浙江省杭州市萧山区萧山区新街初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

第22周校内自主作业（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选：C．2.某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯10秒．当人或车随意经过路口时，遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．【详解】解：根据题意可得：遇到红灯的概率，故选：A．3.一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度（如图）．则截面圆中弦的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出的长，即可由垂径定理求得的长．【详解】解：由题意得：，，∴，在中，由勾股定理，得，∵，∴，故选：C．4.如果，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．根据比例的基本性质，可分别设出x和y，再代入进行计算即可得出结果．【详解】解：∵，∴设，，∴．故选：B．5.函数是关于的二次函数，则的值为（）A. B.或 C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．【详解】解：由题意得，解得：，故选：．6.晚自习时，小敏和小聪在讨论一道题目：“已知点O为△ABC外心，∠BOC＝126°，求∠A．”，小敏的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连结OB，OC，如图．由∠BOC＝2∠A＝126°，得∠A＝63°．而小聪说：“小敏考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）A.小敏求的结果不对，∠A应得54°B.小聪说的不对，∠4就得63°C.小聪说的对，且∠A的另一个值是117°D.两人都不对，∠A应有3个不同值【答案】C【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值与∠A互补，故＝180°﹣63°＝117°．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．7.如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（）A.3 B.4或3 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键．设，则，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长．【详解】设，则∵，∴又∵，∴，∴，即，∴解得，∴的长为4或3．故选：B．8.如图，在矩形中，，，点分别在和上，，为上一点，且满足．连接、，若，则的长为（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的性质，通过相似找出其他线段与的关系是解题的关键．设长为，借助于相似表示出的长，进一步表示出和的长，最后再利用便可解决问题．【详解】解：设的长为，，，，又，，．，，，则，又，是等腰直角三角形，则，，．又，．是等腰直角三角形，则，即，解得，即的长为3．故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知扇形面积为，半径为6，则扇形的弧长为________．【答案】【解析】【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．【详解】解：设扇形的弧长为，由扇形面积公式可得，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．10.已知二次函数，则其顶点关于轴对称的点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，再求出顶点关于轴对称的点的坐标即可．【详解】解：∵，∴二次函数的顶点是，则顶点关于轴对称的点的坐标为，故答案为：11.有两道门，各配有2把钥匙，这4把钥匙分别放在两个抽屉里，使每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，若从每个抽屉里任取1把钥匙，则能打开两道门的概率是______．【答案】【解析】【分析】设第一个门的钥匙为、，第二个门的钥匙为、，每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，则设一个抽屉里放、，另一个抽屉里放、，结合题意，做树状图并统计能打开门的结果数量，经计算即可得到答案．【详解】设第一个门的钥匙为、，第二个门的钥匙为、

