2024年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷（3月份）

第1页（共1页）2024年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）2023年10月23日，湖南某中学举办了“观书画之美，品文化之姿”书法优秀作品展览，据此，回答问题．下面哪个函数与该图片最相似？（）A．x2+y2＝2024 B．y＝﹣x2025 C．y＝x2023 D．y＝﹣x20242．（3分）如图，已知，在△ABC中，延长BC至点M，过点C作CN平分∠ACM，CN上取点E，使BD＝CE，DE，AE，分别交AD，AC，F，H，连接HC交DE于点K．若BG2﹣2•BG•DG﹣3DG2＝0，GF＝5，DE＝8（）A．1 B． C．3 D．集合论是现代数学的重要分支．萧文灿在《集合论初步》一书中写道：“吾人直观或思维之对象，如为相异而确定之物，其总括之全体即谓之集合，回答第3，4题．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素．只要构成两个集合的元素是一样的，记作A＝B．1．如果a是集合A中的元素，我们则读作a属于A，记作a∈A，读作a不属于A，记作a∉A．2．集合的表示方法：①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合；②描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征的P（x）（x）}．（注：R为实数集）；3．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素4．交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集3．（3分）对于集合{x∈R|a≤x≤b}，我们把b﹣a称为它的长度．设集合A＝{x∈R|a+43≤x+43≤a+2024}，B＝{x∈R|b+1010≤x+2024≤b+2024}，且A，B都是U＝{x∈R|12≤x+12≤2024}的子集，则A∩B的长度的最小值是（）A．2024 B．983 C．981 D．20234．（3分）对于集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素和最小元素分别为m，n，则4mn4﹣856的值为（）A．2024 B．2023 C．2022 D．20215．（3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上和的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，先给出如下四个结论：①；②阴影部分的面积是；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则k1+k2＝0，以上结论正确的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④6．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E是线段CD上一点，作点C关于BE的垂线交BE于点F，CF为半径的圆交BE于点P，M在AB上，则C△PMN的最小值为（）A． B． C． D．7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为（）A． B． C． D．8．（3分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这6匹马在比赛中的胜负可以用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）取得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，回答问题．如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？获胜的概率是多少？（）A．上： B．中： C．下： D．下：9．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于点A与点B（4，0）（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点（图中未标出），点D在y轴负半轴上，点Q为抛物线上一点，使得∠QBD＝90°，F分别为△BDQ的边DQ、DB上的动点，满足QE＝DF，△PCB的面积为S，若，则k的取值范围是（）A．13≤k＜17 B．13≤k≤17 C．13＜k＜17 D．不确定10．（3分）设S是xOy平面上的一个正n边形，中心在原点O处，顶点依次为P1，P2，…，Pn，有一个顶点在正y轴上．又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合，σ﹣1表示σ的反变换（即旋转角度大小和σ相同但方向相反），变换φ是将S作关于y轴的对称变换（即将（x，y）变为（﹣x，y）），以此类推，则有（）A．φσφ＝σ B．φσφ＝σ﹣1 C．φσ＝σφ D．φσφσ＝σσ二、填空题：本题共5小题，每题3分，共18分．11．（3分）分解因式：（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4＝．12．（3分）设x＞0，y＜1，则如下式子中u的最小值为．13．（3分）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，FPF，则t的取值范围是．14．（3分）在△ABC中AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点E在CA延长线上，且CD＝DE，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点．15．（6分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b经过点，点，与y轴交于点C．（1）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2，垂足为点E．点P是y轴负半轴上的一个动点，连接DP，△DEP的面积为S，则S关于t的函数解析式为．（不要求写出自变量t的取值范围）（2）如图2，在（1）的条件下，连接OA，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过P点所作的x轴的平行线相交于点N，PB，延长PB交AN于点M，连接RN，若3CP＝5GE，则直线RN的解析式为．三、解答题：本题共9小题，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．先化简，再求值：，其中．17．