人教版八年级数学下册知识点总结加习题

，,外公照学（千册）扬钢克总辂

二次根式

【知识回顾】

1.二次根式：式子&3,0）叫做二次根式。

例］下列各式1）2）-$/—5,3）—\/x2+2,4）>/4,5）^（――）2,6）Jl-a,7）［a。一2a+l,

其中是二次根式的是（填序号）.

2.若式子女且有意义，则x的取值范围为（）.

x-3

A、x22B、xW3C、x22或xW3D、x22且xW3

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分

母；⑶分母中不含根式。

例2、二次根式、四、相、也豆、V40x2>4+二中,最简二次根式

有（）个。

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则

这几个二次根式就是同类二次根式。

例、下列二次根式中，不能与，花合并的是（）.

4.二次根式的性质：「a(a>0)

(1)(yfa)2=a(a20)；⑵而用=y0(。=0)；

一一a(aVO)

例4、,将根号外的a移到根号内，得C）

A・口；B.一石；C.一册;D-G

1

5.二次根式的运算:

(1)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同

类二次根式.

(2)二次根式的乘除法:

\b_\[b

4ab-\[a•y/b(a20,b20)；(b20,a>0).

(3)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，□乘法

对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

例5、.V48-73(V3-l)-3°-|V3-2|=

3而-22-73

11x+l

其中x=4-l

先化简后求值.x+1x2-1x2—2x+l

2

勾股定理

1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,

那么a2+b2=c2o

2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c?。，那么这

个三角形是直角三角形。

3、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角

三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系

那么这个三角形是直角三角形。

例1、下面四组数中是勾股数的一组是()

A.6,7,8B.21,28,35

C.1.5,2,2.5D.5,8,13

2、有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形，则第三边长为()

A、3B、标C、3或同D、3或标

3、若口儿9c的三边a、b、c满足卜一5|+(6-12)2+必有=o,则^ABC的面积为一.

4(7分)如图，&中，CD1.AB于D,若5少=2M,，C=3,BC=2,求即的长。

4.直角三角形的性质

(1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：Z0=90°nNA+N

B=90°

(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

NA=30j

可表示如下：>=>BC=1AB

NC=90」

(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

3

ZACB=90°]

可表示如下：=>CD=1AB=BD=AD

2

D为AB的中点」

例、（7分）在AABC中，ZC=30°,AC=4cm,AB=3cm,求BC的长.

例、.在直角三角形ABC中，ZC=90°,CD是AB边上的中线，ZA=30°,AC=56，则AADC的周

长为___O

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB・CD=AC・BC

例、如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD1AB,BC=6,AC=8,求AB、

CD的长

7、原命题与逆命题

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫

做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定

理）

4

例、命题：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，它的逆命题

是;

请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：.

8、三角形中的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

四边形

5

1.四边形的内角和与外角和定理:

(1)四边形的内角和等于360°；

(2)四边形的外角和等于360°.

2.多边形的内角和与外角和定理:

(1)n边形的内角和等于(n-2)180°；

(2)任意多边形的外角和等于360

3.平行四边形的性质:

(1)两组对边分别平行；

(2)两组对边分别相等;

因为ABCD是平行四边形n(3)两组对角分别相等;

(4)对角线互相平分;

⑸邻角互补.

4.平行四边形的判定：

⑴两组对边分别平行,

(2)两组对边分别相等

(3)两组对角分别相等.ABCD是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等

(5)对角线互相平分

5.矩形的性质：

(1)具有平行四边形的所有通性;

因为ABCD是矩形=(2)四个角都是直角；

(3)对角线相等.

6.矩形的判定：

(1)平行四边形+一个直角'

(2)三个角都是直角>n四边形ABCD是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形

A

D

6

7.菱形的性质：

因为ABCD是菱形

(1)具有平行四边形的所有通性;

=>-(2)四个边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

8.菱形的判定:

(1)平行四边形+一组邻边等

⑵四个边都相等=四边形四边形ABCD是菱形.

(3)对角线垂直的平行四边形

9.正方形的性质:

因为ABCD是正方形

(1)具有平行四边形的所有通性；

=><(2)四个边都相等，四个角都是直角;

(3)对角线相等垂直且平分对角.

10.正方形的判定:

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角'

⑵菱形+一个直角.=四边形ABCD是正方形.

(3)矩形+一组邻边等

⑶TABCD是矩形

又；AD=AB

，四边形ABCD是正方形

三角形的中位线平行第三边，并且

等于它的一半.

7

公式：

1.S菱形=iab=ch.（a、b为菱形的对角线，c为菱形的边长，卜为0边

上的高）

2.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）

四常识：

若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：*2.

例、.下面结论中，正确的是（）.