每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，则设一个抽屉里放、，另一个抽屉里放、

画树状图为：

共有4种可能的结果数，其中从每个抽屉里任取1把钥匙，能打开两道门的组合为+、+，占4种组合中的2种；

∴从每个抽屉里任取1把钥匙，能打开两道门的概率故答案为：．【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图求概率的方法，从而完成求解．12.已知线段，点是它的黄金分割点，．求______，______．（保留根号）【答案】①.##②.##【解析】【分析】本题考查了黄金分割点的定义“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”，熟练掌握黄金分割点的定义是解题关键．根据黄金分割点的定义可求出，再根据线段和差即可得的长．【详解】解：∵线段，点是它的黄金分割点，，，解得，，故答案为：，．13.已知关于的二次函数，当函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了二次函数图象性质，解题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．先求对称轴，确定与关于对称轴对称，分两种情况：①当N在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，②当N在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，可得结论．详解】解：∵∴二次函数的对称轴为直线，∴与关于对称轴对称，当N在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，∵，∴，当N在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，∵，∴，综上，若，则的取值范围是或．故答案为：或．14.如图，在矩形中，，，为矩形内一动点，且．（）当为等边三角形时，______．（）的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，解直角三角形求出，即可求解；（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，解直角三角形求出，，进而求出，利用勾股定理求出，即可求出；本题考查了圆周角定理，矩形的性质，等边三角形的性质，三角函数，勾股定理，根据题意，准确找到点的位置是解题的关键．【详解】解：（）如图，在的垂直平分线上取点，使得，以点为圆心，为半径画圆，在圆上任取一点，均有，当为等边三角形时，圆与垂直平分线上在矩形内的交点即为点，过点作于，则，∴四边形为矩形，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（）连接，与圆交于点，此时，的值最小，过点作于，则，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本题8大题，共66分）15.如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的直角坐标系中：（1）画出绕点顺时针旋转后得到的．（2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度．【答案】（1）作图见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查了作旋转后的图形，勾股定理，计算弧长，掌握旋转的性质和弧长公式是解题的关键．（）根据旋转的性质作图即可；（）利用弧长公式计算即可求解；【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：由勾股定理可得，，∴弧的长度．16.（1）下列事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？我班体育委员跑步成绩为秒．（______事件）个等腰三角形一定相似．（______事件）（2）在一个盒子中放有三个分别写有数字、、的小球，大小和质地完全相同．小明从口袋里随机取出一个小球，记为数字，将球放回后小明再从个小球中随机取出一个小球，记为数字，求的值为的倍数的概率（要求列举法或画树状图说明）【答案】（）不可能事件；随机事件；（）【解析】【分析】（）根据事件发生的可能性大小判断即可；根据事件发生的可能性大小判断即可；（）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可；本题主要考查了事件发生的可能性大小和树状图或列表格求概率，根据题意正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念和画出树状图或列出表格是解题的关键．【详解】（）解：我班体育委员跑步成绩为秒，是不可能事件；个等腰三角形一定相似，是随机事件；故答案为：不可能；随机；（2）画树状图如下：共有种等可能的结果，其中的值为的倍数的结果有种，∴的值为的倍数的概率的概率为．17.如图所示，已知，．求的值．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点E，作，交于，证明，因为，得，因为，得，再证明，由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：过点E，作，交于∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．18.如图，的直径为，弦为的平分线交于点D．（1）求的度数；（2）求阴影部分的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理及扇形的面积，（2）中结合已知条件求得是解题的关键．（1）根据角平分线及圆周角定理即可求得答案；（2）连接，根据圆周角定理求得度数，再利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可．【小问1详解】∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴；【小问2详解】如图，连接，，，∴，∴，∴，∵，，，即阴影部分的面积为．19.新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．（1）如图，，是的等垂弦，，，垂足分别为，求证：四边形是方形；（2）如图，是的弦，作，，分别交于，两点，连接求证：，是的等垂弦．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；（2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可得结论．【小问1详解】证明：∵，是的等垂弦，，，∴，∴四边形是矩形，∵，是的等垂弦，∴，∵，，∴，∴矩形是正方形；【小问2详解】证明：设交于点，连接，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴、是的等垂弦．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角的性质，圆心角、弦的关系，正方形的判定，新定义等垂弦，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键．20.如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．（1）求证：；（2）若．求和的长．【答案】（1）见详解（2）FB=【解析】【分析】（1）根据正方形性质得出AD=BC，可证∠ABD=∠CGB，再证△BFE∽△GFB即可；（2）根据点E为AB中点，求出AE=BE=3，利用勾股定理求得BD=，CE=，然后证明△CDF∽△BEF，得出DF=2BF，CF=2EF，求出BF=,EF=即可．【小问1详解】证明：正方形内接于，∴AD=BC，∴，∴∠ABD=∠CGB，又∵∠EFB=∠BFG，∴△BFE∽△GFB，∴，即；【小问2详解】解：∵点E为AB中点，∴AE=BE=3，∵四边形ABCD为正方形，∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，∵，∴△CDF∽△EBF，∴，∴DF=2BF，CF=2EF，∴3BF=BD=，3EF=，∴BF=，EF=，由（1）得FG=．【点睛】本题考查圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质解题关键．21.已知关于的二次函数与一次函数，令．（1）若的图象交于轴上的同一点．①求的值；②当为何值时，的值最大，试求出该最大值．（2）当，时，有最小值为，求的值．（3）当时，时，试比较的大小．【答案】（1）①；②当时有最大值，（2）（3）当时，；当时，；当时，【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质和分类讨论是解题的关键．（1）①先求出与轴的交点为，把点的坐标代入二次函数解析式即可解得．②由得到，则，根据二次函数的图象和性质得到答案；（2）根据二次函数的性质得到在的范围内，随的增大而减小，则当时有最小值，即，即可解得；（3）根据二次函数解析式和性质得到对称轴为直线．与y轴交点的横坐标为则在范围内，随着的增大而减小，分三种情况进行分析即可得到答案．【小问1详解】①当时，则，∴与轴的交点为，把代入得，解得．②∵，∴，∵，∴当时有最大值，．【小问2详解】∵，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∴在的范围内，随的增大而减小，∴当时有最小值，即，解得．【小问3详解】∵的对称轴为直线，，∴对称轴为直线．当时，∴在范围内，随着的增大而减小，∴当时，