2023年辽宁省本溪市成考专升本高等数学二自考真题(含答案)

2023年辽宁省本溪市成考专升本高等数学

二自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

].________h_________=_1_

1.已知函数y=f(x)在点处可导，且残外工。一2人一义工。)一7，则f，(x°)

等于【】

A.-4B,-2C.2D,4

2.

一知户工＞在工=1处可导，且/⑴=3,则lim/(】+,一/⑴等于

ion,

A.0

B.1

C.3

D.6

3.下列命题正确的是()o

A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点

B.若x0为函数f(x)的驻点，则x0必为f(x)的极值点

C.若函数f(x)在点x0处有极值，且f*(xO)存在，贝IJ必有f，(xO)=O

D.若函数f(x)在点XO处连续，则r(xO)一定存在

lim(I3.r),~.

4.・

5.函数y=f(x)在点x=xO处左右极限都存在并且相等，是它在该点有极

限的()

A.A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件

6设函数/(x)=cosX,则/[5)=().

A.-lB.-1/2C.OD.1

已知函数/(x)在x=2处可导，且lim〃2+2Ax)/(2)=?，则/，(2)

7.Z2

()O

A.-1/4B.-1/2C.l/4D.1/2

«设函数/(X)在处可导且/'(1)=2,则)

O.r

A.-2B.-1/2C.l/2D.2

9.说：•则/v等于()

A*/cosyB.cosyC./sinyD.-，sinj

]0激'LE，—co、/的通解为

11.

sin2x

x<0.

“4T)

设函数/(")则函数/(”)的间断点是(

』-I

00,

v+2,

A.彳=-2B.xI),x=0

设匚=则生=，更=

12.Hrdy

13.

b

若x=-l和x=2都是函数f(x)=(a+x)e*的极值点，则a,b分别为

A.A.2,-1B.2,1C.-2,-lD.-2,l

-y-jsinZ2&=

drJo..，

14.[]A.2xcosx4

B.X2COSX4

C.2xsinx4

D.x2sinx4

15.下列等式不成立的是

1im(l+/$=e

A.A.…n

Bin.

lim(l+^-)-=c

C”一n

16.

设z=/(x,必在点(LD处有。1,D=D=0,且/：(LD=2,/：(l,D=0,

/；(1.1)=1.则/(I,I)

A.A.是极大值B.是极小值C.不是极大值D.不是极小值

已知limf(x)=A,则点沏是函数/(x)的

17.1叼

A.A.间断点B.连续点C.可导点D.连续性不确定的点

18.当XT1时，下列变量中不是无穷小量的是

A.A.i-1

Bsin(x2-l)

c.lrw

D.e'T

19.设事件A,B相互独立，A,B发生的概率分别为0.6,0.9,则A,B都

不发生的概率为()。

A.0.54B.0.04C.0.1D.0.4

1

..<-1

lime=

20.I

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+oo

*

若x=-l和x=2都是函数/(x)=(a+x)e*的极值点，则a,b分别为

21.A.1.2B,2,1C.-2,-1D.-2,1

22.

下列关系式正确的是

A.dj/(x)dr=/(x)B.=/(x)

C.^J/(x)dx=/(x)D・^|/(x)dx=/(x)+C

23.曲线卫二Q+4）北=7在点（2.6）处的法线方程为

已知lim:—十勺=5,贝I]a-

24.1-x

A.A.7B.-7C.2D.3

M设〃X）在uL连统扁］/（-D盘等于（

A.0

BJ"）心

cJ/3由

D.…八

已知函数知则其四喑幽=

A.-3B.0C.1D.3

函数fix｝在点a处有定义是/（X）在点先处连续的（）

A必要不充分条件B,充分不必要条件

27.c.充分必要条件D既非必要又非充分条件

28.

变量八幻=三立三率亘在过程为什么时为无穷大量

A.X—*0B.N*-1

C.7——1D.X—*—2

设〃x)=「ga)山，则/'。)=

29.",

A.A.g，)-g(2x)

BX2g(丁)一2邛(2%)

(x2-2x)-g(x)

C.

