2023年上海中考数学真题(5年)与一二模题(1年)分类汇编几何中档题含详解

专题05几何中档题

1.（2022•上海）如图所示，在等腰三角形4BC中，A8=4C,点E,尸在线段BC上,

点。在线段上，且CF=BE,AE2=AQAB.

求证：(1)ZCAE=ZBAF；

(2)CFFQ^AFBQ.

2.（2021•上海）如图，在圆。中，弦等于弦CD,且相交于点尸，其中E、F为AB、

CD中点.

（1）证明：OP1EF；

（2）连接AF、AC、CE,若AF//OP,证明：四边形AFEC为矩形.

3.（2020•上海）已知：如图，在菱形ABC。中，点E、尸分别在边43、4）上，BE=DF,

CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：\BECsMCH；

（2）如果5E?=A8-AE,求证：AG=DF.

4.（2019•上海）已知：如图，AB.4c是0O的两条弦，且AB=AC,。是AO延长线

上一点，联结BD并延长交0。于点E,联结CD并延长交。。于点F.

（1）求证：BD=CD

(2)如果钻2=AO.A£>,求证：四边形ABAC是菱形.

5.(2018•上海)已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BELAP,DFVAP,

垂足分别是点E、F.

(1)求证：EF=AE-BE；

(2)连接防，如果竺=士二.求证：EF=EP.

BFAD

6.(2022•静安区二模)已知：如图，在四边形488中，点E、尸分别是边BC、DC的

中点，AE>AF分别交8。于点M、N,且.BM=MN=ND,联结CM、CN.

(1)求证：四边形4WCN是平行四边形；

(2)如果反=AF,求证：四边形A8CD是菱形.

7.(2022•闵行区二模)如图，在矩形48CD中，点E在边8c上，将线段A£绕点E顺时

针旋转90。，此时点4落在点F处，线段即交C£>于点M.过点F作尸G1BC,交BC的

延长线于点G.

(1)求证：BE=FG;

(2)如果ABSM=EC-AE,联结AW、DE,求证：AM垂直平分DE.

AD

M

8.(2022•闵行区二模)直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的

联系，我们用锐角三角比来表示.类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，

我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对.

如图，在AABC中，加=AC,顶角A的正对记作preA,这时*以=第=黑.

仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：

(1)pre6O°的值为.

1

(A)一;

2

(B)1;

(C)叵

2

(D)2.

(2)对于0。<4<180。，ZA的正对值preA的取值范围是.

(3)如果sinA*,其中ZA为锐角，试求pre4的值.

9.(2022•黄浦区二模)如图，己知力、B、C是圆。上的三点，AB=AC,M、N分别

是AB、4c的中点，E、〃分别是。河、QV上的点.

(1)求证：ZAOM=ZAON；

(2)如果AE//QN,AFIIOM,求证：

2

A

10.(2022•长宁区二模)已知：如图，在A48c中，。是边8c上一点，G是线段4)上一

点，且AG=2GD,联结BG并延长，交边AC于点E.

AE2BD

(1)求证:

~CEBC

(2)如果。是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP=BC,延长线段施，交

线段AP于点F,联结CV、CG,求证：四边形AGCF是平行四边形.

11.(2022•金山区二模)如图，已知：AABC和AM火都是等边三角形，其中点。在边8c

上，点厂是A5边上一点，且BF=CD.

(1)求证：DE//CF；

(2)联结。氏，设4)、CF的交点为M,如果DF"FM-FC,求证：DFIIAC.

E

12.(2022•宝山区二模)已知：如图，点。、E、尸分别在AABC的边AB、AC、BC上,

DFIIAC,BD=2AD,AE=2EC.

(1)如果AB=24C,求证：四边形4)正是菱形；

(2)如果45=①4。，且5c=1,联结DE,求DE的长.

A

D.

13.（2022•徐汇区二模）如图，在矩形4SCD中，点E是边C3上任意一点（点E与点C、

。不重合），过点A作交边CB的延长线于点尸，联结即交边45于点G,连

接AC.

（1）求证：AAEF^ADAC；

（2）如果正平分ZA尸5,联结CG,求证：四边形AGCE为菱形.

14.（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形/WCC中，ZABC=NBCD,点£t在边8c

上，且4E//CD,DE/IAB,作Cr//4。交线段AEt于点尸，连接跖.

