2017年-2019年全国卷Ⅰ理数高考试题及答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能

答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合加={川一4<x<2},7V={X|X2-X-6<0},则MN=

A.{XH<X<3}B.{X|-4<X<-21C.{X|-2<X<2}D.{%[2<X<3}

2.设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),贝ij

A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+/=lCx2+(y-l)2=l

D.x2+(j；+l)2=l

3.己知a=log2（）2b=202,c=0.2°'3,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是避二1

2

（避二1刈.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人

2

体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是避二L若某人满足上述两个黄金

2

分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

sin¥4-x

5.函数人x）=^---------7在［一兀，兀］的图像大致为

COSX+X-

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个

爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取

一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

7.已知非零向量a,。满足|a|=2g|,且(a-A)J.3,则a与白的夹角为

5兀

D.

T

8.如图是求一的程序框图，图中空白框中应填入

11I

A.A=D.A=l+—

2+AA1+2A2A

9.记S.为等差数列｛4｝的前〃项和.已知邑=。，%=5,则

A.an=2n-5B.an=3n—IOCS〃=2/—8〃

cI7

D.S=—n2-2n

〃tJ2

io.已知椭圆C的焦点为耳(一1,0),鸟(1,0),过&的直线与C交于4,B两点.若

\AF2\=2\F2B\,IAB1=1班I，则C的方程为

222

x

A.—+y2=1R.y_i

2,32

11.关于函数/（x）=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:

TT

①/U）是偶函数②/U）在区间（二,兀）单调递增

2

@/（x）在［-兀，兀］有4个零点④《尤）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②④C.0@D.①③

12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正

三角形，E,F分别是B4,PB的中点，ZCEF=90°,则球。的体积为

A.8灰兀B.4-岛tC.2街TtD.瓜it

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=3（d+x）ex在点（0,0）处的切线方程为.

1

14.记S”为等比数列｛〃“｝的前”项和.若q=§,a~=a6,则Ss=__________.

15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛

结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主设甲队主场

取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1

获胜的概率是.

22

16.已知双曲线C：=一4=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为吊，尸2,过吊的直线与

6rb

。的两条渐近线分别交于A,5两点.若4A=耳3•65=0,则。的离心率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

△ABC的内角4//的对边分别为“也小设6皿台小由。？=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若J5a+Z?=2c,求sinC.

18.(12分)

如图，直四棱柱A8CO-ABC。的底面是菱形，44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分别是BC,BBi，AQ的中点.

(1)证明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角的正弦值.

19.(12分)

3

已知抛物线C：J=3x的焦点为F,斜率为|■的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交

点为P.

(1)若|AQ+|BQ=4,求/的方程;

(2)若AP=3PB,求|AB|.

20.(12分)

已知函数/(x)=sinx—ln(l+x),/'*)为/(x)的导数.证明：

7T

(1)/(了)在区间(-1,万)存在唯一极大值点；

(2)/(x)有且仅有2个零点.

21.(12分)

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物

试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机

选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其

中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多

的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以

乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的

白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、

乙两种药的治愈率分别记为a和p,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i=0,l,,8)表示“甲药的累计得分

为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=0,p$=l,Pj=api+bpj+cpM

a=1,2,,7),其中a=P(X=-I),b=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,

4=0.8.

⑴证明：｛PM-p10=0,1,2,,7)为等比数列；

(ii)求p-并根据A的值解释这种试验方案的合理性.

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

\-t2

X=2，

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛1+r。为参数）.以坐标原点。

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

2/?cose+Gpsine+ll=0.

（1）求C和/的直角坐标方程；

（2）求C上的点到/距离的最小值.

23.［选修4—5：不等式选讲］（10分）

已知a,b,c为正数，且满足“儿=1.证明：

（1）-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(a+bY+(Z?+c)，+(c+a)，N24.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学•参考答案

一、选择题

1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D

二、填空题

121

13.y=3x14.——15.0.1816.2

3

三、解答题

17.解：(I)由已知得sin?B+sii?C-sin?A=sinBsinC,故由正弦定理得

b2+c2-a2=bc.

,222i

由余弦定理得cosA=+c—a=J.

2bc2

因为0°<。<180°,所以A=60°.

