2024届浙江省绍兴市诸暨市高三上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省绍兴市诸暨市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.设集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，.故选：D.2.若函数（，）的图象过点和，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗因为过点得，则，又过点得，即，.故选:A3.已知i是虚数单位，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，即，得，而时，，推不出一定是，即推不出;所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.已知，为单位向量，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，为单位向量，若，得，即，所以，解得：，又因为，所以.故选:C.5.的展开式中（即分子a的指数和分母b的指数相同）项的系数为（）A. B.15 C. D.20〖答案〗B〖解析〗通项公式，由可得，故，系数为.故选:B.6.若直线l与三次函数有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线l（）A.经过定点 B.不经过定点 C.斜率为定值 D.斜率可为任意实数〖答案〗A〖解析〗设这三个交点的坐标分别为，，由题意可得，由于三次函数的图像是中心对称图形，由可知，为对称中心，即直线l经过定点是三次函数的对称中心.故选:A．7.小张同学将一块棱长为正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，则，则，即得，所以，又设正四面体外接球的半径R，则，即，即得，故外接球体积为，故选：C．8.已知函数，都有，若恰好有4个点同在一个圆心在x轴上半径为的圆内，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，因为都有，所以这4个点为的最值点，由恰好有4个点在圆内，可得，解得，所以的取值范围为.故选：C．二、多选题9.在正方体中，E为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.若点P为中点，则//平面B.若点P为中点，则//平面C.若点P为AC中点，则平面D.若点P为中点，则平面〖答案〗AC〖解析〗在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令,则，，设平面的法向量，则，令，得，对于A，当点P为中点时，，，显然，即平面，而平面，因此//平面，A正确；对于B，当点P为中点时，，，显然，即与平面不平行，因此与平面不平行，B错误；对于C，当点P为AC中点时，，，因此平面，C正确；对于D，当点P为中点时，，与不平行，因此不垂直于平面，D错误.故选：AC10.已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由已知得，故A正确：，故B正确；，而，所以不成立，故C错误；，故D正确：故选：ABD11.已知双曲线上两点关于轴对称，分别为的左右顶点，若直线和交于点，则（）A.直线和的斜率之积为定值 B.直线和的斜率之积为定值C.点在椭圆上 D.面积的最大值为〖答案〗ABC〖解析〗设点，，则有，得到，又易知，对于选项A，直线和的斜率之积为定值，所以选项A正确；对于选项B，直线和的斜率之积为定值，所以选项B正确；对于选项C，设点，直线，直线，因为点为直线和的交点，由，解得，所以，又，所以，故点在椭圆上，所以选项C正确；对于选项D，由选项C可知面积的，所以，得到，所以选项D错误，故选：ABC.12.在的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A区域出发，每次跳动都等可能的跳往相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同）．记蛐蛐第跳后表格中的不同染色情况种数为，（第一次跳后有如图四种情况，即），则（）A. B.，恒成立C.蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色 D.蛐蛐能将表格中的四块染成黄色〖答案〗AC〖解析〗对于A，当时，对第一个表格往左跳，区域染成蓝色；或往下跳，区域染成蓝色；共两种情况；其他表格亦如此，，A正确；对于B，表格最多不超过种不同的染色情况，不可能恒成立，B错误；对于C,若蛐蛐按照如下顺序跳，即可将三个区域染成蓝色；情况一：情况二：C正确；对于D，三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D错误．故选：AC．三、填空题13.设等比数列的公比为，为前项和，若，，则______．〖答案〗8〖解析〗因为：，，得，于是，.故〖答案〗为：814.一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边长BO均为，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当时，称点P为“黄金视角点”，作，垂足C在OB的延长线上，当，时，______cm．〖答案〗〖解析〗过O作交DP于M，过M作交PC于C，则，，，于是(cm)．故〖答案〗为：．15.将正整数由小到大排列，从中随机抽取两个数，这两个数其中一个在前面，一个在后面的概率为，则______．〖答案〗4或7〖解析〗由题意，整理得到解得或7，故〖答案〗为：4或7．16.已知动点P在抛物线上，抛物线焦点为F，准线与x轴交于点E，以E，F为焦点的椭圆和双曲线皆过点P，则椭圆和双曲线离心率之比的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由题意椭圆和双曲线离心率之比．