(1)求证：AAfiF^AE4D；

(2)$0^BE2=ABEF,求证：NECF=NBAE.

15.（2022•杨浦区二模）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线AC与比＞相交于点。，点

E、产分别是线段比、OZ）的中点，联结"、BE.

（1）求证：四边形ABEF是等腰梯形；

（2）过点。作OM_LAB,垂足为点M,联结ME,如果NQME=N84C,求证：四边形

AMEF是菱形.

DC

16.(2022•松江区二模)已知：如图，两个Afi针和A£8C中，DA=DB,EB=EC,

ZADB=NBEC，且点A、B、C在一条直线上，联结、ED,AE与BD交于点F.

/1、十fDFAB

(1)求证：——=——；

BFBC

(2)如果尸求证：DF=BE.

17.(2022•嘉定区二模)如图，在四边形A8CD中，4c是对角线，4c=AO,点E在边BC

上，AB=AE,ZBAE=Z.CAD,联结£>E.

(1)求证：BC=DE；

(2)当AC=8C时，求证：四边形488是平行四边形.

18.(2022•奉贤区二模)已知：如图，在矩形ABC。中，点E在边49的延长线上，DE=DC,

联结8E,分别交边。C、对角线4c于点尸、G,AD=FD.

(1)求证：ACVBE­,

/八七、市CFAC

(2)求证：=-.

DFBE

E,

19.（2022•虹口区二模）已知：如图，AB.AC是0。的两条弦，AB=AC,点M、N分

别在弦43、AC上，且AM=CV,AM<AN,联结OM、ON.

（1）求证：OM=ON；

（2）当乙RAC为锐角时，如果AO2=AM-AC,求证：四边形AMON为等腰梯形.

20.（2022•普陀区二模）已知：如图，四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,E为对角

线皮）的中点，点尸在边AD上，CF交BD于点、G,CF//AE,CF='BD.

（1）求证：四边形AECF为菱形;

(2)如果ZDCG=ZDEC,求证：A&=AD-DC.

21.（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形，以43为边在正方形外作等边A4BE,

过点E作EFLAB与边、8分别交于点尸、点G,点。在线段EG上，且。0=8.

（1）求证：AEI/DO；

（2）联结40、DE,DE分别交AO、4?于点M、Q,求证：丝=丝.

ADDM

E

22.(2022•杨浦区三模)已知：如图，在AABC中，ZACB=90°,点。、E分

别是边AB、4c的中点，C尸//AB交班的延长线于点F.

(1)求证：四边形4丸才是菱形；

(2)联结班如果BE_LC£),求证：AB=y12BE.

23.(2022•徐汇区模拟)如图，四边形ABCE中，ABAC=90°,AB=AC,8尸1CE于点

F,点、D为BF上一点,且NB4O=NC4E.

(1)求证：AD^AE；

(2)设即交AC于点G,若B6=2BDBG,判断四边形WE的形状，并证明.

24.(2022•黄浦区校级二模)如图，已知等边A钻C中，。、尸分别是边BC、43上的点,

且CD=8/，以为边向左作等边AADE,联结CF、EF.

(1)求证：四边形CC砂是平行四边形；

(2)当N£)EF=45。时，求胆的值.

CD

A

F

25.(2022•宝山区模拟)已知：如图，在平行四边形A6C。中，AC、DB交于点E,点、

产在的延长线上，联结反、DF,且/。所=NAOC.

EF_AB

(1)求证:

(2)如果8£)2=2AO・DF,求证：平行四边形A8CD是矩形.

26.(2022•徐汇区校级模拟)如图，已知0。经过菱形48CD的顶点A,C,且与CD相

切，直径CF交48于点E.

(1)求证：49与0。相切；

(2)若℃=3,求A"的值.

CF4CE

27.(2022•普陀区模拟)如图，在梯形ABCD中，AD//BC.ZBCD=90°,BC=DC,

点E在对角线班»上，作NECF=90。，连接小，且满足CF=EC.

(1)求证：BDVDF.

(2)当BC2=OE.£)8时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由.

28.（2022•宝山区模拟）如图，在A/WC中，ZBAC=90°.4）是BC边上的高，点E在

线段DC上，EFLAB,EG1AC,垂足分别为F,G.

求十证f：⑴/1\——EG=——CG

ADCD

(2)FD1DG.

