人教版八年级数学上册三角形章末重难点题型试卷

专题01三角形章末重难点题型汇编【举一反三】

考点1三角形的稳定性

考点2判断三角形的高

三角形

考点7三角形外角性质的应用考点3三角形边角关系的应用

考点8利用互余关系倒角考点4多边形的相关概念

K典为分沂U

【考点1三角形的稳定性】

【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角

形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实

质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.

［例1）（2019春•永泰县期中）如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的

加固方案（）

【变式1-2］（2018秋•桐梓县校级期中）图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它

的形状不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓

尽可能少，那么需要添加螺栓（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-3】（2019秋•安陆市期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至

少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上

三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）

A.11根B.10根C.9根D.8根

【考点2判断三角形的高】

【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：（1）过该边所对的顶点；（2）垂足必须在该边或在该边的延长

线上.

【例2】（2019春•海州区期中）如图，△ABC中的边BC上的高是（）

A.AFB.DBC.CFD.BE

【变式2-1］（2019春•大丰区期中）要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）

B

【变式2-2】（2019春•苏州期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个

三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【变式2-3]（2018春•南岗区校级期中）如图，8。是△ABC的高，EF//AC,EF交BD于G,下列说法正

确的有（）

①BG是aEB尸的高；②8是△8GC的高；③OG是△AGC的高；④AO是△ABG的高.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点3三角形边角关系的应用】

【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.

【例3】（2019春•福州期末）用一根长为10。〃的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为

2cm,且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【变式3-1]（2019秋•银海区期末）a,b,c为△ABC的三边，fLf§J|a+6+c|-\a-b-c\-\a-b+c\-\a+b-c|,

结果是（）

A.0B.2a+2b+2cC.4^D.2b-2c

【变式3-2]（2019春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b,且。>匕，那么这个三角形

的周长L的取值范围是（）

A.3b<L<3aB.2a<L<2（a+b）

C.a+2h<L<2a+hD.3a-b<L<3a+b

【变式3-3]（2019•孝感模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计

螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹

角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）

5

【考点4多边形的相关概念】

【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n（n23）边形的

一个顶点可以作出（n-3）条对角线.将多边形分成（n-2）个三角形.

【例4】（2019春•道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）

【变式4-1］（2019秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线.

A.IB.2C.3D.4

【变式4-2］（2018秋•南城县期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把

一个七边形分割成（）个三角形.

A.6B.5C.8D.7

【变式4-3X2018秋•绵阳期中）一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

【考点5多边形内角和与外角和的应用】

【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：（n-2）X180°（n23的整数），多边形的外角和等于360。

特别注意：与边数无关.

【例5】（2019春•吴江区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3,

则这个多边形为（）

A.三角形B.四边形C.六边形D.八边形

【变式5-1］（2018秋•桐梓县校级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°,再沿直

线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地4点时，一共走了（）米.

A.100B.120C.140D.60

【变式5-2］（2019春•江都区期中）如图，五边形ABCOE中，AB//CD,ZKN2、N3分别是NBAE、Z

AED.N匹C的外角，则N1+N2+/3等于（）

AB

2

A.180°B.90°C.210°D.270°

【变式5-3］（2019春•江阴市期中）如图,在六边形ABCCEF中，ZA+ZB+ZE+ZF=a,CP、OP分别平

分/BCD、NCQE,则NP的度数是（)

180°-laC.laD.3600-岂

2222

【考点6三角形内角和定理的应用】

【方法点拨】三角形内角和等于180°.

【例6】（2019春•石景山区期末）如图，BO平分/ABC.ZABD^ZADB.

（1）求证：AD//BC；

（2）若BOLCO,ZBAD=a,求NDC8的度数（用含a的代数式表示）.

【变式6-1］（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，ZACB>90°,AE平分/BAC,A£»_LBC交BC的

延长线于点D.

（1）若NB=30°,ZACB=100°,求NE4O的度数；

（2）若NB=a,NACB=0,试用含a、0的式子表示NEAO,则NE4D=.（直接写出结论即可）

BD

【变式6-2](2019春•福州期末)如图，在△ABC中，NABC的平分线交AC于点。.作/BOE=NA8D

交AB于点E.