(2)由(1)知B=120°—C,由题设及正弦定理得应sinA+sin(120°—C)=2sinC,

即^■+@cosC+』sinC=2sinC,可得cos(C+60")=—.

222v72

由于0°<C<12()°,所以sin(C+60°)=子，故

sinC=sin(C+60-6())

=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60

一V6+V2•

4

18.解：(1)连结B|C,ME.

因为M,E分别为88”8c的中点，

所以ME〃8C，且ME=LBC.

2

又因为N为的中点，所以M)=LAI。.

2

由题设知4B|=£>C,可得B|C=AQ,故ME=NO,

因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.

又MN2平面EDC”所以MN〃平面CQE.

(2)由已知可得。EJ_D4.

以。为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-刈z,则

4(2,0,()),4(2,0,4),M(l,>/3,2)，N(l,(),2),AA=(O,O,T),=(T石，-2),

AN=(—1,0,—2),MN=0-6⑼.

/n-AM=0

设机=(x,y,z)为平面AMA的法向量，贝叫，

m-\A-0

—x+yfiy—2z_0>i—

所以〈-可取力=(G,i,o).

-4z=0.

nMN=0,

设〃=(p,q,r)为平面4MN的法向量，则<

〃4N=0.

所以，回‘一°’可取〃=(2,(),-1).

-p-2r-0.

手曰/MN2A/3_V15

J足cos\z?i,it)——-——---7=-----,

I加l〃|2x755

所以二面角A一%-N的正弦值为巫.

3

19.解：设直线/:y=5%+「,4(%,乂),8(%2，%)•

(1)由题设得/(jo),故IA/n+18/|=%+/+|,由题设可得%+%2=|・

，3

y=—x+t12(/-1)

由12,可得9d9+12Q—l)x+4〃9=0,则不+々=一一-~~

J2=3X9

12(/-1)57

从而----9—=/'得f=_g.

37

所以/的方程为y=

28

(2)由AP=3PB可得y=—

_3

由＜v=5'+'，可得y2—2y+2r=0.

丁=3%

所以X+%=2.从而一3y2+%=2,故%=T,y=3.

代入C的方程得％=3,%

故.

20.解：(1)设g(x)=7'(x),则g(x)=cosx———,g'(x)=-sinx+——J-

1+x(1+x)

当时，g'(x)单调递减，而g'(0)>0,g'(］)<0,可得g'(x)在［―I,］)有

唯一零点，

设为a.

则当工£(-1,4)时，g'(x)>0；当时，g'(x)v0.

所以g(x)在(Ta)单调递增，在N总单调递减，故g(x)在11,"存在唯

一极大值点，即/'(X)在卜15)存在唯一极大值点.

(2)/(x)的定义域为(-

(i)当xe(—l,0］时，由(1)知，/(x)在(一1,0)单调递增，而/(0)=0,

所以当xe(-l,0)时，f\x)<0,故/⑴在(-1,0)单调递减，又/(0)=0,从

而x=0是/(x)在(-1,0］的唯一零点.

(ii)当时，由⑴知，尸。)在(0㈤单调递增，在单调

递减，而1(0)=0,/'仔］<0,所以存在/jag),使得/(£)=0,且当

x6(0,0时，/'(x)>0；当时，:(x)<0.故”X)在(0,/7)单调递

增，在单调递减.

X/(0)=0,/M=l-lnfl+^>0,所以当xe(0弓时，f(x)>0.从而,

/(%)在(og没有零点.

(iii)当彳6仁，兀时，尸(x)<0,所以f(x)在e，兀单调递减.而/扑。，

/(7t)<0,所以/(x)在《，兀有唯一零点.

(iv)当不£(兀,”)时，lnO+l)>l,所以/(九)<0，从而/'(X)在(兀,+00)没有

零y占八、、•

综上，/(X)有且仅有2个零点.

21.解：X的所有可能取值为一1,0,1.

p(X=_l)=(l_a)〃，

P(X=0)=。夕+(1-a)(l-'),

P(X=1)—),

所以X的分布列为

X0

(l-a)"a/?+(lP)a[\-

(2)(i)由(1)得Q=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此p,.=0.4^+0.5pi+0.\pM,故此1(R+]—R.)=0.4(Pj-pj_J,即

Pi「Pi=4(Pi-Pi".

又因为月一00=回工0,所以｛PM—〃J(i=0,l,2,,7)为公比为4,首项为用的等

比数列.