29.（2022•徐汇区模拟）如图，已知梯形中，AB//CD,ZD=90°,BE平分乙iBC,

交CD于点E,尸是他的中点，联结A£、即，且

求证：（1）四边形BCEF是菱形;

(2)BEAE=2AD-BC.

30.（2022•松江区校级模拟）如图，在A/WC中，钻=AC,点Z）在8c上，以4）、AE

为腰做等腰AADE,且ZADE=ZABC,连接CE,过E作EF//BC交C4延长线于F,连

接所.

（1）求证：ZECA=ZABC；

（2）如果■=求证：四边形即£>E是矩形.

31.(2022•浦东新区校级模拟)如图，A4BC的边AB是。0的直径，点C在。。上，点。

是边AB上的一点，点E和点。关于BC对称，QE交边BC于点M，过点。作DE的垂线

交EC的延长线于点尸，线段班交AC于点N.

(1)求证：四边形CM/W是矩形；

(2)联结CD,当时，求证：EFCB=2ABME.

32.(2022•嘉定区校级模拟)如图，在梯形A8C。中，AD//BC,AB=DC,过点。作

DE1BC,垂足为E,并延长OE至F,使历=DE.连接M、CF、AC.

(1)求证：四边形ABFC是平行四边形；

(2)如果DE?=BE・CE,求证：四边形48尸。是矩形.

33.(2022♦青浦区模拟)已知：如图，在四边形A8C。中，ADIIBC,氤E、F分别在边

AB,4)上，OE与CF相交于点G.CDi=CGCF,NAED=NCFD.

(1)求证：AB=CD；

(2)延长4)至点M,联结CM,当CF=CW时，求证：EAAB=ADMD.

B

34.(2022•松江区校级模拟)如图，在A4BC中，点尸是AC边上的一点，过点P作与8c

平行的直线「。，交至于点。，点。在线段BC上，连接4)交线段产。于点E,且

金=丝，点G在8c延长线上，幺CG的平分线交直线P。于点尸.

CDBD

(1)求证：PC=PE；

(2)当P是边4c的中点时，求证：四边形4EC尸是矩形.

专题05几何中档题

1.（2022•上海）如图所示，在等腰三角形48c中，=点尸在线段8C上,

点。在线段上，且CF=BE,AE2=AQAB.

求证：（1）ZCAE=ZBAF；

（2）CF-FQ=AF•BQ.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）­.•AB=AC,

:.NB=NC，

・・・CF=BE,

;.CF-EF=BE-EF,

B|JCE=BF,

在A4CE和A/W中，

AC=AB

<NC=NB,

CE=BF

:.AACE^^ABF（SAS）,

:.ZCAE=ZBAF；

（2）-.-MCE=AA^F,

：.AE=AFfZCAE=/BAF,

・・•AE2=AQAB,AC=AB,

AE_AC

…~AQ~~AF'

:.\ACE^>\AFQ,

：.ZAEC=ZAQF,

ZAEF=ZBQF,

­/AE=AFf

:.ZAEF=ZAFE,

:.ZBQF=ZAFE,

・・・ZB=ZC,

:.\CAF^\BFQ,

CF_AF

一丽一瓦'

即CF,FQ=AF,BQ.

2.（2021•上海）如图，在圆O中，弦旗等于弦8,且相交于点P,其中E、尸为然、

CD中点.

（1）证明：OP工EF；

（2）连接AF、AC>CE,若AF//OP,证明：四边形AFEC为矩形.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接OP，EF,OE,OF,OB=OD.

­/AE=£8,CF=FD,AB=CD,

OELAB,OFLCD,BE=DF,

:"OEB=/OFD=90°,

・・,OB=OD,

RtAOEB=RtAOFD(HL),

OE=OF,

・.・NOEP=NOFP=90°,OP=OP,

RtAOPE=RtAOPF(HL),

.・.PE=PF,

・.・OE=OF,

OP1EF.

(2)证明：连接AC,设所交OP于J.

•/AB=CDfAE=EB,CF=DF,

AE=CF，BE=DF,

・.・PE=PF,

PA=PC,

・.・PE=PF,OE=OF,

.•.OP垂直平分线段,

・•.EJ=JF,

-OPUAF，

，EP=PA,

PC=PF,PA=PE,

四边形"EC是平行四边形,

・.,EA=CF,

/.四边形AFEC是矩形.

3.(2020•上海)已知：如图，在菱形ABCQ中，点七、厂分别在边4?、4)上，BE=DF,

CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：MECSABCH；

(2)如果求证：AG=DF.

