函数y=Asin(ωx+φ)高一下学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.6函数y=Asin(ωx+φ)第五章

三角函数一二三学习目标经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系.掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质.掌握三个参数对函数图象的影响并能灵活运用学习目标情景引入单位圆上的匀速圆周运动单位圆上的动点P,以(1,0)为起点,以单位速度1rad/s按逆时针方向运动了t

秒,其运动规律具有______性,点P的纵坐标y与时间t的关系是_________,即可用______函数模型刻画．y=sinttPA(1,0)Ox三角PA(1,0)O周期情景引入情景

筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。问题1假设水流量稳定，筒车上的每个盛水筒（视为质点）都做匀速圆周运动。你会用什么函数模型刻画盛水筒距离水面的相对高度H与时间t的关系?因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可考虑用三角函数模型刻画其运动规律．新知探究ωt问题2盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？P0P筒轮中心O到水面的距离h筒车半径r以初始位置OP0为终边的角φOrh筒车转动的角速度ωωφ筒车ts内转过的角度为ωt

如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过ts后，盛水筒M(视为质点)从点P0运动到点P．问题3

那么点P距离水面的高度H与t

、h、r、φ、ω这些量有什么样的相互关系？

该如何建立盛水筒M运动的数学模型？假设水流量稳定，筒车上的每个盛水筒都做匀速圆周运动.设经过t

s，盛水筒M(视为质点)从点P0逆时针运动到点P，此时点P距离水面的高度为H.筒车中心O到水面的距离为h

m，半径为rm，以初始位置OP0为终边的角φ，角速度为ω

rad/s.新知探究追问1

如何刻画动点P的位置？以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点P(x,y)．xy追问2如何刻画点P的纵坐标y与上述那些量的关系？y=r·sin(ωt+φ)由三角函数的定义得，追问3点P的距离水面的高度H与y,h有什么关系？H=y+h=r·sin(ωt+φ)+h形数点坐标建系y>0时,H=y+hy<0时,H=h-|y|=h+yy新知探究假设水流量稳定，筒车上的每个盛水筒都做匀速圆周运动.设经过t

s，盛水筒M(视为质点)从点P0逆时针运动到点P，此时点P距离水面的高度为H.筒车中心O到水面的距离为h

m，半径为rm，以初始位置OP0为终边的角φ，角速度为ω

rad/s.新知探究y=r·sin(ωt+φ)①H=r·sin(ωt+φ)+h②

函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质．

新知探究

当起点位于时，，可得函数的图象P---11-M取A=1,数学实验1.探索φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

观察图象上点的坐标关系新知探究1.探索φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

新知探究1.探索φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

当起点位于时，，可得函数的图象P---11-取A=1,

追问(1)如果取

，

，对应的函数图象如何变化呢？(2)根据上面的研究，归纳出对函数图象影响的一般化结论.

φ对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

归纳小结为了得到函数

的图象，只要把

的图象上所有的点（）【跟踪训练1】（B）向左平行移动个单位长度（C）向右平行移动个单位长度（D）向左平行移动个单位长度（A）向右平行移动个单位长度A①把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数

y=sin(x+φ)的图象；②φ的变化只改变图象的左右变化，形状、大小完全不变；③这种变化引起的是初始位置的变换，一般称为相位变换.取A=1，

，当

时，得到

的图象P

当时，得到的图象1、作图2.探索ω对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

新知探究PP2、探究2.探索ω对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

新知探究2.探索ω对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

新知探究追问(1)如果对应的函数图象如何变化呢？(2)根据上面的研究，归纳出对函数图象影响的一般化结论.

归纳小结ω(ω>0)

对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

【跟踪训练2】说一说由的图象经过怎样变化得到的图象？

图象上所有点的横坐标变为原来的

倍，纵坐标不变3.探索A对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

新知探究当参数A变化时，对函数y=A·sin(ωx+φ)图象有什么影响？

A(A>0)

对y=A·sin(ωx+φ)图象的影响

归纳小结①A的作用：引起值域的改变，这种变换叫做纵向伸缩；②A的变化引起的纵向伸缩，会导致图象形状改变（被纵向拉长或缩短）；③若A>0，则函数y=Asin(ωx+φ)

的值域为[–A，A]；若A<0，则函数y=Asin(ωx+φ)

的值域为[A，–A]；【跟踪训练3】为了得到函数

的图象，只要把

图象上所有的点（）（A）横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变

（C）纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

C归纳总结（沿x轴平行移动）y=sin(x+

)（沿x轴伸缩）y=sin(

x+

)yxOy=Asin(

x+

)xOy（沿y轴伸缩）步骤1y=sinx步骤2步骤3步骤4例题

如何由变换得的图象？函数y=sinx

y=sin(x+)的图象③

横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=sin(2x+)的图象纵坐标不变②横坐标缩短到原来的倍①向左平移y=3sin(2x+)的图象方法一：先平移再伸缩典例解析1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=3sin(2x+

)

y=sin(x+

)

y=sinx

例题

如何由变换得的图象？典例解析方法一：先平移再伸缩③横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象y=sin(2x+)的图象①横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变②

向左平移函数y=sinx

y=sin2x的图象方法二：先伸缩再平移例题

如何由变换得的图象？典例解析1-１2-2oxy3-32

y=sin(2x+

)

y=sinx

y=sin2x

y=3sin(2x+

)

例题

如何由变换得的图象？典例解析方法二：先伸缩再平移巩固练习课本P239描点画图：描点画图：巩固练习课本P239描点画图：巩固练习课本P239描点画图：巩固练习课本P239（B）向左平行移动个单位长度（C）向右平行移动个单位长度（D）向左平行移动个单位长度（A）向右平行移动个单位长度C2(1).为了得到函数的图象，只要把

的图象上所有的点（）巩固练习课本P239（A）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变（C）纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的

倍，横坐标不变2.(2)为了得到函数的图象，只要把

的图象上所有的点（）B巩固练习课本P2392(3).为了得到函数的图象，只要把

图象上所有的点（）（A）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变（C）纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的

倍，