2xg(x2)-2g(2x)

1-/•

已知函数/⑶在x=2处可导，且甥严誓蛆则“2）=

二、填空题（30题）

31.曲线y=x3-3x2+5x-4的拐点坐标为

32.

极限的值是

，•一JF-1

1

A.cB.D.0

33.

jx/(x2)/(x2)dx=-

34.

函数y=3/+6x+5的单调减少区间是.

35.设函数y=xn+2n,则y(n)(l)=

36.

,工33

设Jf(x)dx=-ylnx—+C,贝ij/(x)=

lim而T

37.x

38.

3

设z=arccot(x+y),贝ij铲Z=

f2x+l,xWO,

39.已知.则〃°)=

40.

产dX

Joe”+「

当x-0时，若sin3x2^xa,则a=

41

42.

从0,1,234,5共六个数字中，任取3个数组成数字不重复的3位奇数的概率是_

.设s=ln[jj4-ln(J7)J，则驯=__________.

43.■

曲线的水平渐近线为.

44.

45.

46.

设函数)=2工2+。工+3在点工=1处取得极小值，则a=.

47.设函数百心则言=一^

48.设丫=6。',则y(n)o

49.若f'(l)=0且f"(l)=2,则f⑴是__________值。

fe1sin(1-he*)dx*______________・

50.1

51.

Jx5/l+x2dx・

a+bf(j-<0)

,设/([)="sin(fer)(工>0)在工处间断，则常数a与b应满足的关系是

52.

53.

dx=

54.

55.

设八幻=浮悬,则八工）=

设了⑴=lim«-----)x,则/(，)=.

56.…x-t

过曲线y=£4上的一点（2,3）的切线斜率是

57.x

co若1加丁与一"--

••1t4-5Y—D

59±广」4+"/2=8J，则a=.

函数y=ln（l+f）的单调递减区间是

60.

三、计算题（30题）

6］设y=，（x）由方程八M+arccg（#y）所确定,求今

62计算定积分Jjn（vG+l）d.r.

63.求函数/（，）一门7在定义域内的最大值和最小值.

64.已知函数f(x)=-x2+2x.

①求曲线y=f（x）与x轴所围成的平面图形面积S；

②求①的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积Vx.

设函数f（H）=1—7尸+yj

/(jr)dj•，求/(x).

65.

e-e

求极限lim(ex-])cos—J.

8sin3x

66.

67.求极限师亡---)

/_]•

计算r——\—-dr

68.4T7r

69.求雨数/（上）-的单调区间与极值点.

设+y；+21—2户。,确定函数z=M3).求嘉伊.

70.

计算不定根分jarc»inj」

71—■ttr

C+工

72.fta«*=V+*/(*.»),其中代7、为可做备效.求dr.

计算定枳分/InG+Dd-r.

74.若已知y'i'-e，sin2a•.求

设函数/(x)-J求定积分J：/G)<Lr.

75.x<0-

工》O.

求「/Wdr.

»/(x)

76.x<0.

求Jyc"drdy,其中区域D由_y==22Hl及l-2所围成.

77.

求1/G)dx,其中/(x)=卜+「04工<1,

78.x+l.1<X<2.

“jun一•1*0.

讨论函收八上）一«'在x=0处连续性与可导性.

79.0-x-0

求微限沙。U（熹一：）

80.

81求函数z=arctanCx^）的全微分.

设函数z=/（上,（卜/具有二阶连续偏导致,求在，旦H.

82'?'oxdxdy

or计算不定积分［上^2x4-1±«.

84求微分方程<、./=1J的通解.

设z=八十，.工）,其中flu.v）为可微函数.求生，会.

85.>"ay

计算二次积分［dy1等dr.

86.3x

设函数z=12*+里没?+力（3，一、）,其中,为可导函数,求弟.

87.厂+，*

求函数v=r•Tffj的导脸•

Oft设函数/（力=4■/一,，+4_r.求/（力在［-1.2］上的最大值与最小值.

oV.

计算二■枳分其中0是由直线.r=2.y■1与双曲线/y-1所用成

90,的区域

四、综合题（10题）

91.讨论函数/（/）「'3.1「的佻调性.

92.

设函数y=ar'—60rz十人在［一］*］上的最大值为3.最小值为-29,又a>0,求a,6.

