2021-2022学年云南大学附中一二一校区九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年云南大学附中一二一校区九年级第一学期期中数

学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）

1.剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文

化的一种象征.剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受.下列剪

纸作品中，是中心对称图形的为（）

D.

2.下列说法正确的是()

A.“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨

B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯

C.“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖

D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上

3.对于反比例函数卜=-亘，下列说法错误的是()

x

A.它的图象在第二、四象限

B.在每个象限内y随x的增大而增大

C.若x>l,则-3<y<0

D.若点A(-1,yi)和点B(3,”)在这个函数图象上，则

4.2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部

门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国

贫困人口仅有551万人.若设贫困人口的年平均下降率为x,则可列方程为()

A.551(1+x)2=1660B.1660(1-2x)=551

C.1660(1-x%)2=551D.1660(l-x)2=551

5.下列语句中不正确的有()

①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧;

④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在

同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等.

A.5个B.4个C.3个D.2个

6.如图，已知一块圆心角为270。的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不

计)，圆锥底面圆的直径是60cm则这块扇形铁皮的半径是()

7.已知反比例函数y=k•的图象如图所示，则一次函数y=cx+a和二次函数>="2+加+。在

X

同一平面直角坐标系中的图象可能是()

8.抛物线交x轴于4(-1,0),8(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点为

D.下列结论：①2Q+/2=0；②2CV3〃；③当机21时，a+b<am2+hm；④当△43Q是等

腰直角三角形时，则。=*；⑤当△ABC是等腰三角形时，〃的值有3个.其中正确的有

A.5B.4C.3D.2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干臼球（每个球

除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张,

已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算

估计袋中白球的数量是个.

10.把二次函数），=方2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次

函数解析式为.

11.若关于x的一元二次方程（％-2）N+4x+2=0有实数根，则人的取值范围是.

12.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b^20mm,则边长a

=mm.

13.如图，正比例函数（Z>0）与反比例函数y」的图象相交于A,C两点，过A作

x

X轴的垂线交X轴于8,连接8C,则aABC的面积为.

14.如图，已知4、8两点的坐标分别为（2«，0）、（0,2）,P是△AOB外接圆上的

一点，且乙4。2=45°,则点P的坐标为

二、解答题(本大题共9小题，满分0分)

15.解下列方程：

(1)3N-6x-2=0(自选方法).

(2)5(%-2)2=2(2-x)(因式分解法).

16.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，

△A8C的三个顶点A(5,2)、3(5,5)、C(1,1)均在格点上.

(1)画出△ABC向左平移5个单位后的图形aA山iG,则4点的坐标为.

(2)画出△4BiCi绕Ci顺时针旋转90°后的图形△42&G,则A2点的坐标

为.

(3)在(2)的条件下，求△ABC扫过的面积.

17.在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀.

(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，”从中任意抽取1个

球是黄球”是事件；

(2)为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”(简称“COPL5”),

昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在

甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，

若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙.你认为这个规则公平吗？请用列

表法或画树状图的方法说明理由.

18.如图，一次函数丫=h+匕的图象与反比例函数丫=旦的图象交于点A(l,3),8(3,n).

X

(1)直接写出机=；n=；

(2)请结合图象直接写出不等式也的解集是；

x

(3)若点P为y轴上一点，△PA8的面积为4,求点P的坐标.

19.为应对新冠疫情，防止病毒传播，上级要求各校在开学前要对学校进行全方位消毒.某

校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每

立方米含药量y(毫克)与燃烧时间X(分)之间的关系如图所示(图象由线段04与部

分双曲线AB组成).根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)求药物在燃烧释放过程中，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才

有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？

20.如图，。0与△A8C的BC边相切于点B,与AC、A8边分别交于点。、E,DE//OC,

EB是0。的直径.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若。。的半径是侪AO=2,求CD的长.

21.专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元(市场管理部门规定，该品牌文化衫每

件利润不能超过50元)，每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元,

每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.

