2024届山东省日照市高三上学期期末校际联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省日照市2024届高三上学期期末校际联合考试数学试题一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选:A.2.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,,所以,则.故选：A.3.若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.故选：A.4.实数满足，则的大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，即，所以；由，得，因为，所以，即；综上，.故选：D.5.在平行四边形ABCD中，，则（）A.2 B. C. D.4〖答案〗A〖解析〗在平行四边形ABCD中，如图所示：因为，所以是的中点，即，，,因为，所以，因此，.故选：A.6.设A，B为两个事件，已知，，，则（）A.0.3 B.0.4C.0.5 D.0.6〖答案〗B〖解析〗根据题意，，则，则，解可得：．故选：B．7.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分，可得，且，所以圆柱的底面直径，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得，所以，由勾股定理得，解得.故选：A.8.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方体、正四面体和球的体积为1，设正方体的棱长为，则，解得，表面积，设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形的外接圆半径，正四面体的高，体积，解得，表面积，设球半径为，则，解得，表面积，所以.故选：C.二､多项选择题9.设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，若，则，A对；对于B选项，若，不妨取，则，但，B错；对于C选项，若，则，故，C对；对于D选项，若，则，解得，D错.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.函数f(x)的图象关于对称C.函数f(x)的图象关于对称D.函数f(x)在上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗由图可知：,且,故，，故，，，故A正确；当时，，故B错误；当时，，故C正确；当时，，故D正确.故选：ACD11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（）A.B.当时，C.随机变量，当减小，增大时，概率保持不变D.随机变量，当都增大时，概率增大〖答案〗BC〖解析〗对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确；对于B,当时，，故B正确；对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数，故由可知，C正确，D错误，故选：BC.12.在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（）A.为等比数列 B.C.为等差数列 D.〖答案〗BCD〖解析〗设交于E点，则，即，故，由于三点共线，故存在实数，使得，即得，故，整理得，即，则，即而，故为首项是，公差为的等差数列，C正确；则，故，故，B正确；又常数，故不为等比数列，A错误；，故，则，故，D正确，故选：BCD三､填空题13.的展开式中的系数是___________.〖答案〗40〖解析〗因为，所以的展开式中的系数是40.故〖答案〗为：4014.已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗设的半焦距为，由题意知，所以，故〖答案〗为：.15.已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为______〖答案〗〖解析〗如图所示，由圆的面积为知球心到圆的距离，在中，，∴，故圆半径，∴圆的面积为.故〖答案〗为：16.已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为_______.（写出符合要求的一条切线即可）〖答案〗（或）〖解析〗设存在三个不同点在曲线上，则，且互不相同，由题可得，，故在的切线方程分别为：，，，根据题意可得由①可知，，由②，令，则，即，平方可得，，即，由于互不相同，则，则可得，故，则，由此可得其切线方程为：，故〖答案〗为：（或）四､解答题17.记的三个内角分别为，，.其对边分别为，，,若，的面积为.（1）求；（2）若，求.解：（1）由余弦定理知：在中，，，即又，即.（2）由（1）知，则角为锐角.，.由正弦定理知：，则，..又，，.18.已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为.已知.（1）求公比；（2）记第行的数所成的等差数列的公差为，把所构成的数列记作数列，求数列的前项和.解：（1）由题意知成等差数列，其公差为，，又成等比数列，且，公比，由于，故；（2）结合（1）问，由，公差为，所以，而，故，所以；又，所以，由于为等差数列，公差为，所以，即，所以.19.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

A大学B大学C大学D大学2023年毕业人数（千人）87542023年考研人数（千人）0.60.40.30.3（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.参考公式：.解：（1）由题意得，又，，，，所以，故得关于的线性回归方程为；（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，，，，，则，可得，又因为，可得，故.20.如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角余弦值.（1）证明：在直角梯形中，因为，又平面平面，所以平面，因为平面，平面平面，且平面，所以.（2）解：设，连接，则直线为直线，由（1）知，由题意知，取的中点，连接，则因为平面平面，平面平面所以平面取的中点，连接，则四边形为正方形，连接，则所以两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则所以，取，得设平面的法向量为，则所以，取，得所以.所以平面与平面所成角的余弦值为.21.已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若在区间上存在唯一零点，求证：.（1）解：由题意知，，令，得，又因为，则，，①当时，有，此时，所以此时在上单调递增；②当时，有，令得：，所以在和上单调递增，令得：，所以在上单调递减；③当时，有，令得：，所以在和上单调递增，令得：，所以在上单调递减.综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）解：由题意知在区间上存在唯一零点，即存在唯一的，使得，即得，若要证明，则只需证明，即只需证明即可，不妨设，则，令，则，所以当时，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即当时，有不等式成立，综上所述：若在区间上存在唯一零点，则.22.