93求由曲线.、，=r，4与y=#所围成的平面图形的面积.

94.求函数、=16二一］，的二置区间和极值.

95.证明方程4H=2'在［0.1］上有且只有一个实根.

过点P0,0）作衲沟线y。的切级，速切线与上述抛得级及，轴承成-平面图

96.彩，求此身形饶万仲宜整一周所成的箕轴体的体根.

证明：方程4工-1=［'在（0.1）内仅有一个根.

97.J1+，

cc证明：当工>0时，ln(l一>.

98.1•r

99.证明方程/-3工-1=0在1与2之间至少有一个实根.

求函数/(.r)=上一。++4-的单调区间和极值.

100.

五、解答题(10题)

101.

求曲线y=«与直线y=x-2,y=0所围成图形的面积A及该图

形绕x轴旋转所成的旋转体的体积匕.

102.

0x<-l

0.3-l^x<0

设离散型随机变量J的分布函数/口)=,0.4()Wx<l

0.9lWx<2

1x22

(1)求J的分布列.

(2)求J的数学期望.

in<1+x)X

壮明t当X>1时.------->----

103.Inx14-x

104.

计算lim(三与一(aWO).

上18JCICL

105.

计算J：吉也

106.

设离散型随机变量x的分布列为:

X123

P0.2◎0.5

(1)求常数。的值；

(2)求X的数学期望E(X).

107.设函数y=l/(l+x),求y"o

108.

求r/cos—-cos*zdz

109.

设是连续函数，且fGr)=Z+21/⑺力，求/(X).

J0

110.设函数y=tanx/x,求y)

六、单选题(0题)

设函数z=ln(x2+y),则

111.9

2x

A.A.(，+*

2x

B.(/+»

2x

参考答案

l.B

2.C

3.C

根据函数在点xo处取极值的必要条件的定理，可知选项C是正确的。

4<<■

5.C

根据函数在一点处极限存在的充要性定理可知选C.

6.A此题暂无解析

7.C

根据导数的定义式可知

/(2+2Ar)-/(2)2r(2)=g.

，'⑵下

8.A此题暂无解析

9.D

10.y=(x+C)cosx

ll.D

答应选D.

分析本超主要考行间断点的概念.

读者若注意到初等函数在定义区间内是连续的绪论,可知选项A、B、C都不正确,所以应选：

y(z-2y)E.(H-2y>,[ln(x-2y)+]

12.”-2oy-r

y(x—2>)»[ln(x—2y)4-2

13.B

——b~—bx-cib

因为八x)=铲+(a+幻眇(一与二铲X":卫

XX

由于式=-1,%=2是函数/(%)的极值点。

,(l+b-ab=O

所以《

4一3—ab=O

解得a=2,b—\

sin^d/=sinCz2)2•(f)'=2xsinx4.

14.C

15.C

利用第二个重要极限易判定.

i»*5

A.1+-=e

n=!叫杷)(叫

B.『=J.

C.limfl+-yI=limQl-h-yIIj二。=

n)—\n)

D.limj1-=limjl+--yl-"=e°=l,

nJn"ITI)

故选C.

16.B

根据极值的充分条件：B2-AC=-2,A=2>0所以f(L1)为极小值，选

17.D

解析:

因为lim/(x)=A中的A值不一定等于函数值/(沏)，所以在沏处的连

续性是不确定的.故选D.

18.D

A.x2-l->0(XTI)

B.sin(jr2-1)->0(x—>1)

C.Inx—>0(x—»1)

D.e-Jl(8T1)

19.B

20.D

因为当x-「时，而当x-l•时，」-一2

x-1x-1

11

所以当x-E时，e^-O,而当X-1•时，e=f+oo

i

贝I」lime*T不存在且不是+«),故选D.

XT1

［解析1

—~b~Jr?—hr-ah

因为「(x)=ex+(a+x)e«g=eJ°：如

XX

由于x=-l,x=2是函数f(x)的极值点。

丁…’1+b-ab=0

所以1.

4-2b-ab=0

21.B解得。=2,b-1

22.C

23.x-y+4=0

24.B

因为分母Lim(l-x)=0

所以必有分子lim(/+ox+6)=0

即a+7=0

u=-7

25.C本题考查的知识点是定积分的换元积分法.

