2023-2024学年人教A版必修第二册 立体几何初步章末综合提升 学案

第8章立体几何初步章末综合类型1空间几何体的表面积和体积1．主要考查空间几何体的几何体表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题；对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养．【例1】(1)(2022·山东泰安期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥AC，A1A⊥BC，平面A1BC⊥平面AA1B，AC＝5，若该三棱柱存在体积为43π的内切球，则三棱锥A-A1BCA．23B．4(2)如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2空间点、线、面位置关系1．空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，平行、垂直关系的相互转化如图所示．2．通过线线、线面、面面平行、垂直关系的相互转化，提升直观想象和逻辑推理素养．【例2】(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的是()A．直线AM与C1C是相交直线B．直线AM与BN的平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线MN与AC所成的角为60°(2)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．求证：①AC⊥B1C；②AC1∥平面CDB1.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3空间角的计算1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．【例3】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成的角的大小；(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值；(3)二面角B-AO-C的大小．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型4空间距离的计算1．我们已学习过的空间距离的计算主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心，通常借助几何体的等体积法求解.2．通过三种距离间的转化，提升逻辑推理和数学运算素养．【例4】如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2)．(1)求点B到平面ADE的距离；(2)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱锥P-ABC的体积；若不存在，请说明理由．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________章末综合提升例1(1)D[如图所示，因为C1C⊥AC，A1A⊥BC⇔C1C⊥BC，AC∩BC＝C，所以CC1⊥平面ABC，又因为平面A1BC⊥平面AA1B，平面A1BC∩平面AA1B＝A1B，过点A作AE⊥A1B，则AE⊥平面A1BC，则AE⊥BC.又因为BC⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥BC.设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则b2＝a2＋c2，又因为三棱柱内切球的体积为43π，则43π＝43πR3又R＝c+a-b2，即c＋a－b解得ac＝12，棱柱的高等于内切球直径2，所以VA-A1BC故三棱锥A-A1BC的体积为4.故选D.](2)解：由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，S半球＝8πcm2，S圆台侧＝35πcm2，S圆台底＝25πcm2，故所求几何体的表面积为68πcm2.由V圆台＝13×[π×22＋π×22×π×52＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝4所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm例2(1)CD[结合题图，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线．连接D1C，AD1(图略)，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，易知∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°，故选CD.](2)证明：①∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.②连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.例3解：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2∴sin∠OAC＝OCAC＝12，∴∠即AO与A′C′所成的角为30°.(2)如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝12，AE＝12+∴tan∠OAE＝OEAE＝5即AO与平面ABCD所成的角的正切值为55(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即二面角B-AO-C的大小为90°.例4解：(1)取AE中点G，连接DG，因为AD＝DE＝2，所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG⊂平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.在直角三角形ADE中，因为AD＝DE＝2，∴AE＝22，所以DG＝12AE＝2.又S△ABE＝5，S△ADEVD-ABE＝VB-ADE＝13S△ABE·DG＝13S△ADE·d