2022-2023学年吉林省长春市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年吉林省长春市成考专升本数

学(理)自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

(3)函数y・的•小正牌期为

1.(A)81T(B)(C)21r(D)F

(2sinx-3cosx)*等于

(A)-2coax+3»inx(B)-2coaz-3sinz

2(C)2cosx+3sinx(D)2co»x-3sinx

3在中,已知、mi=,那么coscyj

I6

A.A.65

56

B.65

16556

D.6565

4.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2,三个灯泡在使用

1000小时以后最多只有一个坏的概率为

A.0.008B.0.104C.0.096D.1

5.等差数列｛an｝中，前4项之和S4=l,前8项之和S8=4,则

a17+a18+a19+a20=()

A.A.7B.8C.9D.10

6.集合｛0,1,2,3,4,5｝不含元素1、4的所有子集的个数是（）

A.A.13B.14C.15D.16

7.a(0,7i/2),sina,a,tana的大小顺序是()

A.tana<sina<aB.tana<a<sinaC.a<tana<sinaD.sina<tana<a

在等比数列；中，巳知对任意正整数/I,a,+a2+-+a.=2"-1,则a：+

ai+,•,+a：=()

(A)(2*-I)1(B)y(2,-I)2

(C)4*-1(D)-1)

已知W=6,由=4,a与B夹角为60。，则(0+M)•(@_3b)等于()

(A)72,(B)-60

9(C)-72(D)60

10.

已知平面向量a=(l,z),b=(7,2),若a+加平行于向量1J),则

A.2t-3m+l=0B.2t+3m+l=0C.2t-3m-l=0D.2t+3m-l=0

11.函数y=3x的反函数是()

A.A.y=(l/3)x(x>0)

B.-y=(l/3)x(x>0)

C.y=log3x(x>0)

D.-y=-log3x(x>0)

如果女♦工=1上的一点”到它的左焦点的距离是门.那么M到它的右席

10036

12.线的距离是()

„32,

A.10B.-y-

-c16

c.2AD-y

13.双曲线彳一二一’的焦点坐标是()

A.(“-/)©亦

8.(-50乂户切

C.(0,-5),(0,5)

D.(-5.0),(5,0)

14.从点M(x,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=l作切线，切线长的最小值等于

A.4B.2#C.5D.Y26

15.函数v=J+"-i()

A.A.没有极大值B.没有极小值C.的极大值为-1D.的极小值为-1

16.已知向量a=(L2),b=(-2,3),则(a—b>(a+b)等于()

A.A.-16B.-8C.16D.8

^fO<0<-,则

2

(A)sin0>cos0(B)cos0<cos20

17(C)sin0"siit1(D)sin0>sin}0

18.设一次函数的图象过点(1,1)和(-2,0),则该一次函数的解析式为

()

A.A.y=(l/3)x+(2/3)B.y=(l/3)x-(2/3)C.y=2x-1D,y=x+2

命胭甲：l*l>5,命题乙:-5,则()

(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件

(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件

(C)甲是乙的充分必要条件

19.⑴)甲不是乙的必要条件也不是乙的充分条件

已知直线L：2x-4y=01,：3x-2y+5=0,过。与。的交点且与L垂直的直线方

程是()

(A)8x-4y+25=0(B)8x+4y+25=0

20.(C)8x-4y-25=0(D)8x+4y-25=0

2]#数，-、麻•4-31的定义域为

c.(Y»*lD-<♦«)

22.记者要为五位志愿者和他们帮助的两位老人拍照，要求排成一排，

两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有0

A.1440种B.960种C.720种D.480种

23.设函数f(x)在(-叱+勾上有定义，则下列函数中必为偶函数的是()

A.y=|f(x)|B.y=-|f(x)|C.y=xf(x)D,y=f(x)+f(-x)

24.()

A.A.AB.BC.CD.D

25.函数，y=lg(2x-l)的定义域为()