如果审题不认真，很容易选A或B.由于函数?(x)的奇偶性不知道，所

以选A或B都是错误的.

［解析］lim/d-Ax)-/(l)=(-1)

Ax-fOAYAt-MD—Ar

2

=r(l)(-l)=(3x)|M(-l)=-3

27.A

28.C

29.D

2

f'(x)=iLxg«)dH'=g(，)•(x2)z-g(2x).(2xX

二2xg，)-2g(2x)

[解析]根据导数的定义式可知

"(2+23-”2)」

八小

30.A

31.

令

城(1,-1).因为y"=6x-6=0,得X=l,此时y(l)=-l,所以拐点坐标为([._]).

32.C

33.

34.(-oo,-l)

函数的定义域为(―，+«).

令y'=6x+6=6(x+1)=0

解得驻点：x=-l

在区间(一,-1)内，y'<0，y单调减少；在区间(一1,+«»)内，/>0.y单调增加.

35.

36.x2lnxx2lnx解析：

因为/(.^)=lJ/U)dxJ，

,3322

而|f/'(x)dx|=(—Inx-----l"C)'=x2lnx+---------=x2liu

J3933

所以，(x)=7lru

37.1/2

38.

dz_iai

dyl+(x+y)2dy1+U+y)2

39.

因为/(0)=(2z+l)|…=1,

4044

41.

6

【解析】因为！吧字=理（竽）3.吉

=lim—1=1（当a=6时）

JI-W

所以当a=6时，有sir?，〜X。&T0）.

42.

43.

44.y=0

45.

46.-4

47.6x*2y

48.anem

49.极小极小

50.-cos(l+e)+C

51.

jxdx=yj>!\+xzd(l+x2)

3士

=-(l+x2p+C

8

52.a声b

53.

54.

arcsinx-vl-x2+C

55.

工+sinjr

1+cosx

(l+2/)e”

［解析］因为/(/)=lim/(—)x=rHm(l+2)亏””

i-x-ix-r

2,XT9/

=rHml(l+—p］2/-lim(l+—X

**x-tnx-t

=ze2f

56所以//(O=c2<+re?,x2=(1+2r)c2f

57.

58.应填1/7.

【解析】本题是型不定式.

X=lim--先1工=

I】JT'+5Z—6•—।(X—1)(x+6)7

2

保析i因为r^=rctani1na.n

a—(z—arctan-)=-

2228

an

arctan-=一

24

所以—=La=2

59.2

(-00,0)

［解析］因为r(x)=-f

l+xz

当x<0时，/'(x)<0

所以单调减少区间为(-8,0).

61.

设F(4,>)=y3-x-arccos(xy),

则

dF

dy1r-y

所以dxJ

d/-近=3」尺?7+；

ay

原式ln(r+1)•2tdt

=jln(l+t)d(H)=r1•Ind+/)|—Ji:产

加2一工三芹1&=出2-

二1成一由，一】)［：+ln(r+

ln2—(0—j-(In20)

62.

令r*

原式一Iln(/+1)•2tdt

=，ln(l+。水—)=tlTn"+t>I：-1击山

=加2_(勺与山=,n2-L(r-1+rh)dr

=ln2-4-ln«+l)

In2一(。一0)一(In20)

63.

函数/Q)=He、的定义域为(-8,+8),且/(1)处处可导;

因为/^(x)=5"—«re,=e~(l—令，(彳)=0

得驻点工=L且*VI时/(“)>0.”>1时/(幻〈0

所以八1)=e'=工为函数/(幻的最大值.

e

又lim/(x)=limxe,=­8,

X**~,■一，》，

lim/(x)=limze'=lim-=lim--=0.

CJ-♦*3e

于是f(x)定义域内无最小值。

函数/(J)=xe-J的定义域为(-8.+8)，且/(x)处处可导;

因为f")=—jre'=bFl—1).令f(x)—0

得驻点工=1.且工V1时.，(工)>0,x>1时./(工)<0

所以八1)=e«=工为函数/(幻的最大值.

e

又lim/(x)=limare'=—oo；

limf(jr)=limjre4=lim-=lim-y=0.