(1)求证：ED//BC；

(2)点M为射线AC上一点(不与点4重合)连接8M,/ABM的平分线交射线即于点N.若NMBC

=L/NBC,ZBED=\05°,求的度数.

2

【变式6-3](2018秋•丰城市期末)已知将一块直角三角板。EF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直

角边DE,。尸恰好分别经过点B、C.

(1)ZDBC+ZDCB=度;

(2)过点A作直线直线MN〃QE,若NACQ=20°,试求NC4M的大小.

【考点7三角形外角性质的应用】

【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

1例7](2019春•宝应县期中)如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,/A=34°,△ABC的外角NCBO

的平分线BE交AC的延长线于点E.

(1)求NCBE的度数；

(2)过点。作。尸〃BE,交AC的延长线于点凡求N尸的度数.

cz//

ABD

【变式7-17］（2018春•岱岳区期中）如图，ZVIBC中，NA=30°,ZB=62°,CE平分NACB,CDLAB

【变式7-2］（2018春•商水县期末）如图，NBAD=NCBE=NACF,ZFDE=64°,NOEF=43°,求^

ABC各内角的度数.

【变式7-3］（2019春•南开区校级月考）如图，在△ABC中，AO是高，ZDAC=10°,AE是/BAC外角

的平分线，平分/ABC交AE于点凡若/A8C=46°,求/A尸8的度数.

【考点8利用互余关系倒角】

【方法点拨】直角三角形两锐角互余，通常利用这一结论进行倒角.

【例8】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，ZACB=90°,CQ_LAB于。.

（1）求证：NACD=NB：

（2）若A/平分NC4B分别交C£＞、BC于E、F,求证：NCEF=/CFE.

【变式8-1](2011春•越城区校级期中)如图，△ABC中，49是BC边上的高线，8E是一条角平分线，它

们相交于点尸，已知/“£>=125°,求的度数.

【变式8-2】在△ABC中，NACB=90°,E是8c边上的一点，过C作垂足为凡过点8作BO

±BC,交CF的延长线于点£>,若N£>=65°,求/EAC的度数.

【变式8-3](1)如图①，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为。，NACO与有什么关系？

为什么？

(2)如图②，在RtZ\A8C中，/C=90°,D、E分别在AC,AB±,且NAZ)E=/8,判断△ADE的

形状是什么？为什么？

(3)如图③，在RtZVIBC和RtZ\£>BE中，ZC=90°,ZE=90°,AB1.BD,*C,B,E在同一直

专题01三角形章末重难点题型汇编【举一反三】

K皂宙巧点11

考点1三角形的稳定性

考点2判断三角形的高

考点3三角形边角关系的应用

考点4多边形的相关概念

K共列分沂】

【考点1三角形的稳定性】

【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角

形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实

质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.

【例1】（2019春•永泰县期中）如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的

加固方案（）

fflHS用

【思路点拨】根据三角形的稳定性进行解答.

【答案】解：根据三角形的稳定性可得C是最好的加固方案.

故选：C.

【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能

唯一确定下来，故三角形具有稳定性.

【变式1-11（2019秋•西陵区校级期中）将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳定

【思路点拨】根据三角形具有稳定性进行解答.

【答案】解：根据三角形具有稳定性可得A、8、。都具有稳定性，C未曾构成三角形，因此不稳定，

故选：C.

【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容.

【变式1-2］（2018秋•桐梓县校级期中）图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它

的形状不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓

尽可能少，那么需要添加螺栓（）

【思路点拨】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的H的，可用三角形的稳定性解释.

【答案】解：如图：A点加上螺栓后，

根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边.

【方法总结】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢

架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.

【变式1-3］（2019秋•安陆市期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至

少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上

三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）

A.11根B.10根C.9根D.8根

【思路点拨】根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条

数，由此得出答案即可.

【答案】解：过〃边形的一个顶点可以作（〃-3）条对•角线，把多边形分成（»-2）个三角形，

所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要12-3=9根木条固定.

故选：C.

【方法总结】此题考查了图形的变化规律，考虑把多边形分成三角形是解题的关键.

【考点2判断三角形的高】

【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：（1）过该边所对的顶点；（2）垂足必须在该边或在该边的延长

线上.