已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.（1）求抛物线的标准方程，并证明；（2）过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.解：（1）设抛物线的方程为，由椭圆得：，则，故抛物线的焦点坐标为，所以，所以抛物线的方程为易知过点的直线的斜率存在，故可设直线方程为，设，联立，消去得：，则，所以.联立，消去得：，则，则,又,，即.（2）设，当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，则直线方程为，由（1）的过程可知：，由，以替换，可得，所以四边形面积，因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，联立，解得易得：，所以四边形面积；综上所述：，所以四边形面积的最小值为.山东省日照市2024届高三上学期期末校际联合考试数学试题一､单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选:A.2.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,,所以,则.故选：A.3.若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.故选：A.4.实数满足，则的大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，即，所以；由，得，因为，所以，即；综上，.故选：D.5.在平行四边形ABCD中，，则（）A.2 B. C. D.4〖答案〗A〖解析〗在平行四边形ABCD中，如图所示：因为，所以是的中点，即，，,因为，所以，因此，.故选：A.6.设A，B为两个事件，已知，，，则（）A.0.3 B.0.4C.0.5 D.0.6〖答案〗B〖解析〗根据题意，，则，则，解可得：．故选：B．7.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分，可得，且，所以圆柱的底面直径，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得，所以，由勾股定理得，解得.故选：A.8.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方体、正四面体和球的体积为1，设正方体的棱长为，则，解得，表面积，设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形的外接圆半径，正四面体的高，体积，解得，表面积，设球半径为，则，解得，表面积，所以.故选：C.二､多项选择题9.设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，若，则，A对；对于B选项，若，不妨取，则，但，B错；对于C选项，若，则，故，C对；对于D选项，若，则，解得，D错.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.函数f(x)的图象关于对称C.函数f(x)的图象关于对称D.函数f(x)在上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗由图可知：,且,故，，故，，，故A正确；当时，，故B错误；当时，，故C正确；当时，，故D正确.故选：ACD11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（）A.B.当时，C.随机变量，当减小，增大时，概率保持不变D.随机变量，当都增大时，概率增大〖答案〗BC〖解析〗对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确；对于B,当时，，故B正确；对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数，故由可知，C正确，D错误，故选：BC.12.在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（）A.为等比数列 B.C.为等差数列 D.〖答案〗BCD〖解析〗设交于E点，则，即，故，由于三点共线，故存在实数，使得，即得，故，整理得，即，则，即而，故为首项是，公差为的等差数列，C正确；则，故，故，B正确；又常数，故不为等比数列，A错误；，故，则，故，D正确，故选：BCD三､填空题13.的展开式中的系数是___________.〖答案〗40〖解析〗因为，所以的展开式中的系数是40.故〖答案〗为：4014.已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗设的半焦距为，由题意知，所以，故〖答案〗为：.15.已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为______〖答案〗〖解析〗如图所示，由圆的面积为知球心到圆的距离，在中，，∴，故圆半径，∴圆的面积为.故〖答案〗为：16.已知函数的图象上存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线重合，则此切线的方程为_______.（写出符合要求的一条切线即可）〖答案〗（或）〖解析〗设存在三个不同点在曲线上，则，且互不相同，由题可得，，故在的切线方程分别为：，，，根据题意可得由①可知，，由②，令，则，即，平方可得，，即，由于互不相同，则，则可得，故，则，由此可得其切线方程为：，故〖答案〗为：（或）四､解答题17.记的三个内角分别为，，.其对边分别为，，,若，的面积为.（1）求；（2）若，求.解：（1）由余弦定理知：在中，，，即又，即.（2）由（1）知，则角为锐角.，.由正弦定理知：，则，..又，，.18.已知个正数排成行列，表示第行第列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为.已知.（1）求公比；（2）记第行的数所成的等差数列的公差为，把所构成的数列记作数列，求数列的前项和.解：（1）由题意知成等差数列，其公差为，，又成等比数列，且，公比，由于，故；（2）结合（1）问，由，公差为，所以，而，故，所以；又，所以，由于为等差数列，公差为，所以，即，所以.19.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

A大学B大学C大学D大学2023年毕业人数（千人）87542023年考研人数（千人）0.60.40.30.3（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若大学的毕业生中小江､小沈选择考研的概率分别为，该省对小江､小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.参考公式：.解：（1）由题意得，又，，，，所以，故得关于的线性回归方程为；（2）设小江､小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为，，，，，则，可得，又因为，可得，故.20.如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角余弦值.（1）证明：在直角梯形中，因为，又平面平面，所以平面，因为平面，平面平面，且平面，所以.（2）解：设，连接，则直线为直线，由（1）知，由题意知，取的中点，连接，则因为平面平面，平面平面所以平面取的中点，连接，则四边形为