（A）对角线相等的四边形是矩形

（B）对角线互相平分的四边形是平行四边形

（C）对角线互相垂直的四边形是菱形

（D）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

在四边形ABCD中，0是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）

（A）AC=BD,AB〃CD,AB=CD（B）AD〃BC,ZA=ZC

（C）AO=BO=CO=DO,AC1BD（D）AO=CO,BO=DO,AB=BC

如图，在DABCD中，对角线AC,BD相交于O,AC+BD=16,BC=6,则aAOD的周长为。

如图，在△/a'中，AB=3,404,B（=5,P为边比'上一动点，

PE1,AB于E,PF_LAC于F,M为EF中点、,则4"的最小值为【】

如图，点£、尸分别是048（小的边8C、A9上的点，鱼BE=DF.（1）试判断四边形/日/

的形状；（2）若AE=BE,ZBAC=90°,求证：四边形/即'是菱形.

8

如图，。为矩形力腼对角线的交点，DE//AC,"〃敬（1）试判断四边形0。切的形状,

并说明理由；（2）若4?=6,BC=8,求四边形况切的面积.

一次函数

设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确

定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自

根据实际情景画函数图像函数图像与实际情境相结合

例、一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度（cm）

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与燃烧时间(小时.)的函数关系用图象表示为)

某图书出租店，有一种图书的租金y(元)与出租的天数x(天)之间的关系如图

所示，则两天后，每过一天，累计租金增加元.

一次函数

一次函数与正比例函数的图象与性质

一次函数

如果y=kx+b(k、b是常数，k=#0),那么y叫x的一次函数.当

概念b=0时，一次函数丫=1«((k=#0)也叫正比例函数.

图彳象一条直线

k>0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；

性质kVO时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).

(1)k>0,b=0图像经过一、三象限；

(2)k>0,b>0图像经过一、二、三象限；

直线y=kx+b(k

(3)k>0,bVO图像经过一、三、四象限；

*0)的位置与

(4)kVO,b=0图像经过二、四象限。

k、b符号之间

(5)k<0,b>0图像经过一、二、四象限；

的关系.

(6)kVO,bVO图像经过二、三、四象限；

一次函数表达求一次函数y=kx+b(k、b是常数，k#=0)时，需要由两个点来确

式的确定定；求正比例函数y=kx(k#=0)时，只需一个点即可.

与两坐标轴的一次函数y=kx+b与X轴的交点坐标是(-,0)

交点坐标以及与Y轴的交点坐标是(0,b)

与两坐标轴围与两坐标轴围城三角形的面积是

城图形的面积

10

1y=（2w-1）/*t+3是一次函数，则皿:—，且丁随x的增大而—

例、某一次函数的图象经过点（-1,3）,且函数），随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的

函数解析式.

下列描述一次函数y=-2x+5图象性质错误的是

A.y随x的增大而减小B.直线经过第一、二、四象限

C.直线从左到右是下降的D.直线与x轴交点坐标是（0,5）

已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小，且kb<0,则在直角坐标系内它

的大致图象是（）

例、、已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是；与两条

坐标

轴围成的三角形的面积是.

一次函数解析式求法：待定系数法（设一次函数解析式为y=kx+b,把已知

两点坐标带入，根据二元一次方程组的解求得k与b,进而求得一次函数的

解析式）

1、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4）,且

OA=OB

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（1）求两个函数的解析式；（2）求AAOB的面积;

（8分）

如图，直线与y轴的交点是（0,—3）,则当x（0时，（）

A.y<0B.y<-3C.y>0D.y>-3

营销方案设计

某中学计划由一位老师带领一些学生记者到某地参观学习，现有甲、乙两个在设施和服

务条件均相当的旅行社供挑选.甲旅行社的条件是老师全票，学生记者半价优惠.乙旅

行社的条件是全部人员均6折（即按全票的60驯攵费），两家旅行社的全票均是1200

元.那么

（1）若设学生记者人数为x,甲、乙旅行社的收费分别为y甲、y乙，试分别建立两旅行社

的收费y（元）与学生记者x（人）的函数关系；

（2）应如何根据学生记者人数选择旅行社，可使付费较少？

调用方案设计

A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D

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市8台.•已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800

元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元.(14

分)

(1)设B市运往C市机器x(台)，求总运费Y(元)关于x的函数关系式.

(2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？

(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

数据的分析

平均数：平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和

加权平均数。

众数：在一组数据中，出现次数最多的数，叫做这组数据的众数

中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个

数的平均数)叫做这组数据的中位数.

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作S?.

1

S2=n[(Xl-X)2+(X2-X)24-*+(Xn-X)2];

方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，数据波动越大,

越不稳定，值越小，数据波动越小，越稳定。

例、.某排球队12名队员的年龄如下表所示：

年龄/岁1819202122

人数/人14322

该队队员年龄的众数与中位数分别是【】

A.19岁，19岁B.19岁，20岁

C.20岁，20岁D.20岁，22岁

例、某射击选手在10次射击时的成绩如下表：

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环数78910

次数2413

则这组数据的平均数是,中位数是,众数是.

某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96,其余7个人的平

均成绩为86,则这个小组