(1)请写出y与x之间的函数表达式；(写出自变量x的范围)

(2)当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？

(3)设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？

22.(1)【学习心得】

小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆

的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是△A8C外一点，且4O=AC,

求的度数.若以点4为圆心，AB为半径作辅助OA,则点C、。必在上，Z

54c是0A的圆心角，而/BQC是圆周角，从而可容易得到NBOC=

(2)【问题解决】

如图2,在四边形A8C£>中，/BAD=NBCD=90：ZBDC=27°,求N84C的数.

(3)【问题拓展】

如图3,E,F是正方形ABCQ的边AO上两个动点，满足AE=DF.连接CF交8。于点

G,连接BE交AG于点凡若正方形的边长为4,则线段。，长度的最小值是.

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=奴2+加-3(a>0)与x轴交于A(-1,0)、

B(3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为直线BC下方抛物线上的一动点，尸于点M,PN〃y轴交BC于点N.求

线段PM的最大值和此时点P的坐标；

(3)点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角

三角形CEQ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）

1.剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文

化的一种象征.剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受.下列剪

纸作品中，是中心对称图形的为（）

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

解：4不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.是中心对称图形，故此选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

2.下列说法正确的是（）

A.”明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨

B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯

C.“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖

D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩也一定在90分以上

【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大

也不一定发生，机会小也有可能发生.

解：A.明天下雨的概率为80%,只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项

不符合题意；

B.经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，故本选项符合题意；

C.某彩票中奖概率是1%,买100张这种彩票中奖是随机事件，不一定会有1张中奖，

故本选项不符合题意；

D小明前几次的数学测试成绩都在90分以上这次数学测试成绩不一定在90分以上，故

本选项不符合题意.

故选：B.

3.对于反比例函数丫=-亘，下列说法错误的是（）

x

A.它的图象在第二、四象限

B.在每个象限内y随x的增大而增大

C.若x>l,贝IJ-3<yV0

D.若点A（-1,yi）和点B（3,y2）在这个函数图象上，则

【分析】直接利用反比例函数的性质结合图象上点的坐标特点分析得出答案.

解：A.y=-3,由-3<0,则双曲线的两支分别位于第二、第四象限，故此选项不合

X

题意；

B.y=-3,由-3<0,则在每一象限内），随x的增大而增大，故此选项不合题意；

X

C.y^--,若x>l,则-3<y<0,故此选项不合题意；

x

Q

D.y--,若点A(-1,yi)和点B(3,”)在这个函数图象上，则>1>如故此

x

选项符合题意；

故选：D.

4.2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部

门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国

贫困人口仅有551万人.若设贫困人口的年平均下降率为x,则可列方程为()

A.551(1+x)2=1660B.1660(1-级)=551

C.1660(1-%%)2=551D.1660(1-x)2=551

【分析】等量关系为：2018年贫困人口X(1-下降率)2=2020年贫困人口，把相关数

值代入计算即可.

解：设贫困人口的年平均下降率为％,根据题意得：

1660(1-%)2=551,

故选：D.

5.下列语句中不正确的有()

①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧;

④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补：⑥在

同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等.

A.5个B.4个C.3个D.2个

【分析】根据垂径定理的推论、等弧的概念、轴对称图形、圆内接四边形的性质、圆周

角定理判断即可.

解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，本说法错误；

②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本说法错误；

③能够完全重合的两条弧是等弧，本说法错误；

④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，本说法错误；

⑤圆内接四边形的对角互补，本说法正确；

⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，本说法错误;

故选：A.

6.如图，已知一块圆心角为270。的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不

计），圆锥底面圆的直径是60c〃?，则这块扇形铁皮的半径是（）

【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇

形的弧长求得铁皮的半径即可.

解：；圆锥的底面直径为60”"，

...圆锥的底面周长为601TCVM,

扇形的弧长为60na〃，

设扇形的半径为r,

则』-=60n,

解得：r=40c〃?，

故选：A.

