专题09 直线与圆的方程及解三角形（解析版）

专题09直线与圆的方程及解三角形题型一直线与圆的方程1．（2024•江苏一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点，，作它的外接圆的切线，分别和，，所在直线交于点，，，则，，三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线．在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，，，则该三角形的线的方程为A． B． C． D．【答案】【详解】设，，，则，，可得，所以．因此，的外接圆是以为直径的圆，圆心为的中点，半径．所以的外接圆方程为，求得直线，与过点的切线交于点，，直线，与过点的切线交于点，直线的方程为，即．故选：．2．（2024•姜堰区校级模拟）已知函数，则平面图形内的点满足条件：，且，则的面积为A． B．3 C． D．1【答案】【详解】根据题意，函数，若，则有，变形可得，设，则其对应的区域为圆的内部，若，则有，则有或，故区域为如图所示的阴影区域：其面积为；故选：．3．（2024•张家港市模拟）过点作直线交圆于点，，若，则点的横坐标是A． B． C． D．【答案】【详解】设，由，可得，所以①，又②，联立①②解得．故选：．4．（2024•苏州模拟）在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最大值为A．0 B．3 C． D．【答案】【详解】设，，，；则①，②；由，得，即，代入②得；此方程表示的圆心到直线的距离为；即，解得．实数的最大值为0．故选：．5．（2024•盐城一模）设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于，两点，其中在第二象限，则A． B． C． D．【答案】【详解】由题意得：圆的圆心为，半径为2，因为圆于轴切于点，所以，因为直线交圆于，两点，所以圆心到直线的距离，，的倾斜角为，，则．故选：．（多选）6．（2024•南通模拟）已知点在圆上，点，，则A．存在点，使得 B． C．存在点，使得 D．【答案】【详解】圆即，圆心，半径，又，所以，因为点在圆上，所以，所以存在点，使得，故对；因为，所以点在圆外，又，点在圆内，所以当与圆相切时，取最大值，此时，所以，故对；对于，设，若，，又点在圆上，一定成立，故对，错．故选：．（多选）7．（2024•连云港模拟）已知圆，圆，，分别是圆与圆上的动点，则A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，的取值范围为， D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则不可能等于【答案】【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径为，圆，其圆心为，半径为，圆心距，依次分析选项：对于，若圆与圆无公共点，则或，或，解可得或，错误；对于，若，则两圆公共弦的方程为，变形可得，正确；对于，当时，，两圆外离，则有，即，正确；对于，当时，若，四边形为正方形，则，又由，则，，而，存在满足，错误．故选：．8．（2024•扬州模拟）已知点是直线和，，的交点，点是圆上的动点，则的最大值是．【答案】【详解】因为直线，即，令，解得，可知直线过定点，同理可知：直线过定点，又因为，可知，所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，因为圆的圆心，半径，所以的最大值是．故答案为：．题型二解三角形1．（2024•扬州模拟）的内角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，则面积的最大值为A． B． C． D．【答案】【详解】的外接圆半径为，由正弦定理，可得，，代入已知等式得，即，，由此可得，结合，得．，（当且仅当时，取等号），面积为，当且仅当时，的面积的最大值为．故选：．2．（2024•泰州模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则A． B． C． D．【答案】【详解】由题意得，，所以，即，则，所以，所以．故选：．3．（2024•江苏模拟）在中，，，为的中点，，则．【答案】【详解】设，，则，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因为，所以，即，所以，①在中，由余弦定理，得，即，②由①②可得：，解得或（舍去），即．故答案为：．4．（2024•相城区校级一模）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点．若，则；若，则的值为．【答案】；【详解】设外接圆半径为，则，由正弦定理，可知，即，又由题意可知，，所以，所以；设，，，则，易知，由题意可得，所以，同理可得，所以．故答案为：；．5．（2024•连云港模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，，分别在边和上，且把的面积分成相等的两部分，则的最小值为．【答案】【详解】由题意，，，，由余弦定理，，，则有，解得，因此，又，则，因为，所以，所以，在中，，当且仅当时，等号成立．故答案为：．6．（2024•苏州模拟）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为．规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，．（道路宽度忽略不计）设，．当为时，绿化区域面积之和最大．【答案】【详解】区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为，区域Ⅱ的面积为，所以，设，则，，当且仅当，即时“”成立．所以，当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．故答案为：．7．（2024•鼓楼区校级模拟）已知在中，三边，，所对的角分别为，，，已知．（1）求；（2）若，外接圆的直径为4，求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，由正弦定理得，，因为，，所以，因为，所以，又，则，因为，所以；（2）由正弦定理，，则，由余弦定理，，解得或（舍去），故的面积．8．（2024•武进区校级一模）如图，在梯形中，，，．（1）若，求的长；（2）若，求．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，，，，由正弦定理得，则；（2）因为，所以，在中，，，由余弦定理得：，解得，所以．9．（2024•南通模拟）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（1）求和；（2）若点在边上，且，求．【答案】（1），；（2）2【详解】（1），，，在中，可得，，由正弦定理可得，即，，，，因为，所以；即，；（2）设，则，在中，由余弦定理可得，，，即，而，所以，整理可得，解得或2，当时，，所以，即．10．（2024•姜堰区校级模拟）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，点为的重心，且，求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1），由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又，．（2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点，又，．在中，由余弦定理，和，可得．在和中，有，，，由余弦定理可得，，的面积为．11．（2024•盐城一模）在中，．（1）求的大小；（2）延长至点，使得，若，求的大小．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，，，由题意可得，而，可得，，解得；（2）设，，则，由（1）得：，又，则在中，，在中，由正弦定理，即，①，在中，由正弦定理得：，即，②，故得：，所以，故，整理得．12．（2024•扬州模拟）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，是公差为1的等差数列．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使为钝角三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）6；（2）见解析【详解】（1）由，，是公差为1的等差数列，则，，又，由正弦定理得：，则，解得，，，故，所以为直角三角形，；（2）为钝角三角形，即，由，，是公差为1的等差数列，得，显然，，，不能构成三角形，当，，可构成三角形，此时．13．（2024•清江浦区模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）1或3【详解】（1），又，则；（2）由于，则，又的面积为，则，则，由余弦定理可得，，则，则，故，或，，综上，的值为1或3．14．（2024•苏州模拟）在中，角、、所对的边分别是、、，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，根据余弦定理及得，，又因为，，所以，在中，由正弦定理得得，，因为，所以，即得，又，所以；（2）在中，，所以．15．（2024•盐城模拟）在中，角，，所对的边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若点在边上，平分，，求长的最大值．【答案】（1）；（2）3【详解】（1）因为，由正弦定理得：，由，得，所以，即，因为，所以，又，所以．因为，所以；（2）由△，得，所以，在中