A.A.RB.{x|x>1}C,{x|x>2}D.{x|x>0)

26.设集合乂={-2,-1,0,1,2},N={x|x<2},则MCN=()

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{x|0<x<2}D.{x[l<x<2}

设二次函数的图象经过点(1,-4)且则该二次函数

27.的量小值为()

A.A.-6B.-4C.0D.10

28.不等式x>6—x。的解集是()

A.[-2,3]B.(-oo,-2]U[3,+oo)C.[-3,2]D.(-oo,-3]U[2,+oo)

29.已知直线平面a直线，直线m属于平面p,下面四个命题中正确

的是()

(l)a//p->l±m(2)a±P^l//m(3)l//m->a±P(4)l±m->a//p

A.⑴与(2)B.⑶与(4)A⑵与(4)D.⑴与(3)

30.已知lgsin0=a,lgcos0=b,贝sin29=()

J

A.

B.2(a+6)

c.N

D.'

二、填空题(20题)

yiogi-(x4-2)

31.函数27+3的定义域为

my=丁+3H+4在点(-1,2)处的切线方程为

32.----------

33如果2<a<4,那么(a-2)(a-4)0.

双曲线.：；一力;=1”>0/>。)的渐近线与实轴的夹角是a，U焦

34.点且垂在于实轴的弦长等十•

35.从一批相同型号的钢管中抽取5根，测其内径，得到如下样本数据

(单位：mm)：

110.8,109.4,111.2,109.5,109.1,

则该样本的方差为mm2。

36.'>'2成”£比数.列、虹“=

37.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，。为坐标原

点，则ZkOAB的周长为.

38(18)向城a,b互相垂在，且"I=1.则。•(Q+b)=_________•

39.椭圆x2+my2=l的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的

值是.

40.过点M(2,-1)且与向量2=(-3,2)垂直的直线方程是_____.

41.

函数y=3)+4的反函数是.

42.已知球的球面积为16n,则此球的体积为.

43.总数/(x)=2x‘-3x?+l的极大值为

44.

(19)巳知球的半径为1.它的一个小圜的面枳是这个球衣面枳的衣.财球心到这个小国所在

的平面的距离是_____

45.

在△ABC中，若o»Au/辞,/C=150*.BC'=1.则AB=.

46.

已知/(X)Q>O・a#D・且/(lo&10)=$•ma=_«

47数(1+『+『地-。的实部为•

48.设正三角形的-个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在抛

物线a,=上，则此三角形的边长为.

朴一纽/（"=£则/（」-）=________.

49.0

50.

设正三角形的一个顶点在原点,关于x轴对称，另外两个顶点在抛物线/=2原

上,则此三角形的边长为一.

三、简答题（10题）

51.

（22）（本小题满分12分）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

（I）求＜/的值；

（II）在以最短边的长为首项,公差为d的等差数列中，102为第几项?

52.

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆G』+，'=i与双曲线G：5-丁=1(°>i).

(I)设.分别是G.G的离心率,证明eg<1;

(2)设4H是c长轴的两个端点/(颉,兀)(1与1>a)在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线产4与£的另一个交点为心证明QR平行于产轴.

53.

(本小题满分13分)

已知圈的方程为/+/+ax+2y+J=0.一定点为4(1,2).要使其过差点4(1,2)

作BS的切线有两条.求a的取值范闱.

54.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,％3的系数是％2的系数与Z4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

55.

(本小题满分12分)

△A8C中，已知J+J=%且log4sinA+lo&sinC=-1,面积为周m:求它三

出的长和三个角的度数.

56.

（本小题满分13分）

巳知函数/（X）=H-2百

（I）求函数y=/（*）的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是戢函数;

（2）求函数Y=/（«）在区间［0,4］上的最大值和最小值.

57.（本小题满分12分）

在AABC中.A8=8而.8=45°.C=60。.求AC,8c.