于是f(x)定义域内无最小值。

64.

得交点(0,0)与(2,0)，

=

①、=£(--+2G也=(后+/)|0T

②匕=j"(-/+2x)2d*=宣，/-4P+4x2)dx

等式两边从o到1积分得

|/(x)dx=Jx(1—j)'dr+y|/(j)dx.

即J/(jr)dx=2[x(1—])，山"

今一…

Jti41

故，Cr)=H(1一"；+七.

65.

等式两边从0到1积分得

1/(x)dx=Jx(1—J,)dx+/(x)dx.

即J/(j-)dj=2[j(1—j)sd-r

“(1―

Jt>c1

故fG)=工八一力；+&

㈣高¥—八。。+

limw.f-------lim(e*-1)•cos

*•»osinoxl。

limcc------limx•co$-

#-*oZ41,一。jr

..7e"+er八

hm-----a----------0

1

7­

——1

再1-I+jrlnx

怕

67.1+Inx4-1-T

皿十一占

7-Tx-1+jlor

为1+Inx4-1-7'

用换元积分法.令工=tan/.则

--------；—d.r=+j—--------sec2/df

+才?Jftan"•sect

=J:esc/•cold

,>342-243

-CSC/=-3一•

68.f

用换元积分法.令l=tan/.则

「------dx=1一二----sec2/dz

J।/Z•/[+Jftanwz•sec/

=J:esc/•cot^dr

,935/2-2V3

=­cscr=—"——.

中3

69.

求/（x）的导数,得—】）1'=‘工：,令，（彳）=0,

得驻点x=1■•此外，点*=0是/（X）不存在的点.它们将区间分成3个部分区间•列表讨论

如下i

2

X■0<0

4>5

/(x)+不存在—0+

/(x)♦■建增糠大单两递破横小单调递增

由上表可知.函数在区间（一8.01和华•+8）上侬调增加•在区间［0•卷］上单调递减.

当一•!■时.有极小值/（卷）一看法.当了.0时.函数的学数不存在，但1-0是

函效的微大值点♦极大值f（0）-0.

求/（工）的导致.得，（工）H+■|"（工一1）J•+="J2M+.令/（l）=0,

得驻点X=1■.此外.点工=0是r（x）不存在的点.它们将区间分成3个部分区间,列表讨论

如下1

22

X^0

（。中号+8)

/（X）+不存在—0+

义*)单调递增摄大单蠲递诚极小华网逢增

由上表可知，函数在区间(-8.01和4.+8)上单调增加,在区间［0得：|上单调递减.

当L卷时,有微小值/代尸一卷J£.当10时•函数的导数不存在,但，=0是

函数的强大值点♦极大值H0)-0.

令F(jr.y.w)=X*+y'+27一2yz—e'=0♦则

F.=2x+2,F,=2y-2z,F.~-2y-e,

故当一2y-e，WO时.有

dz_F,_2(x+l)dz___2(y-z)

70.3xF,2y+e'dyF,2y+e

令F(,jc,y,z,)=x*+_/+2H-2yz—e*=0.则

F,=2z+2.F,=2y2«.F,=—2y—e-

故当一2y-lf0时•有

生=_&=2-土!2.生=_马=2(y-)

SrF.2y+e'dyF.2y+e*

71.

叱d*=2farcsiTLrd(/I+/)

/r+7J

2ry/\+xarcsinx-

二2x/1H-xarcsiru--Ja

=2[/\+“/rcsinx+2/I-3]+C.

f叱业=zfarcsinj-dC-/I-Fx)

J/r+7J

=2\/r+-xarcsinj—|，1+x•■■--.d-r

LJ/IT.

.2八+-rarcsinx—f1-&]

.'J

=2[+”arc*iru*+2/I—I]+C.

dz=空d«r+当dy

ardy"

72=[4'(.r.v)一r(।.\)]di+[3y:+」，门d»

dz=空业+默dy

9xdy

=+/a・y〉]<Lr+[3y‘+工/'(]♦y)]d»

原式=Jln(x-Fl)dx=x•ln(x+1)|—jz•

=ln2-f(1——r)<Lr

JoX+1

=ln2—(x-ln(l+x))|

73-In2—(1In2)=2ln2—1.