【详解】(1)证明：，•四边形/WCQ是菱形,

:.CD=CB,/D=/B,

・・・DF=BE,

:.ACDF"CBE(SAS),

:"DCF=ZBCE，

­;CD11BH,

：.ZH=ZDCF,

：.ZH=ZBCE,

・.・ZB=ZB,

(2)证明：・.•BE?=AB-AE,

AB_BE

"BE~AE^

•.-CB//DG,

:.\AEG^\BEC，

AE_AG

AG_BE

・・・BC=AB,

AG=BE,

•/\CDF=\CBE，

DF=BE,

...AG=DF.

4.（2019•上海）已知：如图，AB>AC是0O的两条弦，且AB=AC,。是AO延长线

上一点，联结8。并延长交0。于点£,联结CD并延长交G）。于点尸.

（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB2=AO・A£）,求证：四边形/WDC是菱形.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）如图1,连接8C,OB,OC,

A

C

图1

・・・4?、AC是0。的两条弦，且A8=AC,

・•・A在8c的垂直平分线上，

・：OB=OA=OC,

。在8C的垂直平分线上，

AO垂直平分8C，

BD=CD；

AB_AD

一~AO~~AB'

•,­ZBAO=ZDAB,

:.\ABO^/SADB,

：.ZOBA=ZADB,

­/OA=OB,

:.ZOBA=ZOAB,

：.ZOAB=ZBDA,

・•.AB=BD,

・.♦AB=ACfBD=CD,

;.AB=AC=BD=CD,

.•・四边形ABDC是菱形.

5.(2018•上海)已知：如图，正方形A8CZ)中，P是边8C上一点，BELAP,DF1.AP,

垂足分别是点E、F.

(1)求证：EF=AE-BE；

(2)连接胡，如果求证：EF=EP.

BFAD

【答案】见解析

【详解】证明：（1）・.•四边形48co为正方形,

：.AB=AD,ABAD=90°,

­;BEVAP,DFLAP,

：.Z.BEA=ZAFD=90°,

・.・N1+N2=9O。，N2+N3=90。，

.\Z1=Z3,

在AAB£和\DAF中

ZBEA=ZAFD

<Z1=Z3,

AB=DA

:.\ABE=M）AF,

BE=AF,

EF=AE-AF=AE-BE；

⑵如图一♦噂嗡

而AF=的，

BEDF

~BF~~AD

BE_BF

~DF~^\D

:.ABEFS/\DFA,

?.Z4=Z3,

而N1=N3,

.\Z4=ZL

•/Z5=Z1,

.-.Z4=Z5，

即BE平分NFBP,

而BELEP,

6.(2022•静安区二模)已知：如图，在四边形中，点£、尸分别是边8C、2JC的

中点，AE>AF分别交53于点M、N,且BM=MN=ND,联结CM、CN.

(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；

(2)如果他=跖，求证：四边形是菱形.

【详解】证明：(1)；点E、尸分别是边BC、0c的中点，BM=MN=ND,

ME是\BCN的中位线，NF是ACDM的中位线，

ME//NC,NFIICM,

四边形AMCN是平行四边形；

(2)如图，连接AC交加手。，连接£F,

由(1)可知，四边形40CN是平行四边形，

;.AM=CN,OA=OC,OM=ON,

BM=ND,

OM+BM=ON+ND,

B|JOB=OD,

四边形ABCD是平行四边形，

-,-AE^AF,

:.ZAEF=ZAFE,

•.•点E、/分别是边BC、DC的中点，

是ABCQ的中位线，

EF//BD,

"AMN=ZAEF，4ANM=ZAFE.

:.ZAMN=ZANM,

:.AM=AN,

OM=ON,

AC1MN,

即ACYBD,

平行四边形ABC。是菱形.

7.（2022•闵行区二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时

针旋转90。，此时点A落在点尸处，线段所交C。于点过点尸作FGLBC,交BC的

延长线于点G.

