2024届新疆乌鲁木齐地区高三第二次质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗则复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，“”是“”不充分条件；又，“”是“”的必要条件.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.抛物线过点，则焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为抛物线过点，所以，故，故，故焦点坐标为，故选：C.5.设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，，，若为常数列，则，不为等比数列，与题意不合；若，则，若也是等比数列，则，.即，解得或（舍去）.故选：．6.设，函数的零点分别为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分别令，则，则分别为函数与函数图象交点的横坐标，分别作出函数的图象，如图所示，由图可知，.故选：A.7.已知角终边上点坐标为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以角的终边在第二象限，又因为，且，所以.故选：B.8.设是函数的两个极值点，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由题意得，又是函数的两个极值点，则是方程的两个根，故，又，则，即，则，则，所以，解得，此时.故选：C．二、选择题9.已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.函数是奇函数C.函数与的图象关于原点对称D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，均为上的增函数，故在上单调递增，故A正确.对于B，令，其中，而，故为上的奇函数，故B正确.对于C，，故的图象过原点，若函数与的图象关于原点对称，则的图象也过原点，但，矛盾，故函数与的图象不关于原点对称，故C错误.对于D，，故D正确，故选：ABD.10.数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列满足：（为正整数），，则（）A.时，B.时，在所有的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为C.时，的所有可能取值组成的集合为D.若所有的值组成的集合有5个元素，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，当时，则，故A正确；对于B，当时，则，所以数列从第项起，是以为周期的周期数列，所以所有的值组成的集合为，从中任选2个数都是偶数的概率为，故B正确；对于C，当时，若为奇数，则，故，若为偶数，则，故，若，则或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或，若，则或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），综上所述，或或或，所以的所有可能取值组成的集合为，故C错误；对于D，若所有的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为，若，则，所以数列是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若，则，所以数列是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若，则，所以数列是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若，则，所以数列从第项起，是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有4个元素，不符题意；若，则，所以数列从第项起，是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合有5个元素，符合题意，所以若所有的值组成的集合有5个元素，则，故D正确.故选：ABD.11.已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（）A.曲线关于原点对称B.的范围是的范围是C.曲线与直线无限接近，但永不相交D.曲线上两动点，其中，则〖答案〗ACD〖解析〗设，由题意，即，化简得，即且，对于A，将代入得，即，所以曲线关于原点对称，故A正确；对于B，由A选项知，的范围是且，故B错误；对于C，由，得，当时，，即，当时，，即，所以曲线与直线无限接近，但永不相交，故C正确；对于D，要使最小，则曲线在两点的切线平行，由，得，则，所以，因为，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12.已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______.〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率.故〖答案〗为：.13.正方体的棱长为2，内壁是光滑的镜面．一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后到达点，则从点射出的入射光线与平面的夹角的正切值为______.〖答案〗〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，则，则关于平面的对称点，而关于平面的对称点的坐标为，设直线与平面的交点分别为，则入射光线为，设，则存在实数，使得，所以，故，故，故，故，因为平面，故与平面所成的角为，而平面，故，故.故〖答案〗为：,14.已知五个点,满足:，，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，，，由题意设，则，，设，如图，因为求的最小值，则，，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知，曲线在处的切线方程为．（1）求；（2）证明．（1）解：由可得，则，所以曲线在点处的切线斜率为，又因为，所以切线方程为：，即.所以.（2）证明：要证明，只要证，设，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，所以.16.如图，在矩形中，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥是中点，是中点，在线段上，且平面．（1）求；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）如图，取的中点，连接，因为是中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以；（2）因为平面，所以平面，又平面，所以，则，则，所以，如图，过点作于点，则，，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，因为轴平面，则可取为平面的一条法向量，故，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为．（1）若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差；（2）现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率．解：（1）个苹果中，大果的个数为，小果的个数为，设大果的单果平均重量为，方差为，小果的单果平均重量为，方差为，则，，，，则100个苹果的平均重量为，100个苹果的方差为：.故估计果园苹果的单果平均重量为、方差为；（2）记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，则“大果是真大果”为，则，，，，由全概率公式可得：，，因此，.18.在中,点分别为的中点,与交于点，．（1）若，求中线的长；（2）若是锐角三角形，求四边形面积的取值范围．解：（1）因为点为的中点，所以，则，即，即，解得：或（舍去），又因为，，即，所以.（2）,,因为是锐角三角形，所以是锐角，即，即，所以，得，是锐角，即，即，所以，得，是锐角，即，即，所以，得，所以，综上：，所以.19.在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．