(ii)由⑴可得

48—1

+++

P8=P8-P7P7-P6+R-Po+Po=(08一科)+(〃7一。6)+(Pl-Po)=^~Pl

3

由于28=1，故P1=不一J"，所以

1

A=(P4-P)+(P3-P2)+(P2-P)+(P-Po)=-^—P

3lll257

“4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为

0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为〃4=一匚。。0。39,此

时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

2

22.解：（1）因为—1〈七二<1,且d+j』］=f-I+-4r--=b所以c的直角

1+r2（2jU+，2

5+『)

v2

坐标方程为J+2L=1（工。—1）.

/的直角坐标方程为2x+J§y+ll=0.

x=cosa,

（2）由（1）可设C的参数方程为《（。为参数，一TCVaVTC）.

y=2sina

「4cos|6Z--l+ll

_.,,7弘12cosa+2,3sina+111I3）

C上的点到/的距离为-------------i=---------L=----'尸"——.

当。=-当时，4cos（a—1]+11取得最小值7,故C上的点到/距离的最小值为J7.

23.解：(1)+b2>lab,b1+c2>2bc,c2+cr>2ac,又abc=T,故有

,22,,ab+hc+ca111

a2+。+c>ab+be+ca=--------------=—+-+

abcab

所以！

abc

（2）因为。,b,c为正数且a〃c=1,故有

(«+与3+s+c)3+(c+a)3>3y(a+))3s+c)3(a+c)3

=3(a+〃)S+c)(a+c)

>3x(2-Jab)x(2A/^C)X(2A/^C)

=24.

所以3+Z?)3+S+C)3+(C+Q)3N24.

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试卷类型：A

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅

笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴

处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6()分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设z=^~L+2i,则|z|=()

1+Z।1

A.0B.-C.1D.y/2

2

2.己知集合4=卜|行一了一2>0},则为4=()

A.{x|—l<x<2}B.{x|-1WXW2}

C.1x|x<-1}{x\x>2}D.{x|xW-1}{x|x22}

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解

该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

例.得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.记S〃为等差数列｛q｝的前〃项和.若3S3=S2+S4，4=2,则%=（）

A.-12B.-10C.10D.12

5.设函数，（6=d+（a-l）f+以,若/⑺为奇函数,则曲线y=在点（0,0）处的切

线方程为（)

A.y=-2xB.y=­xC.y=2xD.y=x

6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为的中点，则破=（)

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444A

B

7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示，圆柱表面上的点”在正视图上

的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M

到N的路径中，最短路径的长度为()

A.2gB.2^5C.3D.2

8.设抛物线C：>2=4》的焦点为尸，过点(-2,0)且斜率为:的直线与C交于M,N两点，

则FMFN=()

A.5B.6C.7D.8

9.已知函数〃x)=F',g(x)=〃x)+x+a,若g(x)存在2个零点，则“的取值

Inx,x>0

范围是()

A.[-1,0)B.[+8)C.[—1,+8)D.[1,+00)

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆

构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,

AC,Z\A8C的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分

记为IH,在整个图形中随机取一点，此点取自I,H,III的概率分别记

为Pi,p2,p3,则()

A.pt=p2B.p、=P3C.p2=p,D.p,=p2+py

11.已知双曲线G工-丁=1,。为坐标原点，/为。的右焦点，过尸的直线与C的两条

3

渐近线的交点分别为N.若AOMN为直角三角形,则|MN|=()

A.3

B.3C.2后D.4

2

12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所

得截面面积的最大值为（)

A.更B.亚C.逑D.显

4342

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-2y-2W0

13.若x,y满足约束条件,x-y+l20，则z=3x+2y的最大值为.

yW0

14.记为数列｛4｝的前〃项和.若S“=2a“+1,则$6=.

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法

共有种.（用数字填写答案）

16.己知函数/（x）=2sinx+sin2x,则/（x）的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.(12分)在平面四边形ABCO中，ZADC=90°,NA=45。，AB=2,BD=5.

(1)求cos/ADB；

(2)若DC=2垃，求BC.

18.（12分）如图，四边形ABCO为正方形，E,尸分

别为AO,BC的中点，以OE为折痕把△£＞「（7折

起，使点C到达点尸的位置，且PF_LBF.