【例2】（2019春嗨州区期中）如图，AABC中的边BC上的高是（）

A.AFB.DBC.CFD.BE

【思路点拨】根据三角形高的定义即可解答.

【答案】解：△ABC中的边BC上的高是AF,

故选：A.

【方法总结】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与

垂足的连线段叫二角形的高.

【变式2-1］（2019春•大丰区期中）要求画△A8C的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）

【思路点拨】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线即可.

【答案】解：过点C作A8边的垂线，正确的是C.

故选：C.

【方法总结】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握.

【变式2-2］（2019春•苏州期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个

三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【思路点拨】根据直角三角形的性质即可直接得出结论.

【答案】解：•••直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，

若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；

故选：B.

【方法总结】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点

是解答此题的关键.

【变式2-3］（2018春•南岗区校级期中）如图，8。是△ABC的高，EF//AC,EF交BD于G,下列说法正

确的有（）

①BG是△E8尸的高；②8是△8GC的高；③。G是△AGC的高；④AO是△ABG的高.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】根据三角形的高的定义以及平行线的性质，即可解答.

【答案】解：是△A8C的高，

...NAOB=/CO8=90°,

'：EF//AC,

.•.NEG8=NA£>B=90°,

.•.8G是△E8F的高，①正确：

,：ZCDB=90Q,

...C£>是△BGC的高，②正确；

,:NADG=NCDG=90°,

；.OG是aAGC的高，③正确；

\'ZADB=90a,

是△A8G的高，④正确.

故选：D.

【方法总结】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间

的线段叫做三角形的高，理解定义是关键.也考查了平行线的性质.

【考点3三角形边角关系的应用】

【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.

【例3】（2019春•福州期末）用一根长为10的的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为

2cm,且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【思路点拨】根据三角形的两边之和大于第三边，根据周长是10厘米，可知最长的边要小于5厘米，进

而得出三条边的情况.

【答案】解：•••三角形中一边的长为2cm,且另外两边长的值均为整数，

三条边分别是2c〃?、4cm4cm.

故选:A.

【方法总结】本题主要考查了学生根据三角形三条边之间的关系解决问题的能力.在运用三角形三边关

系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三

条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

【变式3-1]（2019秋•银海区期末）a,b,c为AABC的三边,化简|a+加■『-|a-9-dTa-b+c\-\a+b-c|,

结果是（）

A.0B.2a+2h+2cC.4aD.2b-2c

【思路点拨】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整式的加减法的运算方

法，求出结果是多少即可.

［答案］解：\a+b+c\-\a-b­（］-\a-b+c\-\a+b-c\

=（a+b+c）-（b+c-a）-（a-b+c'）-（a+b-c）

—a+b+c-b-c+a-a+b-c-a-b+c

=0

故选：A.

【方法总结】此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此

题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边.

【变式3-2］（2019春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b,且那么这个三角形

的周长L的取值范围是（）

A.3b<L<3aB.2a<L<2Ca+b）

C.a+2h<L<2a+bD.3a-b<L<3a+h

【思路点拨】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长/的取值范围

即可.

【答案】解：设第三边长上

根据三角形的三边关系，得

，这个三角形的周长L的取值范围是a-b+a+b<L<a+b+a+b,即2a<L<2a+2b.

故选:B.

【方法总结】考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边

之差小于第三边.

【变式3-3］（2019•孝感模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计

螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹

角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）

7

3

A.6B.7C.8D.9

【思路点拨】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几

种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可.

【答案】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；

①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7,能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；

②选5+4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3,能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；

③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3：4+3<12,不能构成三角形，此种情况不成立；

④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4：而5+4<10,不能构成三角形，此种情况不成立：

综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9.

故选：D.

【方法总结】本题考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方

法是解答的关键.

【考点4多边形的相关概念】

【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n（n）3）边形的

一个顶点可以作出（n-3）条对角线.将多边形分成（n-2）个三角形.

【例4】（2019春•道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）

【思路点拨】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是

凸多边形.否则即是凹多边形.

【答案】解：图形不是凸多边形的是A.

故选:A.

【方法总结】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键.

【变式4-1］（2019秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线.

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得解.

【答案】解：如图需至少添加2条对角线.

故选:B.

【方法总结】本题考查了三角形具有稳定性的应用，作出图形更形象直观.

