2023-2024学年人教A版必修第二册 空间点直线平面之间的位置关系 学案

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系学习任务借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．(数学抽象、直观想象)观察你所在的教室．问题：(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？知识点1空间中直线与直线的位置关系1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．2．空间两条直线的三种位置关系共面直线1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示]不一定．可能平行、相交或异面．2．如何画异面直线？[提示]常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图①②③．知识点2空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示3．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？[提示]直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．知识点3空间中两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示4．已知两个平面有三个公共点，这两个平面的位置关系如何？[提示]当三个公共点共线时，两个平面相交或重合；当三个公共点不共线时，两个平面重合．1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条()A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行[答案]C2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行、相交或异面D[若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．]3．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有______组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有______个．46[六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．]类型1异面直线的判定【例1】(源自湘教版教材)如图，已知a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a．求证：直线AB与a是异面直线．[证明]假设直线AB与a在同一个平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a．因为B∉a，经过点B与直线a只有一个平面α．所以直线AB与a应在平面α内．所以A∈α，这与已知A∉α矛盾．所以直线AB与a是异面直线．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．[跟进训练]1．(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．平行 B．异面C．相交 D．平行、相交或异面(2)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直线中，找出与棱AA′所在直线异面的所有直线．(1)D[如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或异面．](2)[解]先把长方体中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．观察棱BC所在直线，因为AA′⊂平面AB′，B∈平面AB′，B∉AA′，C∉平面AB′，所以直线AA′与BC是异面直线．同理，直线B′C′，D′C′，DC都与直线AA′异面．类型2空间中直线与平面的位置关系【例2】(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内(2)下列说法中，正确的是________．①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．(1)B(2)②[(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．(2)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条，所以错误．]在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．[跟进训练]2．(多选)下列命题中的真命题是()A．若直线a不在平面α内，则a∥αB．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αC．若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D．平行于同一平面的两直线可以相交CD[A中，直线a也可能与平面α相交，故A是假命题；B中，直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故B是假命题；C中，l∥α时，l与α没有公共点，所以l与α内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，故D是真命题．]类型3平面与平面的位置关系【例3】(多选)以下四个命题中，正确的有()A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交CD[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以AB错误．]判定两个平面相交，只需找到两个平面的一个公共点，就可根据基本事实3知，两个不重合的平面是相交的．判定两个平面平行，可根据定义判定两个平面没有公共点，也可以排除两个平面相交和重合，从而判定两平面平行．[跟进训练]3．(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定(2)长方体各面所在平面将空间分成______部分．(1)C(2)27[(1)逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．(2)分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．]1．不平行的两条直线的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．相交或异面D[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]2．在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是()A．SBB．SCC．BCD．ABC[由题图知SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．]3．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．相交[∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．]4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有________条，正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有________个．43[与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？[提示]空间两条直线有相交、平行、异面三种位置关系．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．空间中直线与平面的位置关系有哪几种？如何判断？[提示]在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用符号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形．3．空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？[提示]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．课时分层作业(二十八)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面D[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]2．若平面α与β的公共点多于两个，则()A．α，β可能只有三个公共点B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C．α，β一定有无数个公共点D．以上均不正确C[若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，因此α与β一定有无数个公共点．]3．(多选)以下四个命题中正确的是()A．两个平面最多可以把空间分成四部分B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD．若n条直线中任意两条共面，则它们共面AC[A正确；B中当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面．故选AC．]4．如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则()A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线C[设正方体的棱长为2，则EF＝12A1B＝2，GH＝GC2+CH2＝6，所以GH≠2EF．设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面(图略)，所以EF与GH是共面直线．因为EF与GH5．(多选)如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是()ABCDBD[A中HG∥MN，C中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，BD正确．]二、填空题6．若直线l上有两点到平面α的距离(非零)相等，则直线l与平面α的关系是________．平行或相交[当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．]7．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．8[以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．]8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．(1)平行(2)相交[(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]三、解答题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？[解]还原的正方体如图所示：根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH．10．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b()A．一定与平面β都相交B．至少一条与平面β相交C．至多一条与平面β相交D．可能与平面β都不相交B[设α∩β＝c，若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，故直线a，b中至少一条与β相交．]11．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则()A．过P，Q的平面一定与α，β都相交B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行C[当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C．]12．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC与BD不相交，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]13．过平面外两点，可作________个平