7.已知反比例函数尸上的图象如图所示，则一次函数产cx+a和二次函数尸”+加汁。在

x

同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【分析】根据反比例函数的图象得出匕<0,逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开

口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出。、氏C的正负，由此即

可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论.

解：•.•反比例函数的图象在二、四象限，

A、•.•二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，

.\a>0,b<0,c<0,

一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；

8、•.•二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

.\a<0,b>0,

与b<0矛盾，B错误；

C、•.•二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

.,.a<0,Z?>0,

.♦.与8<0矛盾，C错误；

•二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交)，轴的负半轴，

.\«<0,b<0,c<0,

一次函数图象应该过第一、二、四象限，。正确.

故选：D.

8.抛物线y=or2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点为

D.下列结论：①2a+b=0；②2cV3人；③当/nWl时，a+h<am2+bm；④当△AB。是等

腰直角三角形时，则〃=微；⑤当aABC是等腰三角形时，〃的值有3个.其中正确的有

【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A(-1,0)、B(3,

0),可知二次函数的对称轴为直线x=(-2+3=1,即-染=],可得2a与匕的关系；

将A、8两点代入可得以人的关系；函数开口向上，x=l时取得最小值，则加会1,可

判断③；根据图象AO=8O,顶点坐标，判断④；由图象知8CWAC,从而可以判断⑤.

解：①•.•二次函数与x轴交于点4(-1,0)、B(3,0).

二次函数的对称轴为直线》=上磐"=1,即-3=1，

22a

/.2a+h=0.

故①正确；

②'.,二次函数y=or2+fct+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0).

'.a-b+c—0,9a+3b+c—0.

又■:b=-2a.

.\3b-—6a,a-(-2a)+c—0.

.".3b--6a,2c--6a.

J.2c—3b.

故②错误；

③••,抛物线开口向上，对称轴是直线x=l.

；.x=l时，二次函数有最小值.

时，a+b+c<am2+bm+c.

即a+b<am2+bm.

故③正确；

@'：AD=BD,A8=4,△AB。是等腰直角三角形.

：.AD2+BD2=42.

解得，AD2=S.

设点。坐标为(1,>).

贝(][1-(-1)F+y2=A£>2.

解得y=±2.

•.•点/)在x轴下方.

.•.点。为（1,-2）.

:二次函数的顶点力为（1,-2）,过点A（-1,0）.

设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2.

：.0=a（-1-1）2-2.

解得a=~2-

故④正确；

⑤由图象可得，ACWBC.

故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个.（故⑤错误）

故①③④正确，②⑤错误.

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球

除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张,

已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算

估计袋中白球的数量是24个.

【分析】设袋中共有加个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答.

解：设袋中共有，〃个红球，则摸到红球的概率P（红球）=袅，

o+m

...6〜60

6+m300

解得〃个24,

故答案为：24.

10.把二次函数），=*2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次

函数解析式为y=,（x+3）2-5.

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

解：把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二

次函数解析式为yg（x+3）2-5.

故答案为丫=*（x+3）2-5.

11.若关于X的一元二次方程（&-2）/+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是1W4且

W2.

【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△》（），得关于人的不等式，求解即可.

解：•.•关于x的一元二次方程（％-2）/+曲+2=0有实数根，

...△20且&-2K0,

即42-4(%-2)X220且k-2W0

解得kW4且％#2.

故答案为：ZW4且

12.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm,则边长a

2073

mm.

【分析】如图，连接OC、OD,过。作于解直角三角形求出CQ即可.

解：如图，连接OC、OD,过。作0”，CD于〃.

■:4COD="^-=60°,OC=OD,

6

•**/\COD是等边三角形，

・・・NCO”=90°-60°=30°,

OHLCD,

：.CH=DH=—CD,OH=—b=\0(mm'),

22

.".C//=10Xtan30°(mm),

_3

：.a=2CH=2°^(mm),

3

故答案为：理返.

3

13.如图，正比例函数（/>0）与反比例函数y=^的图象相交于A,C两点，过A作

x轴的垂线交x轴于8,连接8C,则△ABC的面积为1.