58.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中,al=9,a3+a8=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时,数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

59.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

60.

（本小题满分12分）

已知数列I4I中・5=2.a..|=yaa.

(I)求数列I。」的通项公式；

(D)若数列|a.l的前"项的和S・=3，求”的值・

10

四、解答题(10题)

61.在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是棱AA,、AB上的点，且

BE,±EF

(I的大小

(II)求二面角C-BD-C的大小(考前押题2)

62.建一个容积为5400m3,深6m的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价

为15元，池底每平方米的造价为30元.

(I)写出总造价y(元)为水池的长x(m)的函数解析式；

(II)问蓄水池的长与宽分别为多少时总造价最低.

63(20)(本小腰需分”分)

(I)把下面衣中*的角度值化为逐度值,计算7=snx-8inx的值并填入表中:

X的角度值0,9・18。27,36*45*

ir

X的气度值io

的值

y=lanx-sinx0.0159

(W«0J0.0001)

(0)叁照上表中的数然,在下面的平面直角坐标系中函出函数^=-,inx在区间

(0.J］上的图象.

64.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边形

所在平面M的垂线，且PA=a,求

I.点P到各边AB、BC、CD的距离。解析：因为PAL平面M所以

PALBC所以点P到AB的距离为a,过A作BC的垂线交CB的延长线

于G连接PG所以BCL平面APG即PG1AB

II.PD与平面M所成的角

65.

已知函数x-sinrcoar.求：

(I)/(公的戢小正周期;

(D)八公的般大值和最小值.

更]

设南数-.•c[0,J

nintf.CCM0*2

⑴求人宣)；

(2)求/re)的■小值.

66.

67.已知正圆锥的底面半径是1cm母线为3cm,P为底面圆周上一点，

由P绕过圆锥回到P点的最短路径如图所示，由顶点V到这条路线的

最小距离是多少？

68.

已知双曲线《一1=1的两个焦点为F；.B•点P在双曲线上,若PF」PE，求:

310

(1)点「到/轴的距离；

(□△PHB的面积.

69.正四面体ABCD内接于半径为尺的球，求正四面体的棱长.

70.ABC是直线1上的三点，p是这条直线外一点，已知AB=BC=a,N

APB=90°,ZBPC=45°

求：I.NPAB的正弦

II.线段PB的长

III.p点到直线1的距离

五、单选题（2题）

71.彼簿.翻黑

c5J3^口胆Ei蚪i3il

72.曲绫x'・/-x+y-i・o关于・线x-y=o或轴对称的曲线的方程为

A.1*0反『-/♦n-y+】*0

Gxl-y*♦»-/-!=0D.x1-y1+x♦>-1=0

六、单选题（1题）

73.—个圆上有5个不同的点，以这5个点中任意3个为顶点的三角形

共有Oo

A.60个B.15个C.5个D.10个

参考答案

1.B

2.C

3.C

4.B

已知灯泡使用1000小时后好的概率为0.2坏的概率为1-0.2=0.8,则三

个灯泡使用过1000小时以后，可分别求得：

P（没有坏的）=C：・0.8°・（0.2尸=0.008

P（一个坏的）=口-0.印・（0.2/=0.096所以最多只有一个

坏的概率为：0.008+0.096=0.104

5.C

6.D

7.B

角a是第一象限角，如图在单位圆O上有，sina=AB,所以

sina<a<tanao

a~A.'B(

tana=A'B'，

又；ABV&VA'B'

8.A

9.C

10.B

a+mb=(1+m(—1»2)—(1—

m,t+2/n),又因a+mb平行于向量(-2,1),则】•

(1—Tn)=—2•(z+2zn)化简得：2t+3m+1=0.

ll.C

12.A

+(6cV)'・144.解得2=:-创M到具右iff谈梢即.*K)x；-学|■世

4I40|

13.D

J广=]

双曲线1的焦点在x轴上，易知a2=9,b2=16,故

c2=a2+b2=9+16=25)因此焦点坐标为(.5,0),(5,0).

