常微分方程奇解和包络

关于常微分方程奇解和包络一、包络和奇解1包络的定义定义1：对于给定的一个单参数曲线族：

曲线族(1)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(1)中,但过这曲线的每一点有(1)中的一条曲线和它在这点相切.第2页,共26页，2024年2月25日，星期天对于给定的一个单参数曲线族：

其中为参数.若存在一条曲线满足下列条件:(1)(2)对任意的

存在唯一的使得且与在有相同的切线.则称为曲线族的一条包络线,简称为包络.或定义：第3页,共26页，2024年2月25日，星期天例如单参数曲线族：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图R从图形可见,此曲线族的包络显然为:第4页,共26页，2024年2月25日，星期天注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.

如图从图形可见,此曲线族没有包络.第5页,共26页，2024年2月25日，星期天问题:对于给定的单参数曲线族:

如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求?根据定义,假设该单参数曲线族有包络则对任意的存在唯一的使得于是得到对应关系:第6页,共26页，2024年2月25日，星期天从而得到二元函数使得若可用参数形式表示为:记则于是,第7页,共26页，2024年2月25日，星期天上任取一个固定点M,则M在某一条曲线上.由于与在M点有相同的切线,而与在M点的切线的斜率分别为与所以,有从而由于在上不同的点也在不同的上,即因此现在第8页,共26页，2024年2月25日，星期天因此,包络线任意一点M不仅要满足而且还要满足把联立方程组:中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线称为曲线族的c-判别曲线第9页,共26页，2024年2月25日，星期天2包络的求法曲线族(1)的包络包含在下列两方程注:第10页,共26页，2024年2月25日，星期天解:记则即例1:的包络.求曲线族第11页,共26页，2024年2月25日，星期天因此c-判别曲线包括两条曲线(2)和(3),第12页,共26页，2024年2月25日，星期天xyO第13页,共26页，2024年2月25日，星期天例2:求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解:记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:第14页,共26页，2024年2月25日，星期天Oxy第15页,共26页，2024年2月25日，星期天3奇解定义2:微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.例如:第16页,共26页，2024年2月25日，星期天第17页,共26页，2024年2月25日，星期天4奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注:第18页,共26页，2024年2月25日，星期天例3:求微分方程的奇解.解:从消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线即由于方程的通解为:第19页,共26页，2024年2月25日，星期天三、克莱罗（Clairaut）方程1定义3:形如的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.第20页,共26页，2024年2月25日，星期天为求它的解,令得经化简,得2克莱罗(Clairaut)方程的求解这是y已解出的一阶微分方程.第21页,共26页，2024年2月25日，星期天如果则得到于是,Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:或其中c为参数.消去参数p便得方程的一个解.第22页,共26页，2024年2月25日，星期天结果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.如果令则因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.易验证,此参数曲线恰为通解的包络第23页,共26页，2024年2月25日，星期天例4:求解方程解:这是Clairaut方程,

因而它有通解:其中因为所以从中消去参数c,得到原方程的奇解:第24页,共26页，2024年2月25日，星