原式=Jln(x+1)dr=z・ln(x+1)|-J”•一ydx

=ln2-f(1------7-r)clr

Jo*+1

=ln2一(工一ln(14-x))|

=In2-(1-In2)=21n2一].

由ytirn=e，sin2’,得

Jr

y=exsjn2x+2ecos2x=e(sin2x+2COS2JT)«

=e*(sin2x+2cos2x)+e4(2cos2x-4sin2x)

J

74.e(4cos2x-3sin2x).

由y""=e'sin21r,得

丁(叫_e'sinZi+2e'cos2z=er(sin2x+2COS2J),

y**l>=eJ(sin2x4-2cos2x)4-eJ(2cos2:r—4sin2x)

=(4cos2x_3sin2x).

75.

fypfT,

/(x)dx=/(x)dx4-/(x)dx

J—1JTJo

0r+i

=ln(1+eT)+7-7-7-7dx

-1Jo1+4z

-In2-ln(l+e+/水2公

/1+4J,

=ln2-ln(1+e')+-^-arctan2j!'

Z10

=In2-Ind-Fe-1)+-^.

o

P/(x)(Lr=ff(z)cLr+「/(z)dN

J-1J-1Jo

=ln(14-er)

In2-ln(14-e')+y£1+；,水2工)

1

=In2-ln(1-He)4--arctan2x

=ln2—Ind+e1)+

o

76.ln2-ln(l+c-')+-oy.

欧式二号业+C吊了必

=In2-ln(1+e')+「■；-—yd.r

Jo1+4x

=ln2—ln(1+e')+；arctan2j|

=ln2-ln(l+e-,)+~.

o

77.

画出枳分区域图D.如图所示，

考虑到被枳函数的情况,先对工枳分较宜.

0

l^yedxd,v=[d>Jd-r+[d>J(dx

=|(e2f-ex)dj+

=je1―/,

画出枳分区域图D,如图所示，

考虑到被枳函数的情况•先对x积分较宜.

『e"cLrd.v=[d>j^d.r+[d>j(dx

=|j|-e)dy

=yei-et

f(x)djr

=J：?7^7&+&+川：

=arctane*|+£

,□靠

十彳一彳

78.=arctane

/(j-)dj-.Kk+J严+】)dH

•(l+e')

=arctane,|+-y

arctane+y-

因为lim/G)=limxsin1=0=/(O),

所以/（“）在Z=o处连续.

但/（x）-/（o）=z（x）=2^2=sinit

JT-0XXX

而limsin-不存在，即lim八工）一尸。）不存在.

79.所以八小在一。处不可导.

因为=limxsin—=0=/（O）•

/一0x-»0JC

所以/（］）在z=0处连续.

但/⑺一:。）=这=匕=3工

JT-0XXX

而limsin-不存在,即lim/（"）―（⑹不存在.

所以/（工）在1=0处不可导.

limcotx-f-4--L）=lim=・匚始

z\s>nj-JTI.7sinxxmnx

lim—K

1QX

80.6

limcotj-・（---上）=lim字=.J~.5tnj

r*o\sina-jr/.ysinxxmar

i・工―sinx

-hmr-j-

，••xsmx

-limits

1QX

一四3?

1家

1

一?­

••Zxy_JC1

,01+//'M'一】+]，'•

*

••&=母不必+记于也

81.

••_2«ry_x2

F-l+N尸

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I+*y“1+xy

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F—揖+//「揖・；十八「同

dJd.v0fJxi

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82.y

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露。".（一手）+启（一揖・卜+八

（~7）

=■!•“：<!”•于是

令y/2x+1="•即1=D.cLr

J*>2]+1（=-DM*^M2dw

=“，）d”—/“:一—ul+C

坨泵21+1/一4⑵+1H+C

83.4010

令\/Zx+1•即*=y(MJ—l)»dj-=•于是

J*+IcLr=J-(«J—1)u•^u'du

.yJfM*«3)d«—+C

妙磊(2”+1升一白⑵+1H+C.

4010

所给方程是可分离变最方程