2023-2024学年河南省名校联盟高一下学期3月测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以.故选：A.2.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，因为函数在上单调递增，又，所以，故．故选：D.3.若向量，满足，，，则（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，满足，，，所以，可得：，即，所以.故选：C．4.在平行四边形中，，设，，则向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，而，因此，则，所以.故选：B.6.已知向量，，若，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，又，，，解得.故选：A.7.已知向量，的夹角为，，与同向，则的最小值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，向量，的夹角为，与同向，与的夹角为，又，故．故选；D.8.关于函数有下述四个结论：①是奇函数；②在区间单调递增；③是的周期；④的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗，，所以为非奇非偶函数，①错误；当时，令，，又时单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当时，，均为增函数，所以在区间单调递增，所以②正确；，所以是的周期，所以③正确；假设的最大值为2，取，必然，，则，与，矛盾，所以的最大值小于2，所以④错误.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.故选：ABC.10.若x，y满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为（R），由可变形为，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.当时，的值域为C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D.将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．〖答案〗(1，2)〖解析〗令，当时，为减函数，为减函数，不合题意；当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上.故〖答案〗为：(1，2).13.已知向量满足且，则在方向上的投影向量为__________.〖答案〗〖解析〗∵，且，则，解得，故在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且，设，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗建立如图所示的直角坐标系，其边长为2，，则，所以，由，得，解得其中，所以，令，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知向量，若，求.（2）已知，的夹角为60°，若，求的值.解：（1），由可得，解得，则，，.（2）由可得，化简得，即，化简得，解得16.已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，即，所以即，所以函数的定义域为．（2），令，则，，易知二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，所以函数在上单调递增，所以，假设存在满足题意的实数，当时，函数单调递增，，解得或（舍去），当时，函数单调递减，，解得（舍去），综上，存在实数时，使得函数在区间上的最大值为2．17.已知向量，，函数，先将的图象向右平移个单位，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象.（1）求的最小正周期；（2）若，求的值域；（3）若，，，试求的最小值.解：（1），.（2），，，.（3）由图象变换得，；设，，，，，；，当时，在单调递增，则当时，，当时，单调递减，则当时.．18.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；（2）当变化时，求的最大值及对应的值．解：（1）设正方形的边长为，则，，则，，，即，整理得到，当时，.（2），，，则，，则，在上单调递减，故，故的最大值为，此时，，故.19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.解：（1）.（2）依题意，，不等式，函数在上单调递增，，令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，，又，于是，，因此，，显然函数在上单调递减，当时，，从而，所以实数的取值范围是.（3），，依题意，，，当时，，，即，于是，而，因此，当时，，则，，即，而，因此，于是，，所以.河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，所以.故选：A.2.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，因为函数在上单调递增，又，所以，故．故选：D.3.若向量，满足，，，则（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗向量，满足，，，所以，可得：，即，所以.故选：C．4.在平行四边形中，，设，，则向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，而，因此，则，所以.故选：B.6.已知向量，，若，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，又，，，解得.故选：A.7.已知向量，的夹角为，，与同向，则的最小值为（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，向量，的夹角为，与同向，与的夹角为，又，故．故选；D.8.关于函数有下述四个结论：①是奇函数；②在区间单调递增；③是的周期；④的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗，，所以为非奇非偶函数，①错误；当时，令，，又时单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当时，，均为增函数，所以在区间单调递增，所以②正确；，所以是的周期，所以③正确；假设的最大值为2，取，必然，，则，与，矛盾，所以的最大值小于2，所以④错误.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.故选：ABC.10.若x，y满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为（R），由可变形为，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.当时，的值域为C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D.将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．〖答案〗(1，2)〖解析〗令，当时，为减函数，为减函数，不合题意；当时，为增函数，为减函数，符合题意，需要在[0，1]上恒成立，当时，成立，当时，恒成立，即，综上.故〖答案〗为：(1，2).13.已知向量满足且，则在方向上的投影向量为__________.〖答案〗〖解析〗∵，且，则，解得，故在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且，设，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗建立如图所示的直角坐标系，其边长为2，，则，所以，由，得，解得其中，所以，令，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知向量，若，求.（2）已知，的夹角为60°，若，求的值.解：（1），由可得，解得，则，，.（2）由可得，化简得，即，化简得，解得16.已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，即，所以即，所以函数的定义域为．（2），令，则，，易知二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，所以函数在上单调递增，所以，假设存在满足题意的实数，当时，函数单调递增，，解得或（舍去），当时，函数单调递减，，解得（舍去），综上，存在实数时，使得函数在区间上的最大值为2．17.已知向量，，函数，先将的图象向右平移个单位，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象.（1）求的最小正周期；（2）若，求的值域；（3）若，，，试求的最小值.解：（1），.（2），，，.（3）由图象变换得，；设，，，，，；，当时，在单调递增，则当时，，当时，单调递减，则当时.．18.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交