2023-2024学年湖南省部分学校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖南省部分学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗，当，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知弧长为的扇形面积也为，则该扇形的圆心角（正角）为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设该扇形的圆心角为，半径为，则，解得.故选：D.4.已知，则的最小值为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗由重要不等式得，当且仅当时取等，解得，显然A正确.故选：A.5.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，，所以.故选：A.6.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数单调递增，又，，故，所以函数的零点所在区间为.故选：B.7.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，所以.故选：A.8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的物块经过后的温度，的物块经过后的温度，要使得两块物体的温度之差不超过，则，即，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知且，，则函数.与的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零，当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合.故选：BD.10.已知函数在上单调递增，则的取值可能为（）A.1 B.2 C.4 D.5〖答案〗CD〖解析〗因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则，解得．故选：CD.11.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（）A.B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟C.D.该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米〖答案〗BCD〖解析〗依题知，则，因为，所以，A错误；由，则周期为，则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；，由，可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.故选：BCD.12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B.在上单调递减C. D.函数恰有8个零点〖答案〗AC〖解析〗对于A，由，得，可得的周期为4，A正确；对于B，当时，，则，得，结合周期画出的部分图象如图所示，由图可得在上单调递增，B错误；对于C，，C正确；对于D，因为，所以为偶函数，当时，令，得，画出函数的图象，因为，所以与在上的图象只有8个零点，根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知角的终边经过点，则__________.〖答案〗〖解析〗由已知得角的终边经过点，则是第一象限角，，由任意角三角函数的定义得，由诱导公式得.故〖答案〗为：.14.函数（）的图象经过定点，则点的坐标为__________．〖答案〗〖解析〗令，得，所以点的坐标为．故〖答案〗为：.15.若函数在上恰有3个零点，，则__________.〖答案〗〖解析〗由已知函数的最小正周期，作出函数的草图如图：由于函数在上有个周期，若函数在上恰有3个零点，则.故〖答案〗为：.16.已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为______________________.〖答案〗〖解析〗由题知，记，因为是奇函数，所以，所以，所以为偶函数，由题知，记，即，因为，所以，即，所以在上，为减函数，因为为偶函数，所以在上，为增函数，因为不等式可化为，即，又因为，可得，所以可化为，解得，或，所以解集为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）已知正数a满足，求的值.解：（1）原式.（2）由已知得，同时平方得，即，平方得，故.18.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象.（1）求的〖解析〗式；（2）若是奇函数，求的值；（3）求在上的最小值与最大值.解：（1）由题意可得.（2），因为是奇函数，所以，解得.（3）因为，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为，当，即时，取得最大值，且最大值为.19.某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：销售人员个人每月销售额/万元销售额的提成比例不超过100万元的部分5%超过100万元的部分记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．（1）试写出提成关于销售总额的关系式；（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？解：（1）根据题意可知，当时，；当时，，故提成关于销售总额的函数关系式为（2）当时，，则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，令，得，解得，即该销售人员当月的销售总额至少为135万元．20.已知指数函数.（1）若在上的最大值为8，求的值；（2）当时，若对恒成立，求的取值范围.解：（1）当时.在上单调递增，可得，解得；当时，在上单调递减，可得，解得，综上可得，实数的值为或2.（2）方法一：由函数在上单调递减，当时，在上单调递增，且，所以，即，又因为，所以，所以实数的取值范围是.方法二：由题意得，不等式对恒成立，即对恒成立，令，因为，所以为增函数，所以，所以，又因为，解得，所以实数取值范围是.21.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）求图象的对称中心的坐标；（3）若，，求的值.解：（1）由函数，令，可得，所以的单调递减区间为.（2）由函数，令，解得，所以图象的对称中心的坐标为.（3）由，可得，则，因为，所以，所以，所以.22.已知函数且.（1）若，函数，求的定义域；（2）若，求的取值范围.解：（1），代入可得：，有意义可得，所以，的定义域为.（2），因为且，所以恒成立，若，则函数是增函数，因为，所以，即，设，要使时，恒成立，只需或解得，故符合题意，若，则函数是减函数，因为，所以，即，结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立，故不符合题意，综上，的取值范围为.湖南省部分学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗，当，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知弧长为的扇形面积也为，则该扇形的圆心角（正角）为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设该扇形的圆心角为，半径为，则，解得.故选：D.4.已知，则的最小值为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗由重要不等式得，当且仅当时取等，解得，显然A正确.故选：A.5.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，，所以.故选：A.6.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数单调递增，又，，故，所以函数的零点所在区间为.故选：B.7.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，所以.故选：A.8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的物块经过后的温度，的物块经过后的温度，要使得两块物体的温度之差不超过，则，即，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知且，，则函数.与的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零，当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合.故选：BD.10.已知函数在上单调递增，则的取值可能为（）A.1 B.2 C.4 D.5〖答案〗CD〖解析〗因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则，解得．故选：CD.11.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（）A.B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟C.D.该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米〖答案〗BCD〖解析〗依题知，则，因为，所以，A错误；由，则周期为，则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；，由，可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.故选：BCD.12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B.在上单调递减C. D.函数恰有8个零点〖答案〗AC〖解析〗对于A，由，得，可得的周期为4，A正确；对于B，当时，，则，得，结合周期画出的部分图象如图所示，由图可得在上单调递增，B错误；对于C，，C正确；对于D，因为，所以为偶函数，当时，令，得，画出函数的图象，因为，所以与在上的图象只有8个零点，根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知角的终边经过点，则__________.〖答案〗〖解析〗由已知得角的终边经过点，则是第一象限角，，由任意角三角函数的定义得，由诱导公式得.故〖答案〗为：.14.函数（）的图象经过定点，则点的坐标为__________．〖答案〗〖解析〗令，得，所以点的坐标为．故〖答案〗为：.15.若函数在上恰有3个零点，，则__________.〖答案〗〖解析〗由已知函数的最小正周期，作出函数的草图如图：由于函数在上有个周期，若函数在上恰有3个零点，则.故〖答案〗为：.16.已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为______________________.〖答案〗〖解析〗由题知，记，因为是奇函数，所以，所以，所以为偶函数，由题知，记，即，因为，所以，即，所以在上，为减函数，因为为偶函数，所以在上，为增函数，因为不等式可化为，即，又因为，可得，所以可化为，解得，或，所以解集为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）已知正数a满足，求的值.解：（1）原式.（2）由已知得，同时平方得，即，平方得，故.18.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象.（1）求的〖解析〗式；（2）若是奇函数，求的值；（3）求在上的最小值与最大值.解：（1）由题意可得.（2），因为是奇函数，所以，解得.（3）因为，所以，当，即时，取得最小值，且最小值为，当，即时，取得最大值，且最大值为.19.某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：销售人员个人每月销售额/万元销售额的提成比例不超过100万元的部分5%超过100万元的部分记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．（1）试写出提成关于销售总额的关系式；（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该