识回顾如果对x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0),

则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极大植点。如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值=f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极小植点。

已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b）内任一点，abba◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.1．极值点与极值

yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0(1)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左侧f

(x)>0，右侧f

(x)<0,那么f(x0)是极大值(2)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左侧f

(x)<0，右侧f

(x)>0,那么f(x0)是极小值

f

(x2)=0

f

(x1)=0可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的充要条件为：

2．求可导函数y=f(x)的极值的方法(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)

在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若导数在x0附近左负右正，则在x0处取得极小值;若导数在x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值.

3、求可导函数f(x)极值的步骤为：考点一求函数的极值

二、分类突破求函数的极值．f(x)＝x3－3x2－9x＋5解：函数定义域R，f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.

归纳总结

判断一个函数是否有极值，不能只求解，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性应相反．方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，列表法把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内，可以清晰地确定极值.考点二由函数的极值求参数已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．参数值进行检验参数值进行检验

归纳总结

解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．考点三含参数的函数极值问题

求函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的极值．解：函数定义域R，f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；

利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论．

归纳总结三、课堂检测1.函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(

)

A．极大值5，极小值－27；

B．极大值5，极小值－11；C．极大值5，无极小值；

D．极小值－27，无极大值．解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.

∴当x＝－1时，函数有极大值5；而3∉(－2,2)，故无极小值．当x<－1或x>3时，y′>0；当－1<x<3时，y′<0.C2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(

)解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a).又∵x>0，∴－a>1，即a<－1.A3.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________________________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，(－∞，－1)∪(2，＋∞)∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.①解析：由图象可知，x＝1，x＝2是函数的