中考数学解题技巧 39四边形的存在性问题

四边形的存在性问题例题精讲【例1】如图1，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒．（1），．（用含的代数式表示）（2）当四边形为平行四边形时，求的值（3）如图2，将沿翻折，得，是否存在某时刻，①使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由②使四边形为正方形，则．【解答】解：（1）如图1．，．在直角梯形中，，，于点，四边形为矩形，，；故答案为：，．（2）四边形为平行四边形时，，，解得：，（3）①存在时刻，使四边形为菱形．理由如下：，，当时有四边形为菱形，，解得，②要使四边形为正方形．，．四边形为正方形，则，，，．故答案为：．【变式训练1】在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．（1）若，分别是，中点，求证：四边形是平行四边形、相遇时除外）．（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值．（3）若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．【解答】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，，分别是，中点，，，，，，在和中，，，，同理：，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）得：，，四边形是平行四边形，，当时，平行四边形是矩形，分两种情况：①，，解得：；②，，解得：；综上所述：当为或时，四边形为矩形；（3）解：连接、，如图所示：四边形为菱形，，，，，，四边形是菱形，，设，则，由勾股定理得：，即，解得，，，，为时，四边形为菱形．【变式训练2】在矩形中，，，点为延长线上一点，且，连接，为的中点，有一动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒．（1）如图1，连接、，则（用含的式子表示）；（2）如图2，、分别为、的中点，当为何值时，四边形为平行四边形？请说明理由；【解答】解：（1）四边形是矩形，，，，，为的中点，，故答案为：（2）当时，四边形为平行四边形，理由如下：、分别为、的中点，，，时，，且点是的中点，，，四边形是平行四边形最新模拟题如图，在矩形中，，，连接，并过点作，垂足为，直线垂直，分别交、于点、．直线从出发，以每秒的速度沿方向匀速运动到为止；点沿线段以每秒的速度由点向点匀速运动，到点为止，直线1与点同时出发，设运动时间为秒．（1）线段；（2）连接和，当四边形为平行四边形时，求的值；（3）在整个运动过程中，当为何值时的面积取得最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）四边形是矩形，，，故答案为：（2）在中，四边形为平行四边形时，且，即（3），如图，过点作于点，当，，当时，有最大值，且最大值为，当时，点与点重合，点，点，点不构成三角形；当时，如图，当时，随的增大而增大，当时，最大值为，综上所述：时，的面积取得最大值，最大值为．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）①时，四边形是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；②时，四边形是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，．是的中点，，在和中，，．．，四边形是平行四边形．（2）解：①当时，四边形是矩形．理由如下：作于，如图所示：，，，，四边形是平行四边形，，，，，，在和中，，，，平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故当时，四边形是矩形；故答案为：8．②当时，四边形是菱形．理由如下：，．．，．是等边三角形．．平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．故当时，四边形是菱形；故答案为：4．如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线分别交、外角的平分线于点、．（1）猜想与证明，试猜想线段与的关系，并说明理由．（2）连接、．问：当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．（3）若边上存在一点，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论．【解答】（1）证明：平分，平分，，，，，，，，，，；（2）解：如图，当在的中点时，四边形是矩形，理由如下：当为中点时，则有，四边形为平行四边形，，四边形为矩形．（3）解：当点在边上运动到中点时，使四边形是正方形，是直角三角形．理由如下：由（2）可得点在边上运动到中点时，平行四边形是矩形，，平行四边形是矩形，，，，，四边形是正方形．如图，矩形中，点是线段上的一个动点，为的中点，的延长线交于．（1）求证：；（2）若，，点从点出发，以的速