【新教材】3. 2 .1 单调性与最大（小）值 （人教A版）

【新教材】3.2.1单调性与最大（小）值（人教

A版）

教材分析

《函数的单调性与最大（小）值》是高中数学新教材第一册第三章第2节的内容。在此之前，

学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。学生在

初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的

感性认识，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又

是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步研究闭区间上的连续函数最大值和最小值

的求法和实际应用，对解决各种数学问题有着广泛作用。

教学目标与核心素养

课程目标

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；

2、会根据单调定义证明函数单调性；

3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值；

2.逻辑推理：证明函数单调性；

3.数学运算：运用单调性解决不等式；

4.数据分析：利用图像求单调区间和最值；

5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。

教学重难点

重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明;

2、利用函数单调性或图像求最值.

难点：根据定义证明函数单调性.

课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

一、情景导入

观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律:

①随X的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本76-80页，思考并完成以下问题

1.增函数、减函数的概念是什么？

2.如何表示函数的单调区间？

3.函数的单调性和单调区间有什么关系？

4.函数最大（小）值的定义是什么？

5.从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.增函数、减函数定义

增函数减函数

一般地，设函数7U）的定义域为/：如果对于定义域/内某个区间

D上的任意两个自变量的值XI,必,当可＜X2时，都有

XX1）＜/（X2）危1）乎＞2）

义

那么就说函数7U）在区间。上那么就说函数1X）在区间。

是增函数上是减函数

图

象

函数大幻在区间。上的图象是函数7U）在区间。上的图象

特

上升的是下降的

征

-

2、单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

［点睛］一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“U”连接，而应该用“，”连接.如

函数y=,在(-8,0),(0,+8)上单调递减，却不能表述为：函数y=」在(-8,0)u(0,+

XX

8)上单调递减.

3、函数的最大(小)值

最大值最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

对于任意的xei,都有

条件f(x)<Mf(x)>M

存在x°Gl,使得f(尤0)="

称M是函数y=f(x)的最大

结论称M是函数y=f(x)的最小值

值

几何f(x)图象上最直点的纵坐

f(x)图象上最低点的纵坐标

意义标

四、典例分析、举一反三

题型一利用图象确定函数的单调区间

例1求下列函数的单调区间，并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:

⑴=y3x-2;(2)y=?

【答案】见解析

【解析】(D函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.

(2)函数y=--的单调区间为(-8,0),(0,+8),其在(-8,0)及(0,+8)上均为增函数.

x

解题技巧：(利用图象确定函数的单调区间)

1.函数单调性的几何意义:在单调区间上，若函数的图象“上升”，则函数为增区间;若函数的图象”下

降”，则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方

法外,求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,

若单调区间不唯一，中间可用“，”隔开.

2.一次、二次函数及反比例函数的单调性：

(1)一次函数y=kx+b(kW0)的单调性由系数k决定：当k>0时，该函数在R上是增函数；当k<0时,该

函数在R上是减函数.

b

(2)二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的单调性以对称轴x=--为分界线.

2a

a的符号单调性

a<0在(如J上是增函数，在上是减函数

在(-8,-勿上是减函数，在j上是增函数

a>0

⑶反比例函数(咛0)的单调性如下表所示.

%的符号单调性

人>0在(-00,0),(0,+8)上是减函数

k<0在(-8,0),(0,+00)上是增函数

跟踪训练一

1.已知xSR,函数f(x)=x|x-2],试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.

【答案】单调增区间为(-8,1],[2,+8)；单调减区间为[1,2]

【解析】f(x)=x|x-2|=吃二2产气，图象如下图所示.

由图象可知，函数的单调增区间为(-8,1],[2,+8)；单调减区间为[1,2].

题型二利用函数的图象求函数的最值

例2已知函数y=-|x-l|+2,画出函数的图象，确定函数的最值情况,并写出值域.

【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-8,2]

【解析】y=-|x-l|+2=£函数图象如图所示

IX十X<X)

由图象知，函数y=-x-11+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-8,2]

解题技巧：(用图象法求最值的3个步骤)

跟踪训练二

1.已知函数f(x)伞

lx,1<x<2.

(1)画出f(x)的图象;

(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.

【答案】(1)见解析(2)最小值为f(1)=1,无最大值

【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.

题型三证明函数的单调性

例3求证：函数f(x)=x+，在区间(0,1)内为减函数.

X

【答案】见解析

【解析】证明：设X),X2是区间(0,1)内的任意两个实数,且X1<X2,

则f(Xi)-f(X2)=(X1+2)-(X2+

二(X1-X2)+X2"X1~(X1-X2)(1-^―)

X1X2\X】X2，

_(X1X2)(X1X21)

X1X2,

_

V0<xi<X2<l,.*.xix2>0,xiX2l<0,xi-X2<0,Af(xi)-f(X2)>0,BPf(xi)>f(X2).