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直

角三角形面积S是个定值，点A,C关于原点对称，则△ABC的面积为AAOB面积的2

倍,即S=|乩

解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直

角三角形面积S是个定值，

即s=/因，

依题意有5^=25^08=2X^X\k\=\.

故答案为：1.

14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（2«，0）、（0,2）,P是△AOB外接圆上的

一点，且乙4OP=45°,则点P的坐标为_（、>+1,退+1）或（、&-1,1-、笈）.

【分析】过圆心C作CF平行于OA,过P作垂直于x轴，两线交于凡由A和8的

坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由NAOP=45°,得到三角形POE

为等腰直角三角形，得到尸的横纵坐标相等，设为（a,a）,再由NAO8=90°,利用

圆周角定理得到A8为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C,求出C的坐标，

可得出PC=2,根据垂径定理求出EF的长，用PE-EF表示出PF,用P的横坐标减去

C的横坐标，表示出CF,在直角三角形PC尸中，利用勾股定理列出关于”的方程，求

出方程的解得到。的值，进而确定出P的坐标.

解：-：OB=2,0A=2«,

：.AB=d亦+0B2=%

；NAOP=45°,

•••P点横纵坐标相等，可设为a,即P（a,a）,

VZAOB=90°,

.••AB是直径，

...RtZXAOB外接圆的圆心为A8中点，坐标C（«,1）,

可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2,

过点C作C尸〃。4,过点P作PEL0A于E交CF于凡

：.ZCFP=90°,

PF=a-1,CF=a-«,PC=2,

...在RtAPCF中，利用勾股定理得：（“-«）2+（〃-1）2=22,

舍去不合适的根，可得：。=1+«，

则P点坐标为（«+1，«+1）.

；p与p关于圆心（J5，1）对称，

•••?（V3-1-1-V3）-

故答案为：（«+1，«+1）或（«-1,1-«）

二、解答题（本大题共9小题，满分0分）

15.解下列方程：

(1)3/-6%-2=0(自选方法).

(2)5(x-2)2=2(2-x)(因式分解法).

【分析】(1)利用配方法求解可得；

(2)移项后利用因式分解法求解可得.

解：⑴3/-6x-2=0,

3

X2-2x+l,BP(x-1)2--y,

..,V15

..x-1—+Y,

3—

：.Xi=l+^-^-,X2=1-2ZIE.

33

(2)5(x-2)』2(2-x),

5(x-2)2+2(x-2)—0,

(x-2)(5x-10+2)=0,

2=0或5*-8=0,

...Xl=2o,X2=—8.

5

16.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，

△ABC的三个顶点A(5,2)、8(5,5)、C(1,1)均在格点上.

(1)画出aABC向左平移5个单位后的图形△AliG,则4点的坐标为(0,2).

(2)画出△43G绕Ci顺时针旋转90°后的图形△Az&G,则A2点的坐标为(-3,

-3)

(3)在(2)的条件下，求△4BG扫过的面积.

【分析】(1)根据平移的性质分别找出对应点连接即可，由图形可知点的坐标；

(2)利用旋转变换的性质分别作出4、5的对应点A2、&,连接即可，由图形可知点

的坐标；

(3)△AiBG扫过的面积可以看成是扇形的面积与三角形的面积的和.

解：(1)如图所示，即为所求，

由图形可知，Ai(0,2)；

(2)如图所示，即为所求,

由图形可知，A.2(-3,-3)；

(3)・；BC=742+42=4V2,

；.S=［兀(函)2卷X3X4=8IT+6.

17.在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和I个白球，把它们充分搅匀.

(I)“从中任意抽取I个球不是红球就是白球”是必然事件,“从中任意抽取I

个球是黄球”是不可能事件;

(2)为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”(简称“COPL5”),

昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在

甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，

若两球颜色相同，则选甲：若两球颜色不同，则选乙.你认为这个规则公平吗？请用列

表法或画树状图的方法说明理由.

【分析】（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案：

（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同

的情况数，再利用概率公式即可求出答案.