（1）求证：BE=FG;

（2）如果,联结AW、DE,求证：AM垂直平分QE.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）•.•四边形抽。是矩形,

:"B=NECD=90°,

：.ZBAE+ZBEA=90°,

又；FG1.BC>

:2BGF=4=90°,

•/线段AE绕点E顺时针旋转90°,即：ZAEF=90°,

:.AGEF+Z.BEA=90°,

:.NBAE=NGEF,

在A4BE与AEGF中,

/B=/BGF

<NBAE=NGEF

AE=FE

:.^ABE=^EGF(AAS),

：.BE=FG；

・.・ZB=NECD，/BAE=/GEF,

:.\ABE^\ECM,

AB_AE

''拓一说’

・・・AB•DM=ECAE,

AB_AE

''EC~DM'

AE_AE

*,~EM~~DMy

，EM=DM,

在RtAAEM与RtAADM中，

JEM=DM

\AM=AM'

...RtAAEM=RtAADM(HL),

/.AD=AE.

.•.点A在线段QE的垂直平分线上，

•；EM=DM,

.•.点M在线段DE的垂直平分线上，

AM垂直平分DE.

8.(2022•闵行区二模)直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的

联系，我们用锐角三角比来表示.类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，

我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对.

如图，在AABC中，AB=AC,顶角A的正对记作preA,这时=9

仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题：

(1)pre60°的值为.

(A)-；

2

(B)1；

(C)必；

2

(D)2.

(2)对于0。<4<180。，ZA的正对值preA的取值范围是

(3)如果sin4=-^,其中ZA为锐角，试求的值.

【答案】见解析

【详解】(1)在AABC中，AB=AC,乙4=60。，

：.\ABC为等边三角形，

BC=AB,

pre600==1,

AB

故答案为：B；

(2)在AABC中，根据三角形的三边关系得，BC<AB+AC,

・.・AB=AC,

BC<2AB,

.-.PreA=^<2,

AB

•.・preA>0,

/.0<preA<2»

故答案为：0<preA<2；

(3)如图，过点8作8。J.4c于O,则乙4£)8=90。,

・•・sinA=空上

AB17

.•.设AB=17&,BD=ik(k^O),

在RtAABD中，NADB=90°,

AD=《AB?-BD?=《7幻2-(8k”=15k,

,.•AABC是等腰三角形，

：.AB=AC=\1k.

:.DC=AC-AD=2k,

在RtABCD中，BC={BDZ+CDz=J(8/"+(2k)2=2Mk,

BC2历k2X/F7

preA=----=---------=--------

AB\7k17

9.（2022•黄浦区二模）如图，已知A、B、C是圆。上的三点，AB=，M、N分别

是AB、4c的中点，E、尸分别是OM、QV上的点.

（1）求证：ZAOM=/AON;

（2）如果AE//QV,AFIIOM,求证：OEOM=LA（）2.

【详解】证明：（1）・.・M、N分别是AB、AC的中点,

・•・OMLAB,ON.LAC,

VAB=AC,

：.AM=ANf

在RtAAMO和RtAANO中,

AO=AO

AM=AN，

/.RtAAMO=RtAANO(HL),

：.ZAOM=ZAON;

(2)-.-AE//ON，AFHOM,

四边形AEOF是平行四边形，NEAO=ZAON,

­.■ZAOM=乙AON,

:.ZEAO=ZAOM,

EA=EO,

四边形AEOF是菱形，

连接£F,与AO交于点H,

AO±EF,OH=-OA,

2

NOHE=NOMA=90°,ZEOH=ZAOM,

\OEH^\OAM,

OEOH

~OA~'OM'

OEOM=OHOA,

OEOM=-AO2.

10.（2022♦长宁区二模）已知：如图，在A4BC中，。是边8c上一点，G是线段AD上一

点，且AG=2GD,联结BG并延长，交边AC于点E.

（2）如果。是边8C的中点，P是边8c延长线上一点，且CP=BC,延长线段8E,交

线段于点F,联结CF、CG,求证：四边形4GCF是平行四边形.

BDC

【答案】见解析

【详解】（1）证明：如图，过点。作。”//AC,交BE于H,

・・・DH11AC，

.ADHG^MEG,

DG_DH

AGAE

・・・AG=2GD,

:,DH=-AE,

2

•.­DH//AC，

:.ABDHS\BCE，

LAE

BDDH2

"~BC~~CE~CE

AE2BD

/.---=----;

CEBC

(2)证明：如图，

・.・。是边3C的中点,

/.BC=2BD=2CD，

AE2BD।

，-----=--------=1,

CEBC

AE=CE»

・.・CP=BC=2CD，

CD

-----——,

CP3

VAG=2GD,

DG

..-----=~~,

AD3

CD_DG

…CP-AD'

又・.・ZADP=/GDC,

.△DGCS^DAP,

:"DGC=/DAP,

:.GC//AP,

..AGECSAFEA,

GECEi

-----=------=1,

EFAE

GE=EF,

四边形AGCF是平行四边形.