故函数f(x)=x+L在区间(0,1)内为减函数.

X

解题技巧：(利用定义证明函数单调性的4个步骤)

特别提醒作差变形的常用技巧：

⑴因式分解.当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解.如

f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

(2)通分.当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.

(3)配方.当所得的差式是含有xl,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.

(4)分子有理化.当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.

跟踪训练三

1.求证：函数f(x)=4在(0,+8)上是减函数，在(一8,0)上是增函数.

X

【答案】见解析

【解析】对于任意的Xi,X2G(―OO,0),且X《X2,有f(xi)

“11X2—xfX2—X1x2+xi

Vxi<X2<0,

x2—xi>0,xi+x2<0,xiX2>0.

Af(xi)—f(x2)<0,即f(xi)<f(x2).

・•.函数f«)=±在(一8,0)上是增函数.

x

对于任意的Xi,X2e(0,+8),且X］〈X2,有

V0<Xi<X2,/.X2-xi>0,X2+xi>0,xbd>0.

Af(xi)-f(x2)>0,即f(xi)>f(x2).

.•・函数f(x)=±在(0,+8)上是减函数.

X

题型四利用函数的单调性求最值

例4已知函数f(x)=x+：

(1)判断判x)在区间［1,2］上的单调性;

(2)根据根x)的单调性求出求x)在区间［1,2］上的最值.

【答案】见解析

【解析】(D设科*2是区间［1,2］上的任意两个实数,且X、〈X2,

44

则火%1)<%2)=工1-%2+T--

=(即上)(1-士)=/遥咬四.

/»X\-X2<0.当1WX1<¥2W2时，X］莅X),1<¥］怒<4,

即才|也~4<0.

.：〃用))〃莅)，即f(x)在区间［1,2］上是减函数.

(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+N；f(x)的最大值为f(l).

：T(1)=1%刃，.：f(x)的最小值为4,最大值为5.

解题方法(单调性与最值的关系)

1.利用单调性求函数最值的一般步骤：

(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.

2.函数的最值与单调性的关系：

(1)若函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,则f(x)在区间［a,b］上的最小(大)值是f(a),最大(小)

值是f(b).

(2)若函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,在区间(b,c］上是减(增)函数，则f(x)在区间［a,c］上

的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.

(3)若函数f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在区间［a,b］上一定有最

值.

(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间，则不一定有最大(小)值.

跟踪训练四

L已知函数f(x)=^(xe［2,6］，)求函数的最大值和最小值•

【答案】见解析

【解析】设XI,X2是区间［2,6］上的任意两个实数，且X,<X2,则f(x)—f(X2)=『一『=

X1-1X2—1

2［X2-1—Xi-11_____2X2-Xi______

X1-1X2-1X1-1X2-1•

由2WXI〈X2W6,得X2—XI>0,(xi—1)(x2—1)>0,于是f(x)—f3)>0,即f(x)>f3).所

2

以函数f(x)=—是区间⑵6］上的减函数.

X—1

2

因此，函数f(x)=—?在区间⑵6］的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大

值，最大值是2,在x=6时取得最小值，最小值是0.4.

题型五函数单调性的应用

例5已知函数f(x)在区间(0,+8)上是减函数,试比较f(a2-a+l)与fj的大小.

【答案】f(|)^f(a2-a+l).

【解析】:a'-a+l=(a—0+|

,・［与a2-a+l都是区间(0,+8)上的值.

(X)在区间(0,+8)上是减函数，

.•.fQ)^f(a-a+l).

解题方法(抽象函数单调性求参)

1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的

问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.

2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，

转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错.

跟踪训练五

1.已知g(x)是定义在［-2,2］上的增函数,且g(t)>g(l-3t),求t的取值范围.

【答案】t的取值范围为

【解析】：g(x)是［-2,2］上的增函数，且g(t)>g(l-3t),

'-2WtW2,

-2<l-3tW2,

>1—3t,

・2WtW2,

{《Sts1.

.《〈twi....t的取值范围为c，i］

题型六单调性最值的实际应用

例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面

的高度h(单位：巾)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后

什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)?

【答案】t的取值范围为&,1］.

【解析】画出函数h(t)=-4.9/+i4.7t+18的图象(图3.2-4).显然，函数图象的顶点就是烟花

上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。

图3.2-4

由二次函数的知识.对于函数人(/)=—4.9/2+14.7/+18,我们有：

147

当，=_,乂Q、=L5时，函数有最大值

,4X(-4.9)X18-14.72”

h=4X(-4.9)比2火

于是•烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.

解题方法(解函数应用题的一般程序)

(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.

(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.

(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.