在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）报班数人数类别01234及以上合计“双减”前10248755124m“双减”后2551524n0m（1）根据表1，m的值为，的值为；分析处理（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据图表中的信息回答以下问题：①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为，“双减”后学生报班个数的众数为；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．18．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）19．正弦定理在高中数学中有很广泛的运用，据此，回答问题．（1）在△ABC中，顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：．（本题图未给出）（2）在等边三角形ABC中，D，E分别为边AC，BC上的点，过B作AD的垂线交AD于点F，设AD与BE交于点G，GE＝y，求△ACD的外接圆半径．（用x，y表示）20．有一个工程，甲完成需规定时间多5天，乙完成需规定时间的一半多两天多1天，丁完成需规定时间的多天，己恰好在规定时间完成，且甲，乙，戊，丁的工作效率之和．问：是否存在满足题意的规定时间（量纲：天）？如果有，如果没有，说明理由．21．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点22．设点H是△ABC的垂心，以AC为直径的圆与△ABH的外接圆交于点K，求证：CK平分BH．23．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ24．阅读材料，回答下列小题．阅读材料1：调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系的点列：调和点列．我们定义：若一直线上依次存在四点A，B，C，D，满足AB•CD＝BC•AD，则称A，B，C，PB，PC，则称PA，PB，PD为调和线束．（1）如图1，过圆Q外一点P作圆Q的切线PA，PB，设PD与A交于点E．①求证：P，C，E，D是调和点列．②求证：AC•BD＝BC•AD．阅读材料2：阿波罗尼斯圆：对于平面上的两定点A，B和平面上一动点P，若P到A和B的距离之比为定值，我们称该圆是点P关于AB的“阿氏圆”．（2）根据阅读材料1，2，回答①②小题．（本题图未给出）①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置．②若点P关于AB的“阿氏圆”交AB于C，D，求证：A，C，B，D为调和点列．（3）如图2，ABCD是平行四边形，G是三角形ABD的重心，Q在直线BD上，满足GP与PC垂直

2024年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）2023年10月23日，湖南某中学举办了“观书画之美，品文化之姿”书法优秀作品展览，据此，回答问题．下面哪个函数与该图片最相似？（）A．x2+y2＝2024 B．y＝﹣x2025 C．y＝x2023 D．y＝﹣x2024【解答】解：因为x2+y2＝2024中y的取值范围是：≤y≤，所以A选项不符合题意．因为当x＝1时，y＝﹣52025＝﹣1；当x＝2时，y＝﹣22025；当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2025＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2025＝22025，即（1，﹣1），2），﹣22025），（﹣2，32025）在此函数图象上，所以B选项不符合题意．当x＝1时，y＝12023＝2；当x＝2时，y＝22023；当x＝﹣8时，y＝（﹣1）2023＝﹣1；当x＝﹣3时，y＝（﹣2）2023＝﹣22023，即点（2，1），﹣1），62023），（﹣22023）在此函数图象上，所以C选项不符合题意．当x＝1时，y＝﹣32024＝﹣1；当x＝2时，y＝﹣62024；当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2024＝﹣2；当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2024＝﹣72024；即点（1，﹣1），﹣7），﹣22024），（﹣22024）在此函数图象上，所以D选项符合题意．故选：D．2．（3分）如图，已知，在△ABC中，延长BC至点M，过点C作CN平分∠ACM，CN上取点E，使BD＝CE，DE，AE，分别交AD，AC，F，H，连接HC交DE于点K．若BG2﹣2•BG•DG﹣3DG2＝0，GF＝5，DE＝8（）A．1 B． C．3 D．【解答】解：如图，∵AB∥CN，∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠MCN＝60°，∠BAC＝∠ACN，∵CN平分∠ACM，∴∠ACN＝∠MCN＝∠BAC＝60°∴∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠ABC＝∠ACN，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠1＝∠2，AD＝AE，∵∠5+∠5＝∠BAC＝60°，∴∠2+∠7＝60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°∵BH∥DE，∴∠6＝∠ADE＝60°，∠7＝∠AED＝60°∴△AGH是等边三角形，∴AG＝AH＝GH，∴DG＝HE，∵∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，∴△BDG≌△CEH（SAS），∴∠7＝∠CHE＝60°∴∠HKE＝∠CHE＝∠AED＝60°，∴△HEK是等边三角形，∴KE＝HE，∵BG2﹣2BG•DG﹣6DG2＝0，∴（BG﹣5DG）•（BG+DG）＝0，∴BG﹣3DG＝7，即BG＝3DG，∴，∵∠8+∠ACB+∠9＝∠2+∠3+∠10＝180°，∠9＝∠10，∠ACB＝∠7＝60°，∴∠3＝∠2，∵∠7＝∠4＝60°∴△BDG∽△AFH，∴＝，∴＝＝3，∴，设KE＝HE＝a，∵DE＝AE＝8，∴AH＝AE﹣HE＝8﹣a，∵GF＝3，∴GF+FH＝GH＝AH＝8﹣a，∴，∴a＝，即KE的长为，故选：B．集合论是现代数学的重要分支．萧文灿在《集合论初步》一书中写道：“吾人直观或思维之对象，如为相异而确定之物，其总括之全体即谓之集合，回答第3，4题．一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，用小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素．只要构成两个集合的元素是一样的，记作A＝B．1．如果a是集合A中的元素，我们则读作a属于A，记作a∈A，读作a不属于A，记作a∉A．2．