（1）证明：平面PER_L平面A8a）；

（2）求DP与平面形中所成角的正弦值.

19.（12分）设椭圆C三十丁=1的右焦点为尸，过歹的直线/与C交于A,8两点，点M

2

的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AW的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产

品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件

作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的

概率都为p(O<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求的最大值点P。；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的为作为p的

值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格

品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,

求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作

检验？

21.(12分)已知函数〃x)=L-x+alnx.

(1)讨论的单调性；

(2)若“X)存在两个极值点片,%,证明：

大一工2

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xQy中，曲线J的方程为y=%W+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为02+2pcos®-3=O.

(1)求G的直角坐标方程；

(2)若G与G有且仅有三个公共点，求G的方程.

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

/(x)=|x+l|—|av-1|.

(1)当〃=1时，求不等式/(x)>l的解集；

(2)若xG(0,1)时不等式/(x)>x成立，求a的取值范围.

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案解析

一、选择题。

123456789101112

cBABDABDCABA

二、填空题。

13.614.—6315.1616.-----

—————2

(IP1-2/-122

1、C解析:z=-+2i=+2i=+2i=i|z|=Vo+1=1

1+Z(1+0(1-01+1

2、B解析：4={》|》2_尤_2>0}={》|尤<-1或x>2}CRA=|-1<x<2)

3、A解析：设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a.

对于A项：种植收入原来为0.6a,后来为2a37%=0.74“，增加，故A错误;

对于B项：其他收入原来为0.04a,后来为2a5%=0.1a,增加的倍数为

0.1a-0.04a

=1.5>1,故B正确;

0.04a

对于C项：养殖收入原来为0.3a,后来为2a30%=0.6a，增加的倍数为,

0.3a

故C正确;

对于D项：新农村建设后，养殖收入为2a30%=0.6a,第三产业收入为2a28%=0.56a,

而经济收入的一半为」x2a=a,则0.6a+0.56a=1.16a>a,故D正确.

2

4、B解析：设等差数列的公差为d.

j3(3q+3d)=2q+d+4q+6dq=2

"\ai=2=>%=〃]+4d=2+4x(—3)=—10.

d=-3

5、D解析：/(x)为奇函数

f(-x)=-f(x)=>-x3+(〃-l)x2-ax--x3-{a-l)x2-ax

2(a—V)x2=0恒成立=a-l=0na=l,则/(x)=x3f(x)=3x2+1

・・・/(此在点(0,0)处的切线斜率为攵=/'(0)=1,则所求切线方程为y—0=x—0,即

y=x.

6、A解析：

EB=ED+DB=-AD+-CB=-x-(AB+AC')+-(AB-AC)^-AB--AC.

2222244

7、B解析：将此圆柱的四分之一侧面展开如右图所示:

则最短路径为|MN|=A/22+42=2石

2

8、D解析：由己知，得尸(1,0),直线为y=§(x+2)

y2-4x(A(A

,Jx=1„x=4

则《2=>\或《n"(l,2),N(4,4)

y=—(x+2)[y=2[y=4

、3

:.FMFN=(Q,2)(3,4)=0x3+2x4=8.

9、C解析：g(x)存在2个零点

方程/(x)+x+a=0有两个根

o方程/(x)=-x-a有两个根

=函数y=/(x)与函数y=的图象有两个不同父点

如右图所示，则只需-。41即可

即a的取值范围是[-1,+8).

io、A解析：此题属于几何概型，总区域面积相同，故只要求出I,H,in的面积进行比

较即可。

设BC-a,AC=h,AB~c,则〃？+c?=a2

ii\h]c

22=；尻++/一〃2)=；加

则S|=不加，S2=-be+-^(-)+-TT(-)-

乙乙乙乙乙乙

14111

/2A2

乃

--(-1=-乃--

2\2282故6=6.