14.B

如图，相切是直线与圆的位置关系中一种，此题利用圆心坐标、半

径，

M/V=MB2-12

=(1+2)2+(3+2＞一］2

—2)2+24.

MA=/(1+24+24.

当x+2=0时.MA取最小值,最小值为y24=

2#.

15.D

16.B

(a-b)-(a+b)=(3,-1)•(-1,+5)=3x(-l)+(-l)x5=8.(答案为

B)

17.D

18.A

19.B

20.B

21.C

c解析；叫:;=3廿，2域心斗

22.B

B【解析】将两位老人排在一起有AZ种方法，

再将五位志愿者排在一起有AI种排法，最后将两

位老人排在五位志愿者中的四个空中，有Q种方

法.故共有&AIC=960种方法，故选R

【考点指要】对相邻的问题通常将相邻的元素看成一个整体，采用“捆

绑法”.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的基础.

23.D函数的奇偶性，只需将f(x)中的上换成-x,计算出f(-x),然后用奇

函数，偶函数定义下结论.对于A、B、C项无法判断其奇偶性，而选项

D有y=f(x)+f(-x),将f(x)中的换写成-x有f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=y

24.A

由产孑,2i，得即工=10gl(3y)+l.

所以所求的反函数为y=lofe(3x)+l(£>0).(卷案为A)

25.D

26.B

由于M=N,故MCN=M={-2,-1,0,1,2}.

27.B

fl+/>+q=-4・.

由题意，有J,„3八，，、即，

[4+2p+q=—^(16+4»+g).|llp+4g=-34.

解得户=—2.g=-3,则二次函数/(幻=/-2工-3=(工一1)'-4,

该二次函数的最小值为一4.(答案为B)

28.D

不等式x*-x，等价于T+X-6K).利用因式分解法可得(x+3)(x-2)K).所以

x&3或*2,即原不等式的解集为(心，-3]U[2,+◎.

29.D

(1)正确Jia,a〃§.则/_LB，又mU

(2)错J.“与m可能有两种情况：平行或异面.

(3)正确.’:IIa^l//m«则mJ_Q,又mUp，

**•a

(4)铅，Ta与8有两种情况：平行、相交.

30.D

31.

【答案】《川一2〈工&7,且一亳

logl<x-2>》00V/+2=1

*〉一2

工+2>0

3

24+3工0

=>-2V*&-1•且1#—2

Jlogj《j•十2》

所以函歌y=v,；+3-----的定义战是

3

（川一2V*<一1♦JLr#—了）.

32.

y=x+3

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

【考试指导】

,y0工？+3工+4=>y=21+3,

y'l.T=1，故曲线在点（一1,2）处的切线方程为

广2=z+1,即y=x+3.

33.

<

34.

解设如双前线分焦点垂自于实轴的弦为人・

L的方程为了「『.，”

内。,02

所以///<-1)-//X,

I.4rw

即y=1

乂由渐近线方朴｝,—士包工.及渐近线与实轴头角

<2

为口,故"1〃"*所以丫:-也--b•'-

uaa

~rb♦lana,弦匕为2"3nd

【分析】表稣6受u西蛾的*■近我等概念.

35.0.7

1108+1094+1112+109.541091

样本平均值110>故样本方差S3-

(110》川0)’+。094-"0)'+。»2-"0)'+(1093-】10)'+(1091-110)'0?

36.

37.

38.(18)1

39.

答案：

-T【解析】由f+m,=】得^+4=1.

41

因其康点在y轴上，故

乂因为加=2•2A,即2JJ=4nm=1•:

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质.对于椭圆标准方程而言，应注

意：

①悬点在HJ*±，4+^1(0>6>0)(

acr

焦点在yIt上:。•+$=l(a>6>0).

②*防长=2a.短拈长=桀

40.