【变式4-2］（2018秋•南城县期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把

一个七边形分割成（）个三角形.

A.6B.5C.8D.7

【思路点拨】从“边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（/?-2）

个三角形.

【答案】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成

7-2=5个三角形.

故选:B.

【方法总结】本题考查的知识点为：从〃边形的一个顶点出发，可把〃边形分成-2）个三角形.

【变式4-31（2018秋•绵阳期中）一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

【思路点拨】根据截去一个角后边数增加1,不变，减少1讨论得解.

【答案】解：•••截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1,

•••原多边形的边数是7或8或9.

故选：C.

【方法总结】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1,不变，减少1三种情

况.

【考点5多边形内角和与外角和的应用】

【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：（n-2）X180°（n23的整数），多边形的外角和等于360°

特别注意：与边数无关.

【例5】（2019春•吴江区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3,

则这个多边形为（）

A.三角形B.四边形C.六边形D.八边形

【思路点拨】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角.多边形

外角和是固定的360°.

【答案】解：设这个多边形的边数为〃，依题意得

（n-2）X180°=3X360°,

解得〃=8,

.•.这个多边形为八边形，

故选：D.

【方法总结】此题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想.关键是记住多边形一个内角与外角互

补和外角和的特征.

【变式5-1］（2018秋•桐梓县校级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°,再沿直

线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米.

A.100B.120C.140D.60

【思路点拨】根据多边形的外角和为360°,由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可.

【答案】解：由题意得：360°+36°=10,

则他第一次回到出发地4点时，一共走了12X10=120（米）.

故选:B.

【方法总结】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键.

【变式5-2］（2019春•江都区期中）如图，五边形ABCDE'中，AB//CD,N1、/2、/3分别是/BAE、Z

AED、/EDC的外角，则N1+/2+N3等于（）

A.180°B.90°C.210°D.270°

【思路点拨】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点8、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和

等于180。，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解.

【答案】解：延长48,DC,

\'AB//CD,

；./4+/5=180°,

根据多边形的外角和定理可得/1+/2+/3+/4+/5=360°,

.,.Zl+Z2+Z3=360°-180°=180°.

故选:A.

DC

【方法总结】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键.

【变式5-3］（2019春•江阴市期中）如图，在六边形A8CDEF中，ZA+ZB+ZE+ZF=a,CP、OP分别平

分NBC。、NCDE,则NP的度数是（）

A.la-180°B.180°-laD.3600-La

222

【思路点拨】由多边形内角和定理求出NA+/8+NE+/F+/CZ)E+/BCD=720°①，由角平分线定义

得出/8CP=/OCP,NCDP=NPDE,根据三角形内角和定理得出/尸+/尸。力+/2/g=180°,得出

2ZP+ZBCD+ZCDE=360°②，由和②即可求出结果.

【答案】解：在六边形ABC£>£7;■中，ZA+ZB+ZE+ZF+ZCDE+ZBCD=(6-2)X180°=720°①,

CP,0P分别平分/BCD、NCDE,

：.NBCP=NDCP,NCDP=NPDE,

VZP+ZPCD+Zra£=180°,

：.2(NP+NPCD+NPDE)=360°,

即2NP+NBCD+NCDE=360°②，

①-②得：NA+NB+NE+NF-2NP=360°,

即a-2ZP=360°,

：.ZP=La-180°；

2

故选：A.

【方法总结】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理；熟记多边形内角和

定理和三角形内角和定理是解题关键.

【考点6三角形内角和定理的应用】

【方法点拨】三角形内角和等于180°.

【例6】（2019春•石景山区期末）如图，BD平分NABC.ZABD=ZADB.

（1）求证：AD//BCi

（2）若BDLCD,ZBAD=a,求/OC8的度数（用含a的代数式表示）.

【思路点拨】（1）想办法证明即可.

（2）利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题.

【答案】（1）证明：：口。平分NABC,

NABD=NCBD

,/NABD=NADB,

：.NADB=NDBC,

：.AD//BC.

（2）解：'：AD//BC,且/a4E»=a,

AZ/lfiC=180°-a,

AZDBC=1-ZABC^9OQ-La,

22

■:BD工CD,

：.ZBDC=90°

：.ZC=90°-（90°-L）

【方法总结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

【变式6-1］（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，NACB>90°,AE平分NBAC,AO_L8C交BC的

延长线于点D.