解：（1）♦.♦不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，

“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件；

“从中任意抽取1个球是黄球”是不可能事件；

故答案为：必然，不可能；

（2）根据题意画图如下:

/4\/T\/T\/1\

红红白红红白红红白红红红

一共有12种可能出现的结果，其中两个球是同色的有6种情况,

则甲获胜的概率是金=暂，乙获胜的概率是

.•.1-_1，

22

・••这个规则公平.

18.如图，一次函数〉="+/?的图象与反比例函数丁=四的图象交于点A（1,3）,B（3,几）.

x

（1）直接写出m=3；ft—1；

（2）请结合图象直接写出不等式依+b>旦的解集是x<0或lVx<3；

X

（3）若点尸为），轴上一点，△P48的面积为4,求点尸的坐标.

【分析】(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函

数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；

(2)根据图象即可求得；

(3)利用待定系数法求出一次函数解析式，根据直线解析式求出与y轴的交点C的坐标,

然后根据三角形的面积公式SAPAB=SWSMAC=4,列式进行计算即可求解.

解：(1)I•反比例函数y=&的图象经过4(1,3),

X

A3=Y，则加=3,

...反比例函数的表达式为)，=3,

X

又・・,点3(3,〃)在反比例函数y=亘的图象上.

x

.\n=1,

故答案为：3,1；

(2)(1,3),8(3,1),

观察图象可知，不等式履+%>处的解集为xVO或l<x<3；

x

(3)..•一次函数的图象经过A(1,3)、B(3,1)两点.

./k+b=3

'"l3k+b=l，

解得上I

1b=4

•••一次函数的表达式为>-=-x+4；

设直线y=-x+4与y轴交于点C,则C(0,4).

''S^PAB—S^PBC-S^PAC--^PC*(3-1)—4,

：.PC=4,

19.为应对新冠疫情，防止病毒传播，上级要求各校在开学前要对学校进行全方位消毒.某

校按照要求对学生宿舍进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每

立方米含药量y（毫克）与燃烧时间X（分）之间的关系如图所示（图象由线段04与部

分双曲线AB组成）.根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求药物在燃烧释放过程中，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才

有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？

【分析】（1）首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）

与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数

法可得反比例函数的关系式；

（2）将y=4分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的x值，然后作差与15比较

即可得出此次消毒是否有效.

解：（1）设双曲线AB的解析式为y=区，

X

将（20,5）代入解析式得,y20X5=100,

药物在燃烧释放过程中，双曲线AB的函数解析式为y=—,

X

100

将）=8代入解析式得，8=

解得x=12.5,

故A(12.5,8),

设线段0A的函数解析式为y^nx,

将A(8,12.5)代入可得：8n=12.5,

解得：“=0.64,

药物在燃烧释放过程中，线段OA的函数解析式为y=0.64x(OWxW12.5),

‘0.64x(O<x<12.5)

综上，尸陲(x>12.5)；

X

(2)将y=4代入y=胆中，

X

可得：—=4，

x

解得：x=25,

将>'=4代入y=0.64x中，

0.64x=4,

解得：x=6.25,

Q=25-6.25=18.75>15,

这次消毒很彻底.

20.如图，。。与△4BC的8c边相切于点B,与AC、AB边分别交于点。、E,DE//OC,

EB是。。的直径.

(1)求证：AC是的切线；

(2)若。。的半径是等AD=2,求CD的长.

【分析】(1)先根据切线的性质得NABC=90°,再根据平行线的性质得到/CO8=N

OED,ZCOD^ZODE,接着证明△C。。丝△COE,所以NODC=/OBC=90°,然后

利用切线的判定定理得到结论；

(2)先利用勾股定理得到。4="|，则AB=4,再证明△AOOS^ACB,则利用相似比

可求出2C=3,然后利用△COOg^COE得到8c的长.