11.(2022•金山区二模)如图，已知：AABC和AADE都是等边三角形，其中点。在边BC

上，点尸是他边上一点，月一BF=C£).

(1)求证：DE//CF；

(2)联结。尸，设4)、CF的交点为如果DF?=FM-FC,求证：DF//AC.

【答案】见解析

【详解】证明：(I)如图I,

图1

•.♦AABC是等边三角形，

:.AC=BC,AACB=NB=60°,

在AACD和ACBF中，

AC=CB

-ZACD=NB,

CD=BF

:.\ACD=\CBF(SAS),

:.Z.CAD=ZBCF,

・・・A4DE是等边三角形，

"ADE=ZACB=60°,

・.・ZADE+/BDE=ZACB+ACAD，

:"BDE=NC4£>,

：,NBDE=/BCF,

:.DE//CF；

(2)如图2,

图2

DF?=FMFC,

DF_FC

,.FM-DF'

・.・NDFM=ZCFD,

:.ADFMskCFD，

:"FDM=ZFCD,

・.・ZCAD=NBCF，

:"FDM=NC4D,

：.DF//AC.

12.（2022♦宝山区二模）已知：如图，点。、E、b分别在AABC的边、、8C上,

DF//AC,BD=2AD,AE=2EC.

（1）如果A8=2AC,求证：四边形4）正是菱形;

（2）如果A8=岛C,且8c=1,联结QE,求QE的长.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：・.・8。=2皿，AE=2EC,

BDAE

丽一瓦

­;DFHAC,

BD_BF

"~AD~'CF'

BF_AE

乐一下’

EF//AB，

XvDF/MC，

四边形石是平行四边形，

•/AB=2AC,AE=^AC,

3

・•.AE=-AB,

3

AD=AE，

四边形4)，花是平行四边形，

四边形4)正是菱形；

(2)如图，在AM〉E和AAC8中，NA是公共角，

八八-

AC0Af,-AC-AC02

A。=33=J2,_3___=_3_____V

AC~ACAC3~AB~~AB--gc一"T

.WADE^^CB,

->•BC=1,

显

DE=—.

13.（2022•徐汇区二模）如图，在矩形A8CD中，点E是边8上任意一点（点E与点C、

力不重合），过点A作交边CB的延长线于点尸，联结即交边45于点G,连

接AC.

（1）求证：AAEF^ADAC；

（2）如果正平分ZA/中，联结CG,求证：四边形AGCE为菱形.

【答案】见解析

【详解】证明：(1),,•四边形ABC。是矩形，

.・.AB//CD,AB=DC,/BCD=/DAB=/ABC=NO=90。，

:.ZABF=180。一/ABC=90°,

・.・AE1AF,

z.ZME=90°，

:"FAE-/BAE=NDAB-/BAE,

；.NBAF=NDAE,

•/ZD=ZABF=90°,

.•.AABFSMDE,

AB_AF

…AD-AE?

DC_AF

----=-----，

ADAE

・・,ZD=ZME=90°,

:.\AEF^\DAC；

(2)如图：

・.・FE平分ZAFB,

:.ZAFE=NCFE,

­.•ZFAE=ZBCD=90°,EF=EF,

:.\AFE=\CFE(AAS),

AF=CF,AE=EC,

・.・FG=FG,

:.^AFG=/^CFG(SAS),

:.ZFAG=4FCG,

・・・4BAF=ZDAE,

:.ZDAE=ZFCG,

•/ZZME+ZAEO=90°,ZBCG+zlDCG=90°,

:.ZDCG=ZAED，

:.AE//CG,

•/AB11CD，

・•.四边形AGCE是平行四边形,

・・・AE=EC,

14.(2022•崇明区二模)已知：如图，在四边形/WCZ)中，乙铝C=NBCD,点E在边BC

上，RAEIICD,DEI/AB,作CF//4)交线段AE于点尸，连接8尸.