（1）求“椭圆”的方程；（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；（3）设,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．（1）解：设“椭圆”上任意一点为，则，即，即，所以“椭圆”的方程为；（2）解：由方程，得，因为，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“椭圆”范围为，，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，所以“椭圆”关于轴，轴，原点对称；（3）证明：由题意可设椭圆的方程为，将点代入得，解得，所以椭圆的方程为，，由题意可设直线的方程为，联立，得，恒成立，则，因为的中点为，所以直线的中垂线的方程为，同理直线的中垂线的方程为，设，则是方程的两根，即是方程的两根，所以，又因，所以，两式相比得，所以，所以，所以直线与的斜率之积为定值．新疆乌鲁木齐地区2024届高三第二次质量监测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗则复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗，“”是“”不充分条件；又，“”是“”的必要条件.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.抛物线过点，则焦点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为抛物线过点，所以，故，故，故焦点坐标为，故选：C.5.设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，，，若为常数列，则，不为等比数列，与题意不合；若，则，若也是等比数列，则，.即，解得或（舍去）.故选：．6.设，函数的零点分别为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分别令，则，则分别为函数与函数图象交点的横坐标，分别作出函数的图象，如图所示，由图可知，.故选：A.7.已知角终边上点坐标为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以角的终边在第二象限，又因为，且，所以.故选：B.8.设是函数的两个极值点，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由题意得，又是函数的两个极值点，则是方程的两个根，故，又，则，即，则，则，所以，解得，此时.故选：C．二、选择题9.已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.函数是奇函数C.函数与的图象关于原点对称D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，均为上的增函数，故在上单调递增，故A正确.对于B，令，其中，而，故为上的奇函数，故B正确.对于C，，故的图象过原点，若函数与的图象关于原点对称，则的图象也过原点，但，矛盾，故函数与的图象不关于原点对称，故C错误.对于D，，故D正确，故选：ABD.10.数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列满足：（为正整数），，则（）A.时，B.时，在所有的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为C.时，的所有可能取值组成的集合为D.若所有的值组成的集合有5个元素，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，当时，则，故A正确；对于B，当时，则，所以数列从第项起，是以为周期的周期数列，所以所有的值组成的集合为，从中任选2个数都是偶数的概率为，故B正确；对于C，当时，若为奇数，则，故，若为偶数，则，故，若，则或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或，若，则或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），综上所述，或或或，所以的所有可能取值组成的集合为，故C错误；对于D，若所有的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为，若，则，所以数列是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若，则，所以数列是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若，则，所以数列是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若，则，所以数列从第项起，是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合只有4个元素，不符题意；若，则，所以数列从第项起，是以为周期的周期数列，此时所有的值组成的集合有5个元素，符合题意，所以若所有的值组成的集合有5个元素，则，故D正确.故选：ABD.11.已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（）A.曲线关于原点对称B.的范围是的范围是C.曲线与直线无限接近，但永不相交D.曲线上两动点，其中，则〖答案〗ACD〖解析〗设，由题意，即，化简得，即且，对于A，将代入得，即，所以曲线关于原点对称，故A正确；对于B，由A选项知，的范围是且，故B错误；对于C，由，得，当时，，即，当时，，即，所以曲线与直线无限接近，但永不相交，故C正确；对于D，要使最小，则曲线在两点的切线平行，由，得，则，所以，因为，所以，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12.已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______.〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以离心率.故〖答案〗为：.13.正方体的棱长为2，内壁是光滑的镜面．一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后到达点，则从点射出的入射光线与平面的夹角的正切值为______.〖答案〗〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系，则，则关于平面的对称点，而关于平面的对称点的坐标为，设直线与平面的交点分别为，则入射光线为，设，则存在实数，使得，所以，故，故，故，故，因为平面，故与平面所成的角为，而平面，故，故.故〖答案〗为：,14.已知五个点,满足:，，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，，，由题意设，则，，设，如图，因为求的最小值，则，，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知，曲线在处的切线方程为．（1）求；（2）证明．（1）解：由可得，则，所以曲线在点处的切线斜率为，又因为，所以切线方程为：，即.所以.（2）证明：要证明，只要证，设，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，所以.16.如图，在矩形中，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥是中点，是中点，在线段上，且平面．（1）求；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）如图，取的中点，连接，因为是中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以；（2）因为平面，所以平面，又平面，所以，则，则，所以，如图，过点作于点，则，，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，因为轴平面，则可取为平面的一条法向量，故，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为．（1）若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差；（2）现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率．解：（1）个苹果中，大果的个数为，小果的个数为，设大果的单果平均重量为，方差为，小果的单果平均重量为，方差为，则，，，，则100个苹果的平均重量为，100个苹果的方差为：.故估计果园苹果的单果平均重量为、方