11、B解析：由己知，得/=3=＞。=百，I)*=1=b=1

1反

则c?=〃+〃=4=C=2F(2,0),渐近线的方程为y=±十x=±]-x

则NMO/=30°,由于双曲线的对称性，不妨设NQMN=900

法一：在Rr中，NA/OF=30°,|0同=2

则|OM|=|OF|cos30°=2X三=6

在RtMON中，ZMON=60i\则NON"=90°—60"=30"

•./阿=黑=后;1=3

法二：直线MN的倾斜角为90°+30°=120",其斜率为女=tan120°=一百

故直线MN的方程为y=-V3(x-2)

3

y=-G(x-2)尤=一

2二M(|,

则4石)

y=——xV3

3尸了

y=-园-2)

x=3

=><=N(3,-我

V3y=-6

产一丁

.♦.网=J(3_|)2+(_g_

3

12、A解析：如下图所示，平面AgC与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，则

平面a//平面做C.

构造平面MNPQHS//平面A4c,设AS=x

则SP=0,SR=PQ=MN=®,SM=RQ=PN=y/iQ—Q

则

76(1-x)

梯形梯形[及+夜瓜x1

S六边形SSR0P+SSMNP=/X(l—x)]X--------1----x(V24-V2x)x

222

―y/3x^+A/3%+2=-0(

24

••・当x=；时，S111ax=3x/3

4

13、6解析：画出可行域如右图所示：

37z

将z=3x+2y变形为丁=一万1+万，z最大，即截距5最大.

3

则当直线y=-务工平移经过点A（2,0）时，截距最大.

zinax=3x2+2x0=6.

14、^63解析：S〃=2q7+1①

，当〃=1时，q=耳=26tl+l=q=-1

当“22时，S,T=2%T+1②

①-②，得4=2a“-2a“T，即一^-=2（〃22）

%

•・.数列｛4｝是首项为-1,公比为2的等比数列

yi（"）=_63

61-2

15、16解析：法一（直接法）：分成两类：1女2男、2女1男

则不同的选法共有C；C：+C；C：=16（种）.

法二（间接法）：“至少有1位女生入选”的对立事件为“没有一位女生入选”

则不同的选法共有C；—C=16(种).

16.--y-解析：法一：易知/(x)的最小正周期为7=2万，则问题转化求/(X)在［0,2句

的最小值.

/(%)=2sinx+sin2x

/./(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)

=2(2cos2x+cosx-1)=2(cosx+1)(2cosx-1)

令f=cosX(-1</<1),则/(x)=2(Z+1)(21-1)

令/(x)=0,得r=—1或r

.•.当时，/(x)<0,/(x)单调递减：

当时，/(x)>0,/(x)单调递增.

IIjr'冗

...当f=5时，/(x)取得最小值，此时COSX=2=>X=］或x=k

心)=2sin工+sin女工心)=2sin2+sin叱=一逋

又

33323332

36

二/(4in

法二：f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(cosx+1)

令/=cosx(-l</<1)

则尸(x)=4(1-2)«+1)2=4(1_/)([+f)3=4(3_30(1+t)3

3—3，+1+，+1+，+1+，,27

)=T

4

当且仅当3—3f=l+f,即/=’时等号成立.

2

—36〃、3G

•­一-~"I)-=""'min

~2~

17、解：（1）在中，由正弦定理，得

BDAB

sin45csinZADB

2又显

.cABsin45°V2

sin/ADB=-------2--

BD55

又BA<BD.-.ZADB<ZA=45\故NAOB为锐角.

cosZADB

(2)由(1)知，cosZBDC=cos(90°-ZADB)=sinZADB=—

在5OC中，由余弦定理，得

BC2=BD2+DC2-2BDPCcosZBDC

=52+(2V2)2-2X5X2V2X^-=25

又BC>0BC=5.

18、解：（1）证明：四边形ABC。为正方形

...AB±BC

E,尸分别为AD3c的中点

EFIIABEFIBC,即EF±BF

又PF^BF,PFEF=F,PF、EFu平面庄户

BF±平面PEF又BFu平面ABED

平面PEE_L平面A8FD

(2)法一(几何法)：如图，过点P作尸”于点，，连接。”.

由(1)知，平面平面ABED

且平面PEE平面ABFD二EF，PHu平面PEF

PH±平面ABED

.•.NPD”为直线OP与平面A8产。所成角的平面角

由（1）知，BF±^-'^PEF

又PEu平面PEF

BF±PE

又AD//BF

AD±PE

不妨设正方形的边长为2,则尸尸=£>£：=1,尸£>=上户=2

:.PE={*-B=6，DFNf+22=6

.•.在PEF中，EF-=PE2+PF2=^PE±PF

..rn--P--E--P---F-----------

EF2