2023-2024学年人教A版必修第二册 平面与平面平行 学案

8.5.3平面与平面平行学习任务借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象、逻辑推理)如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的．知识点1平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？[提示]不一定．如图，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交.知识点2平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面β∩平面γ＝b⇒a∥b. ()(2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b. ()[答案](1)√(2)×类型1平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明](1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1．而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[跟进训练]1．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.[证明]∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.类型2平面与平面平行的性质【例2】如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[解](1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，则PAAB又PA＝4，AB＝5，PC＝3．∴45＝3CD，∴故PD＝PC＋CD＝274[母题探究]若点P在平面α与β之间，其它条件不变．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[解](1)[证明]如图，∵PB∩PD＝P，∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.又α∥β，∴AC∥BD，(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，∴PAPB＝PC又PA＝4，AB＝5，PC＝3．∴45-4＝3应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[跟进训练]2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.求证：ABBC[证明]连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC所以ABBC类型3平行关系的综合应用【例3】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.[证明]因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D，又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：[跟进训练]3．如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．下列命题正确的是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．]2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是()A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点A[可以想象四棱柱，由面面平行的性质定理可得．]3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定A[∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1．同理，A1D1∥平面BCF1E1．又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．]4．已知α∥β，AC⊂α，BD⊂β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．6[如图，∵AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，∵α∥β，且α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD，又AB∥CD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB＝CD＝6．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？提示：三者之间的相互转化关系如图所示．2．证明直线与直线平行的方法有哪些？[提示](1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．(2)基本事实4．(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．3．证明直线与平面平行的方法有哪些？[提示](1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．课时分层作业(三十一)平面与平面平行一、选择题1．(多选)下列说法正确的是()A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行C．平行于同一个平面的两平面平行D．夹在两个平行平面间的平行线段相等BCD[A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确．]2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个 B．0个或1个C．1个 D．0个B[①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．]3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDPC[由题意，取B1C1的中点E，连接EM，NE，B1D1，BD，如图．M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，所以BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1，所以平面EMN∥平面BB1D1D，那么MN∥平面BB1D1D.]4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为()A．1B．1.5C．2D．3A[平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，∴A1F∥BE，又A1E∥FB，∴四边形A1FBE为平行四边形，∴FB＝A1E＝3－1＝2，∴AF＝1．]5．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αCD[对于选项A，若存在一条直线a,a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要不充分条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要不充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD.]二、填空题6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.平行四边形[∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]7．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．5[因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以点N是BC的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5．]8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．425[∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△三、解答题9．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.[证明]因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.10．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动都共面D[因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过点C且与平面α，β都平行的平面上．故选D.]11．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为()A．2B．4C．92C[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝2，所以此截面的面积S＝1212．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有()A．AG∥CDB．DE∥平面ABFGC．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGCBC[还原为原正方体如图所示，由图可知，AG与CD异面，故A错误；因为DE∥AF，AF⊂平面ABFG，所以DE∥平面ABFG，故B正确；因为DE∥AF，AF⊂平面AFH，所以DE∥平面AFH，因为DB∥FH，FH⊂平面AFH，所以DB∥平面AFH，而DE∩DB＝D，DE、DB⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面AFH，故C正确；因为BE∥AH，AH与平面DGC相交，所以BE与平面DGC相交，故D错误．故选BC.]13．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝2cm，BC＝3cm，DE＝4cm，则EF＝________cm.6[如图所示，连接AF交平面β于点G，连接CF，BG，EG，AD.因为AC∩AF＝A，所以直线AC和AF确定一个平面AFC，则平面AFC∩β＝BG，平面AFC∩γ＝CF.又β∥γ，所以BG∥CF.所以ABBC＝AG所以ABBC＝DEEF，所以14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.