（1）若NB=30°,ZACB=100°,求NE4。的度数；

（2）若/B=a,/ACB=B，试用含a、0的式子表示NE4。，则/EA£>=.（直接写出结论即可）

【思路点拨】（1）根据垂直的定义得到/。=90°,根据邻补角的定义得到/4C£>=180°-100°=80°,

根据三角形的内角和得到/7MC=5O°,根据角平分线的定义得到NC4E=L/8AC=25°,于是得到

2

结论；

（2）根据垂直的定义得到/。=90°,得到NAC£）=180°-0,求得NBAC=90°-a-（0-90°）=

180°-a-p,根据角平分线的定义得到NCAE=L/84C=90°-1（a+p）,根据角的和差即可得到

22

结论.

【答案】解：（1）VAD1BC,

.\ZD=90°,

VZACB=\00°,

AZACD=180°-100°=80°,

：.ZCAD=90°-80°=10°，

VZB=30°,

AZBAD=90°-30°=60°，

：.ZBAC=50Q,

・.・AE平分NBAC,

AZCAE=LZBAC=25°,

2

ZEAD=ZCAE+ZCAD=35°；

(2)VAD±BC,

.\ZD=90°,

,/ZACB=P，

AZACD=180°-p,

JZCAD=90°-ZACD=^-90°,

ZB=a,

ZBAD-=90a-a,

：.ZBAC=90°-a-(0-90°)=180°-a-p,

•.YE平分NBAC,

:.NCAE=L/BAC=90°-A(a+B),

22

ZEAD=ZCAE+ZCAD=900-J-(a+p)+p-90°=4-—a-

222

故答案为：Ip-la.

22

【方法总结】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

【变式6-2](2019春•福州期末)如图，在△4BC中，NABC的平分线交AC于点。.作/8DE=ZAB£>

交AB于点E.

(1)求证：ED//BC；

(2)点M为射线AC上一点(不与点A重合)连接的平分线交射线ED于点M若NMBC

=L/NBC,ZBED=105°,求NENB的度数.

2

【思路点拨】（1）利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行：

（2）分两种情况分别进行解答，根据每一种情况画出相应的图形，依据图形中，角之间的相互关系，转

化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可.

【答案】解：（I）平分NABC,

ZABD=ZDBC,

又；NBDE=NABD,

:.NBDE=NDBC,

J.ED//BC-,

(2):BN平分NABM,

NABN=NNBM,

①当点M在线段AC上时，如图1所示：

•:DE//BC,

:.NENB=/NBC,

NMBC=LNNBC,

2

：.NNBM=NMBC=LNNBC,

2

设/M8C=x°,则NEBN=/NBM=x°,/ENB=NNBC=2x",

在△ENB中，由内角和定理得：x+2x+IO5°=180°,

解得：x=25,

:.NENB=2x=50°,

②当点M在AC的延长线上时，如图2所示：

'."DE//BC,

：.ZENB=ZNBC,

:NMBC=LNNBC,

2

NNBM=3/MBC,

设NM8C=x°,则N£BN=NN8M=3x°,NENB=NNBC=2x°,

在△EM8中，由内角和定理得：3x+2r+105°=180°,

解得：x=15,

：.ZENB=2x=30°,

答:NEN8的度数为50°或30°.

【方法总结】综合考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，分类讨论，分别

画出相应的图形，利用等量代换和图形中角之间的关系布列方程是解决问题常用的方法.

【变式6-3](2018秋•丰城市期末)已知将一块直角三角板。EF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直

角边DE,。尸恰好分别经过点3、C.

(1)ZDBC+ZDCB=度；

(2)过点A作直线直线若NACQ=20°,试求NC4M的大小.

【思路点拨】(1)在403€'中，根据三角形内角和定理得/。8。+/。酸+/。=180°,然后把/£>=90°

代入计算即可：

(2)在RtA4BC中，根据三角形内角和定理得/ABC+NAC8+/A=180°,BR,：.ZABD+ZBAC=90a

-NACO=70°,整体代入即可得出结论.