设PCr,y)为所求直线上任一点，则酢=(工-2,y+D.因为法J_a，

一—

JUMP•o=(x-2,y+l)•(-3.2)=-3(x-2)4-2(y+l)=0.

即所求直线的方程为3N—2y—8R0.(整案为3H—2y-8=0)

41.

由y=3*+4,湖.即上=log1(y-4),

即函数y=3-*+4的反函数星产IOR+54)Gr>4).(答案为log](x-4)(x>4)>

42.

由S=4次得R=2.v=gW=gxX2,=孝X.(答案为豹

43.

4.(I9)W

44.3

45.

△ABC中,0<A<]80*,sinA>0.sin4=~co#1A=^\-(

1

由正弦定理可知AB=旦等C="宵型=印.(答案为连)

sinAsinAyjg2八行大〃2

10

46.

由/(10&10)=&鼠'-1=&鼠''•=■.得a=20.(答案为20)

47.

48.12

ftA(«r..》)为正三京影的一个M点.且辽工”上才QA-加

则Jr。=•力・m*in30'=»E.

qJIAqE.&A*输"■双上,从而G)'TGX4…12.

49.

50.

51.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dta,Q+d,其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a2+(a-d)L

a=4(/,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=-x3dx4J=6,d-\.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差d=1.

(11)以3为首项」为公差的等差数列通项为

an=3+(n-1),

3+=102,

n=100,

故第100项为102.

52.证明：(1)由已知得

又可得.所以必

a>l,a.e<1•

⑵设QQiz）倒巧•方），由题设,

将①两边平方.化简得

（*o+«）V-（»|+。）‘点

由②（3）分别得y：=占（X：-。’），y：=1（-X：）,

aa

代人④整理得

«-*>Xo-aaJ

----=-----,即x•―-

。,均《o♦Q*©

同理可得巧二£.

所以时二%，0.所以0犬平行于T轴.

53.

方程J+/+=+2y+/=0表示圈的充要条件是“+4-V>0.

即/<•!•.所以-飞8<°<三息

4（1.2）在圜外,应满足：1+2,+a+4+a,>0

即（？”+9>0,所以aeR

综上.a的取值范围是（-¥，¥）.

由于（ax+】）'=（1♦ax）'.

可见.展开式中，•？.丁的系数分别为C>,.CM,C<A

由巳知.2C；<?=C；£+C；a4.

.an7x6x57x67x6x5i】s.八

Xa>l,则2x--—・a=一针♦----•a\5a-10a+3=0.

-J入4

54.

55.

24.解因为〉+J…=-所以，¥一殳=；

£0CL

即cosB=■，而8为AABC内角，

所以B=60°.又log48tli4+lo^sinC=-1所以sin4•sinC=十.

则y[co6()<-C)-COB(4+C)]

所以cos(4~C)-cosl20°=-1-,HPco»(4-C)=0

所以A-C=90°或4-C=-90。.又4+C=120。，

解得4=】05°,C=15°；4A=l50,C=105・.

因为SA皿=1-aAmnC=Z/^siivlsinBsinC

=2*•4

4244

所以，於=后,所以R=2

所以a=2/{sirt4=2x2xsin105°=(^4*7^)(cm)

b=2RmnB=2x2x4n600=24(cm)

c=2/tsinC=2x2xsinl50=(历-0)(cm)

或as(^6^^2)(cm)6=24(cm)c=(%+&)(cm)

«・=6长分别为(用♦左)cm、275cm、(布-&)cm.它们的对角依次为:IQ5o.60°.15o.

56.

⑴八x)=1金令八H)=0,解得X=l.当xe((M)./(x)<0；

当工€(1.+8)/(#)>0.

故函数/(外在(0.1)是减函数.在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时4外取得极小值.

又/(0)=0.<1)=-1.<4)=0.

故函数“X)在区间[0,4]上的最大值为0.最小值为-1.

57.