(1)求证：\ABF=A£4£>；

(2)如果求证：AECF=ZBAE.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）・：AEIICD,

:・NAEB=ZDCE，

•:DE11AB,

;.NABE=/DEC,/BAF=ZAED,

・.・/ABC=/BCD,

；"ABE=ZAEB,ZDCE=ZDEC,

/.AB=AEfDE=DC,

\-AF//CD,AD//CF,

四边形AFCD是平行四边形，

AF=CD,

：.AF=DE,

在AABF和AE4Z）中，

AB=AE

,Z.BAF=NAED,

AF=DE

:./^ABF=/^EAD(SAS)；

(2)-：BE2=ABEF,AB=AE,

BE_EF

…屈一砺’

又・.・ZAEB=ZBEF，

:.\EBF^NEAB，

:"FBE=/BAE,

由(1)得AABF=\EAD,

:.BF=AD,

在平行四边形AFC。中，AD=CF,

・•.BF=CF,

:"FBE=/ECF，

:.ZECF=ZBAE.

15.(2022•杨浦区二模)已知：如图，矩形A8C。的两条对角线AC与双)相交于点。，点

E、厂分别是线段OC、。。的中点，联结AE、BE.

(1)求证：四边形43£F是等腰梯形；

(2)过点。作垂足为点M,联结ME,如果N0ME=/34C,求证：四边形

AMEF是菱形.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）・.•四边形ABC。是矩形，

:.AB//CD,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

DO=CO，AO=BO,

・・•点E、/分别是线段OC、的中点，

EF11DC,OE=]OC,OF=]OD,

22

:.EF//AB,OE=OF,

OF+OB=OE+OA,

即AE=BF,

四边形ABEF是等腰梯形;

•.•点、E、尸分别是线段（9C、0。的中点,

EF=-CD,

2

OA=OB,OMYAB,

AM=BM=-AB,

2

四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD，

:.EF=AM,

由（1）知：EFHAM,

.•.四边形4WEF是平行四边形，

同理：四边形82是平行四边形，

・.・OA=OB,

:"OAB=/OBA,

又・.・/OME=N84C,

:./OME=ZOBA,

­.­ZOME+/BME=90°,

:"OBA+NBME=90°,

.・.OBrME,

平行四边形正是菱形，

又;四边形是等腰梯形，

・•.BE=AF,

又「BM=AM,

AF=AM,

二.四边形AMEF是菱形.

16.（2022•松江区二模）已知：如图，两个和AEBC中，DA=DB,EB=EC,

Z.ADB=ZBEC,且点A、B、。在一条直线上，联结ED,AE与BD交于点F.

【答案】见解析

【详解】证明：⑴・.・DA=DB,EB=EC,

DA_DB

一~EB~~EC"

・.・ZADB=/BEC,

DAAB

:.Z.DAB=NEBC,----=-----,

EBBC

：.AD//EB,

:.ZDAF=ZAEB,ZADF=ZDBE,

，AADFS"BF,

AD_DF

EB~BF

DF_AB

(2)•;BE?=BF,BD,

BE_BD

一~BF~~BEy

・“DBE=/EBF,

:公BFES^BED,

:"BEF=/BDE,

•：ZDAF=ZAEB,

:.^DAF=NBDE,

•/ZADF=ZDBE,AD=DB,

:.\ADF=\DBE{ASA),

:,DF=BE.

17.(2022•嘉定区二模)如图，在四边形A8CD中，4c是对角线，AC=4),点E在边8c

上，AB=AE,Z.BAE=ZCAD,联结DE.

(1)求证：BC=DE；

(2)当AC=8C时，求证：四边形ABC。是平行四边形.

【答案】见解析

【详解】证明：(1)•/ZBAE=ZCAD，

・•.+ZE4C=ZCAD+ZE4C,

即NBAC=Z.EAD.

在MBC与AAED中，

AB=AE

«ZBAC=ZE4D.

AC=AD

:./^ABC^^AED(SAS).

BC=DE；

(2)由(1)可知，\ABC三MED,

:.ZB=ZAED,BC=DE,AC=AD,

・・・AC=BC,

BC=AD=DE，

.\ZEAD=ZAED,

：.ZB=ZEAD,

•；AB=AE,

:.ZAEB=ZB,

:.ZEAD=ZAEB,

z.ADIIBC,

：.四边形43a＞是平行四边形.

18.(2022•奉贤区二模)己知：如图，在矩形ABC£)中，点E在边的延长线上，DE=DC,

联结跖，分别交边。C、对角线AC于点尸、G,AD=FD.