令，设，则，因为，，所以，因为，所以，故，又，所以．故〖答案〗为：．四、解答题17.已知为等比数列，前n项和，且，，，成等差数列．（1）求和；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）因为，，成等差数列，所以，又，即，可列出方程，解得，所以，（2）由（1）得，所以，．18.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，N是线段PC中点，，．（1）求点N到平面PAB的距离；．（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥体积的大小．解：（1）因为平面,平面所以,因为，所以，平面ABP，平面ABP，平面ABP，所以点C到平面PAB的距离，又因为BN是线段PC的中点，所以点N到平面PAB的距离．（2）解法一：建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，又因为平面APD，则，所以，所以．解法二：如图，作NO垂直AC于O，取AD中点M，连结MO，MN，易知是二面角余角，所以中，，所以，所以．19.在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．解：（1）因为，得到，即，由平方关系得，整理得到，解得或.（2）因为，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，又是的中点，所以，又，得到，整理得到，又，得到，所以.20.已知点在椭圆：上，过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为，．（1）求椭圆的方程；（2）求直线经过的定点坐标．解：（1）由题意得：，所以椭圆的标准方程为：.（2）若两条弦分别与轴，轴平行，此时直线就是轴，故定点在轴上．否则设过右焦点的直线记为：交椭圆于两点，，则，联立方程组：，消去，得：整理得：，，，用代替，可得：，，若，解得，：，否则,，故：，其中：令得：.故直线过定点.21.为丰富课余生活，某班组织了五子棋大赛．下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的200场比赛的胜负与先后手列联表（不记平局，单位：场）．最后甲乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交换先后手．已知甲先手胜乙的概率为后手胜乙的概率为．先后手胜负合计胜负先手6040100后手4060100合计100100200（1）依据的独立性检验，能否认为五子棋先后手与胜负有关联？（2）在甲第一局失败的的条件下，求甲最终获胜的概率．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1），故可以认为五子棋先后手与胜负有关联．（2）设事件A：甲第一局失败；事件B：第一局甲先手；事件C：甲获胜；．分两种情况讨论：甲第一局先手且失败，但最终获胜：共4局比赛：．共5局比赛：甲第一局后手且失败，但最终获胜：共4局比赛：共5局比赛：．故甲在第一局失败的情况下获胜的概率．综上．22.已知函数，其中且．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2）若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意知，当时，，易知，，即得曲线在处的切线方程为．（2）法一：因为，又因为，所以随a增大而减小，当时，，下证充分性：设，则，显然时，则此时单调递增，时，此时单调递减，所以，即恒成立，由，，令，即，设，，易知其对称轴为，且，即开口向上，对称轴，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以当时，恒成立．法二：由题意可知，，又由，可知在上递增，且.（i）当时，即，此时存在，使得，即在上递减，在上递增，所以设，则，显然时，则此时单调递增，时，此时单调递减，所以，即恒成立，①当时，令，所以可得．②当，再令，此时，所以可得．（ii）当时，即，则存在，使得，则在上递减，在上递增，所以，不成立．综上（i），（ii）知．浙江省绍兴市诸暨市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.设集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，.故选：D.2.若函数（，）的图象过点和，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗因为过点得，则，又过点得，即，.故选:A3.已知i是虚数单位，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，即，得，而时，，推不出一定是，即推不出;所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.已知，为单位向量，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，为单位向量，若，得，即，所以，解得：，又因为，所以.故选:C.5.的展开式中（即分子a的指数和分母b的指数相同）项的系数为（）A. B.15 C. D.20〖答案〗B〖解析〗通项公式，由可得，故，系数为.故选:B.6.若直线l与三次函数有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线l（）A.经过定点 B.不经过定点 C.斜率为定值 D.斜率可为任意实数〖答案〗A〖解析〗设这三个交点的坐标分别为，，由题意可得，由于三次函数的图像是中心对称图形，由可知，为对称中心，即直线l经过定点是三次函数的对称中心.故选:A．7.小张同学将一块棱长为正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，则，则，即得，所以，又设正四面体外接球的半径R，则，即，即得，故外接球体积为，故选：C．