【解答】(1)证明：连接OD,如图，

•••3。为OO切线，

：.ABLBC,

：.ZABC=90°,

■:DE〃OC,

：.ZCOB=ZOED,NCOD=NODE,

;OD=OE,

：.ZOED=ZODEf

：・4C0B=4C0D,

在△C。。和△COE中，

to二CO

</COD=NCOB，

OD=OB

:.△CODWACOE(SAS),

：.ZODC=ZOBC=90°,

・・・OD工CD,

而。。为半径,

・・・AC是。。的切线；

⑵在Rt"OZ)中，°A=而不不=旧落”肯，

R2

：.AB=OA+OB=^--=4,

22

VZOAD=ZCAB,ZADO=ZABCf

3

嘿噜嗔/解得8C=3,

VACOD^ACOE,

：.CD=CB=3.

21.专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每

件利润不能超过50元)，每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元,

每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.

(1)请写出y与x之间的函数表达式；(写出自变量x的范围)

(2)当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？

(3)设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？

【分析】(1)根据“每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每

天销售量会减少1件”列函数关系式即可；

(2)根据题意“每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销

售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润1932元”即可得到结论；

(3)根据题意得到G-35)2+2112.5,根据二次函数的性质得到当x<35时，

w随x的增大而增大，于是得到结论.

解：(1)根据题意得，--j-x+50(0VxW20)；

(2)根据题意得，(30+x)(--j-x+50)=1932,

解得：Xi=54,12=16,

・・•每件利润不能超过50元，

.*.x=16,

答：当x为16时，超市每天销售这种玩具可获利润1932元；

(3)根据题意得，w=(30+x)(--^-x+50)=-^-.r2+35x+1500=-(x-35)2+2112.5,

2

,当xV35时，w随x的增大而增大，

.,.当x=20时，w最大=2000,

答：当x为20时w最大，最大值是2000元.

22.(1)【学习心得】

小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆

的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90",。是△ABC外一点，且AD=AC,

求NBDC的度数.若以点A为圆心，A8为半径作辅助。4,则点C、力必在0A上，Z

84c是0A的圆心角，而N8DC是圆周角，从而可容易得到.

（2）【问题解决】

如图2,在四边形4BCZ）中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=27°,求/区4c的数.

（3）【问题拓展】

如图3,E,F是正方形ABC。的边A。上两个动点，满足AE=QF.连接C尸交8。于点

G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4,则线段。，长度的最小值是，旄二

【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.

（2）由A、B、C、。共圆，得出

（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,NADG=NCDG,然后

利用“边角边”证明aABE和△OCF全等，根据全等三角形对应角相等可得N1=N2,

利用“SAS”证明AAOG和△COG全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=N3,从

而得到Nl=/3,然后求出乙4〃8=90°,取A8的中点。，连接。”、0D,根据直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得-AB=2,利用勾股定理列式求出0D,

然后根据三角形的三边关系可知当0、D、H三点共线时，0H的长度最小.

解：（1）如图1,

；4B=AC,AD=AC,

.••以点A为圆心，点8、C、。必在0A上，

是OA的圆心角，而乙BOC是圆周角,

AZBDC=—ZBAC=45Q,

2

故答案是：45；

(2)如图2,取BZ)的中点0,连接40、CO.

；/BAD=NBCD=90",

.•.点A、B、C、。共圆，

ZBDC=ZBAC,

VZBDC=27°,

/BAC=27°,

(3)如图3,在正方形ABC。中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,ZADG=ZCDG,

在△ABE和△OCF中，

'AB=CD

-ZBAD=ZCDA，

.AE=DF

：.2ABEeXDCF(SAS),

.\Z1=Z2,

在△ADG和△COG中，

'AD=CD

<NADG=/CDG，

LDG=DG

.♦.△ADG会/\CDG(SAS),

；./2=/3,

，Zl=/3,

VZBA/7+Z3=ZBAD=90°,

：.Z1+ZBAH=9OQ,

.•.N44B=180°-90°=90°,

取AB的中点O,连接OH、OD,

则OH=AO=/A8=2,

在RtAAOD中，OD=dA。2+AD2={+42