(1)求证：AC1BE；

c、七、工CFAC

(2)求证：——=——

DFBE

【答案】见解析

【详解】证明：(1)・.・DE=DC,AD=FD,ZEDF=ZCDA=90°,

:.bCDA=AEDF(SAS),

:.ZAEG=^ACD,

vZACD+ZZMC=90°,

:.ZAEG+ZDAC=90°,

..NAGE=90°,

・•.AC1BE.

(2)在矩形ABQ9中，BC//AD,BC//DE,

:.ABCFsAEDF,

CF_BC

"~DF~~DE'

•/BC=ADfDE=CD,

CF_AD

一~DF~'CD"

由(1)得乙46芯=90。=/6，ZAEG=ZACD,

:.\CDA^\EAB,

AC_AD

---=---»

BEAB

・.・AB=CD,

AC_AD

一'BE~'CD'

CFAC

,DF~BE'

19.(2022•虹口区二模)已知：如图，AB、AC是0。的两条弦，A5=AC,点M、N分

别在弦AB>4C上，且AM=C7V,AM<AN,联结OM、ON.

(1)求证：OM=ON；

(2)当N8AC为锐角时，如果AO2=AM.AC,求证：四边形AMQV为等腰梯形.

【答案】见解析

【详解】证明：(1)过点。作OEJ_9于点E,OF,AC于点尸，如图,

•/AB=AC,OELABfOF1AC,

・・.OE=OF,AE=CF=-AB.

2

­/AM=CN,

;.AE-AM=FC-CN,

即：EM=FN.

在AOEM和AORV中，

EM=FN

・NMEO=4NF0=90°，

OE=OF

.△OEM三坟)FN(SAS).

OM=ON；

(2)连接03，如图，

M

N

*I/y\c

VAO2=AMAC,AC=AB,

AO2=AMAB,

OA_AB

・'~OM~~OA,

・.・NM40=NOAB,

:.\OAM^\BAO，

:.ZAOM=ZB.

•/OA=OB,

J.Z.OAB=/B,

:.ZOAB=ZAOM，

OM=AM.

・.•OM=ON、

：.AM=ON.

•/OE=OF,OE±AB,OFVAC,

：.ZOAB=ZOAC，

:"AOM=ZOAC,

/.OM"AN.

AM<AN,

OM<AN,

.•・四边形AMON为梯形，

・.•AM=0N,

四边形AMON为等腰梯形.

20.(2022•普陀区二模)已知：如图，四边形AfiCD中，ZBAD=ABCD=90°,E为对角

线班>的中点，点F在边AZ)上，CF交BD于点G,CF/!AE,CF=-BD.

2

(1)求证：四边形A£CF为菱形；

(2)如果NDCG=NDEC,求证：AE2=AD-DC.

A,

c

【答案】见解析

【详解】证明：（1）VABAD=90°,E为%）的中点，

AE=DE=-BD,

2

•.•CF=-BD,

2

AE=CF=DE,

-,-CF/IAE,

四边形AECF是平行四边形，

•.•/BCD=90。，E为的中点，

:.CE=-BD,

2

AE=CE,

.•・四边形AECF为菱形；

（2）・.•四边形AEC广为菱形，

:.AD//CEf

:.ZADE=ZDEC,

・・・Z.DCG=4DEC,

:.ZADE=ZDCG,

•.•AE//CF,

:"EAD=/CFD,

:.AADESAFCD,

AD_DE

…~CF~'CD'

:.CFDE=ADCD,

・.・AE=CF=DE,

AEi=AD•DC.

21.（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形旗CD,以A5为边在正方形外作等边AA8E,

过点后作所与边AB、CZ）分别交于点尸、点G,点。在线段EG上，且。O=CQ.

（1）求证：AE//DO；

(2)联结A。、DE,£史分别交A。、至于点V、Q,求证：EQ=EF

ADDM

【答案】见解析

【详解】(1)证明：•.,AABE是等边三角形，

AE=AB,

・・・四边形ABCD是正方形，

；,AB=BE=AD=CD,ZBAD=ZADC=90°,

・・・OD=CD,

OD=AE，

・.・£F_L43,AB//CD,

：.EF1CD,

四边形ADGF为矩形，

:.AF=DG,AD=FG,

在RtAAFE和RtADGO中，

(AE=OD

[AF=DG'

/.RtAAFE=RtADGO(HL),

/.EF=OG,

OE=FG,

AD=OE，

又・・・