8.已知函数，都有，若恰好有4个点同在一个圆心在x轴上半径为的圆内，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，因为都有，所以这4个点为的最值点，由恰好有4个点在圆内，可得，解得，所以的取值范围为.故选：C．二、多选题9.在正方体中，E为棱的中点，则下列结论正确的是（）A.若点P为中点，则//平面B.若点P为中点，则//平面C.若点P为AC中点，则平面D.若点P为中点，则平面〖答案〗AC〖解析〗在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令,则，，设平面的法向量，则，令，得，对于A，当点P为中点时，，，显然，即平面，而平面，因此//平面，A正确；对于B，当点P为中点时，，，显然，即与平面不平行，因此与平面不平行，B错误；对于C，当点P为AC中点时，，，因此平面，C正确；对于D，当点P为中点时，，与不平行，因此不垂直于平面，D错误.故选：AC10.已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由已知得，故A正确：，故B正确；，而，所以不成立，故C错误；，故D正确：故选：ABD11.已知双曲线上两点关于轴对称，分别为的左右顶点，若直线和交于点，则（）A.直线和的斜率之积为定值 B.直线和的斜率之积为定值C.点在椭圆上 D.面积的最大值为〖答案〗ABC〖解析〗设点，，则有，得到，又易知，对于选项A，直线和的斜率之积为定值，所以选项A正确；对于选项B，直线和的斜率之积为定值，所以选项B正确；对于选项C，设点，直线，直线，因为点为直线和的交点，由，解得，所以，又，所以，故点在椭圆上，所以选项C正确；对于选项D，由选项C可知面积的，所以，得到，所以选项D错误，故选：ABC.12.在的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A区域出发，每次跳动都等可能的跳往相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同）．记蛐蛐第跳后表格中的不同染色情况种数为，（第一次跳后有如图四种情况，即），则（）A. B.，恒成立C.蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色 D.蛐蛐能将表格中的四块染成黄色〖答案〗AC〖解析〗对于A，当时，对第一个表格往左跳，区域染成蓝色；或往下跳，区域染成蓝色；共两种情况；其他表格亦如此，，A正确；对于B，表格最多不超过种不同的染色情况，不可能恒成立，B错误；对于C,若蛐蛐按照如下顺序跳，即可将三个区域染成蓝色；情况一：情况二：C正确；对于D，三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D错误．故选：AC．三、填空题13.设等比数列的公比为，为前项和，若，，则______．〖答案〗8〖解析〗因为：，，得，于是，.故〖答案〗为：814.一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边长BO均为，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当时，称点P为“黄金视角点”，作，垂足C在OB的延长线上，当，时，______cm．〖答案〗〖解析〗过O作交DP于M，过M作交PC于C，则，，，于是(cm)．故〖答案〗为：．15.将正整数由小到大排列，从中随机抽取两个数，这两个数其中一个在前面，一个在后面的概率为，则______．〖答案〗4或7〖解析〗由题意，整理得到解得或7，故〖答案〗为：4或7．16.已知动点P在抛物线上，抛物线焦点为F，准线与x轴交于点E，以E，F为焦点的椭圆和双曲线皆过点P，则椭圆和双曲线离心率之比的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由题意椭圆和双曲线离心率之比．令，设，则，因为，，所以，因为，所以，故，又，所以．故〖答案〗为：．四、解答题17.已知为等比数列，前n项和，且，，，成等差数列．（1）求和；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）因为，，成等差数列，所以，又，即，可列出方程，解得，所以，（2）由（1）得，所以，．18.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，，N是线段PC中点，，．（1）求点N到平面PAB的距离；．（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥体积的大小．解：（1）因为平面,平面所以,因为，所以，平面ABP，平面ABP，平面ABP，所以点C到平面PAB的距离，又因为BN是线段PC的中点，所以点N到平面PAB的距离．（2）解法一：建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，所以，又因为平面APD，则，所以，所以．解法二：如图，作NO垂直AC于O，取AD中点M，连结MO，MN，易知是二面角余角，所以中，，所以，所以．19.在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．解：（1）因为，得到，即，由平方关系得，整理得到，解得或.（2）因为，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，又是的中点，所以，又，得到，整理得到，又，得到，所以.20.已知点在椭圆：上，过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为，．（1）求椭圆的方程；（2）求直线经过的定点坐标．解：（1）由题意得：，所以椭圆的标准方程为：.（2）若两条弦分别与轴，轴平行，此时直线就是轴，故定点在轴上．否则设过右焦点的直线记为：交椭圆于两点，，则，联立方程组：，消去，得：整理得：，，，用代替，可得：，，若，解得，：，否则,，故：，其中：令得：