由巳知可廉4=75。・

又向75°=#in(45°+30°)=sin45°cos300+«»45、in30。="匡……4分

在△麴(：中,由正弦定理得

上="=女......8分

sin45°mn75°sin600'7T

所以AC=16,BC=86+8........12分

58.

(1)设等差数列I的公差为人由已知%+.=0,得

2a,+9rf=0.又巳知5=9.所以d=-2.

数列la.l的通项公式为a.=9-2(n-l).即册=11-2m

(2现例的前3项和

S,=y-(9+I-2n)=-nJ+10n=-(n-5)3+25.

当n=5时,&取得最大值25.

59.

设三角形三边分别为a,6.c且。+6=10,则6=10-a.

方程2?-3x-2=O可化为(2x+l)G-2)=0.所以”-y.x,=2.

因为a、b的夹角为九且Icos创Wl,所以cos^=-y.

由余弦定理，得

c'=a?+(10—a)J—2a(10—a)x(—■—)

=2。'♦100—20a+10。-a'=a"-10a+100

=(a-5)J+75.

因为(a-S)'O.

所以当a-5=0,即a=5叫c的值1ft小,其值为历=5氐

又因为a+i=10,所以c取狎最小值,a+b+。也取得最小值.

因此所求为10+5百.

60.

(I)由已知得。.《0，警1!!：/，

所以I1是以2为首项.•!•为公比的等比数列.

所以a.=2(»,即a.

(口)由已知可得H="土牛",所以(H=由:

*-T

解得n=6.12分

61.

25・答案图

(I)・・・B(；_L平面,A,BBA.

.•.B.GIEF.

乂EFU平面AUA•且E£LBE・

由三垂烧定理得・EFJ_平面EC助.

AEF±C,E.

故NCEF=900.

«口)连接BD、DG、BQ、AC・

则BDAAC=O,且HQAC

•♦•△BCD为等边三角形，剜CQLBD.

WIZC.OC为二面角G-BD-C的平

面利

在△OCG中・CC;_LOC・

tft(r,=a,H!OC-^a.

tanZC,OC=^=-^-=y2,

0c工

2a

•*•/GOC=arctanJl.

62.

<I）设水演的长为工（m）,宽为鬻（m）.

池壁的面积为2X6Cr+醇）《m3.

OX

池壁造价为15X2X6G+警”元）.

DX

池底的面积为翠=900（m23

池底造价为30X900=27000（元）.

所以总造价函数为

y=15X2X6Cr+醇）+27000

0X

=*180工+^^+27000（工〉0）.

X

（n）y=】8o-器吗

令y'=0.解得了=±30（取正舍负）.

当0<Lr<30时.y'VO,

当了>30时.y'>0.

z=3O是椎-极小值点，

即是做小值点.

所以当蓄水池的长与宽分别3O（m）时.水池的总造价©低.

63.

（20）本小密满分11分.

M：（I）

M的布度做().9・18・27・36*45*

3<.V分

X的4度值0…3

20!0207T

yflUnx-sinx的值

00.00190.01590.05550.13880.2929

(精确到0.0001)•••8分

(0)

II分

64.因为PA_L平面M所以PA1BC所以点P到AB的距离为a,过A

作BC的垂线交CB的延长线于G连接PG所以BC_L平面APG即

PG±AB

•:AG=*a.PA=a,

:.在RtAAPG中.PG-+.AG：

a.因此P到8c的距离为g.

•••PA_L平而M.

；.AC是PC在平面M上的射影.

又,JAD是正六边形ABCDEF外接圈的

i［径.

.,./ACD=90,

因此AC_LCD,所以CD_L平面ACP.即PC

到CD的距离.

■:AC~^3a*PA=a,

;PC==2a.因此P到CD的距

离为2a.

，设PD与DA所夹的角为a.在RtZ\PAD

H,PAa1

中皿忆=而=五°2’

**•a-arctan—