【答案】解：(1)在△O8C中，VZDBC+ZDCB+ZD=\SO°,

而NO=90°,

:.NDBC+NDCB=90°；

故答案为90；

(2)在△ABC中，

VZABC+ZACB+ZA=180°,

即ZABD+ZDBC+ZDCB+ZACD+ZBAC=lSOa,

而N£)8C+NOCB=90°,

ZAB£>+ZAC£>=90o-ZBAC,

：.ZABD+ZBAC^900-NACD=70°.

又，：MN〃DE,

：.ZABD=ZBAN.

而NBAN+N8AC+NC4M=180°,

NABO+/8AC+NC4W=180°,

：.ZCAM=lS00-CZABD+ZBAC}=110°.

【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出NA8/)+N8AC

=70°.

【考点7三角形外角性质的应用】

【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【例7】(2019春•宝应县期中)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=34°,ZvlBC的外角NC8D

的平分线BE交AC的延长线于点E.

（1）求/CBE的度数；

（2）过点。作。/〃3E,交AC的延长线于点F,求NF的度数.

【思路点拨】（1）根据三角形的外角的性质求出NC8/）,根据角平分线的定义计算，得到答案；

（2）根据平行线的性质解答即可.

【答案】解：（1）..•NAC8=90°,/4=34°,

，NC8O=124°,

是NC8/）的平分线，

:.NCBE=L/CBD=62。；

2

（2）VZ£CB=90°,ZCBE=62°,

AZCEB=28°,

\'DF//BE,

:.NF=NCEB=28°.

【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相

邻的两个内角的和是解题的关键.

【变式7-17］（2018春•岱岳区期中）如图，ZXABC中，NA=30°,ZB=62°,CE平分NAC8,CD1AB

【思路点拨】根据三角形内角和定理求出/4C8,根据角平分线的定义求出/ACE；根据垂直的定义、

三角形内角和定理求出NCD尸.

【答案】解：,.•NA=3O°,ZB=62°,

AZACB=180°-30°-62°=88°；

•.PE平分NACB,

.,.NACE=/8CE=LNACB=44"，

2

\'CD±AB,

：.ZCDB=90Q,

NBCD=90°-NB=28°,

NECD=NECB-ZBCD=\6°,

'：DF±CE,

：.ZCDF=90°-ZDCF=74°.

【方法总结】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线的定义，掌握三角形

内角和等于180°是解题的关键.

【变式7-2】（2018春•商水县期末）如图，NBAD=NCBE=NACF,NFDE=64°,NOE尸=43°,求4

ABC各内角的度数.

【思路点拨】根据三角形外角性质得到而NBA/）=NCBE,则

ZCBE=ZABC=M°；同理可得/OEF=NACB=43°,然后根据三角形内角定理计算NBAC=180°

-NABC-N4c8即可.NBAD=NCBE=NACF,NFDE=48°,ZDEF=64°,

【答案】解：VZFDE^ZBAD+^ABD,/BAD=NCBE

ZFDE=ZBAD+ZCBE=ZABC,

：.ZABC=M°；

同理NOEF=NFCB+NCBE=NFCB+NACF=ZACB,

；.NACB=43°；

AZBAC=1800-ZABC-Z4CB=180°-64°-43°=73°,

」.△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°.

【方法总结】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180。.也考查了三角形外角的性质，

熟记：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键.

【变式7-3］（2019春•南开区校级月考）如图，在△ABC中，A£＞是高，ZDAC=\0a,AE是N84C外角

的平分线，85平分ZA8C交AE于点凡若NA8C=46°,求NAFB的度数.

【思路点拨】根据直角三角形的性质求出N84。的度数，得到N8AC的度数，根据邻补角的性质求出/

CAM的度数，根据角平分线的定义求出/MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可.

【答案】解：是高，

AZADB=90°,

AZSAD=90°-NA8c=44°,又NDAC=10°,

/.ZBAC=54a,

；./M4C=126°,

,：AE是NBAC外角的平分线，

.•./MAE=L/MAC=63°,

2

尸平分NA8C,

ZABF=l-ZABC=2r,

2

NAFB=ZMAE-NABF=40°.

【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和是解题的关键.

【考点8利用互余关系倒角】

【方法点拨】直角三角形两锐角互余，通常利用这一结论进行倒角.

(:例8](2019春•莲湖区期中)如图，在△ACB中，ZACB=90