集合的表示方法：①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合；②描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征的P（x）（x）}．（注：R为实数集）；3．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素4．交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集3．（3分）对于集合{x∈R|a≤x≤b}，我们把b﹣a称为它的长度．设集合A＝{x∈R|a+43≤x+43≤a+2024}，B＝{x∈R|b+1010≤x+2024≤b+2024}，且A，B都是U＝{x∈R|12≤x+12≤2024}的子集，则A∩B的长度的最小值是（）A．2024 B．983 C．981 D．2023【解答】解：∵a+43≤x+43≤a+2024，∴a≤x≤a+1981，∴A的长度为1981，∵b+1010≤x+2024≤b+2024，∴b﹣1014≤x≤b，∴B的长度为1014，∵12≤x+12≤2024，∴0≤x≤2012，∴U的长度为2012，∵1981+1014﹣2012＝983，∴A∩B的长度的最小值是983，故选：B．4．（3分）对于集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素和最小元素分别为m，n，则4mn4﹣856的值为（）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【解答】解：∵1≤a≤b≤2，∴a取最小值为1，b取最大值为2，∴最大值m＝+2＝5，∵+b≥+a≥2，即n＝2，∴4mn4﹣856＝4×5×（2）4﹣856＝2880﹣856＝2024．故选：A．5．（3分）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上和的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，先给出如下四个结论：①；②阴影部分的面积是；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则k1+k2＝0，以上结论正确的是（）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝|k4|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，∴，故①正确；∵S△AOM＝|k6|，S△CON＝|k4|，∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k2|+|k2|），而k1＞3，k2＜0，∴S阴影部分＝（k1﹣k5），故②错误；当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，∴不能判断△AOM≌△CNO，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；若四边形OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO（HL），∴AM＝CN，∴|k5|＝|k2|，∴k1＝﹣k8，∴k1+k2＝2，故④正确．故选：D．6．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E是线段CD上一点，作点C关于BE的垂线交BE于点F，CF为半径的圆交BE于点P，M在AB上，则C△PMN的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：作点P关于直线AB的对称P'，连接AP'，连接P′、P″、AC分别交于点M、N．由对称知识可知，PM＝P'M，△PMN周长＝PM+PN+MN＝P'M+P''N+MN＝P'P''，此时，△PMN周长最小＝P'P''由对称性可知，∠BAP'＝∠BAP，AP'＝AP＝AP''，∴∠BAP'+∠EAP''＝∠BAP+∠EAP＝∠BAC＝45°∠P'AP''＝45°+45°＝90°，∴△P'AP''为等腰直角三角形，∴△PMN周长最小值P'P''＝AP，当AP最短时．连接DF．∵CF⊥BE，且PF＝CF，∴∠PCF＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠PCF＝∠ACD，∠PCA＝∠FCD又，∴在△APC与△DFC中，∠PCA＝∠FCD∴△APC∽△DFC，∴，∴AP＝DF，∵∠BFC＝90°，取AB中点O．∴点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F，DF最短．DF＝DO﹣FO＝OD﹣BC＝﹣2，∴AP最小值为2DF，∴此时，△PMN周长最小值P'P＝×DF＝4．故选：A．7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为（）A． B． C． D．【解答】解：∴当x＝1时，y≤（）2＝3，∵y≥x，∴当x＝1时，y≥1，即6≤y≤1，∴x＝1时，y＝8；当x＝1时，y＝1，y＝5，即a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，解得：b＝，c＝，∵对任意实数x，恒有y≥x，∴ax2+（b﹣1）x+c≥8恒成立，即ax2﹣x+c≥0，∴Δ＝（﹣）2﹣4ac＝﹣4a（，即（a﹣）2≤0，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+，故选：B．8．（3分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这6匹马在比赛中的胜负可以用不等式表示如下A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）取得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，回答问题．如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？获胜的概率是多少？（）A．上： B．中： C．下： D．下：【解答】解：由题意知，田忌首局应出“下马”才能获胜，此时比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B2A2，C1B5），（A1C2，B6B2，C1A3），（A1C2，C3A2，B1B7），（A1C2，C2B2，B1A7），共4种，其中田忌获胜的为：（A1C7，B1A2，C3B2），（A1C3，C1B2，B4A2），共2种，∴田忌获胜的概率为＝．故选：C．9．（3分）如图，已知抛物线与x轴交于点A与点B（4，0）（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点（图中未标出），点D在y轴负半轴上，点Q为抛物线上一点，使得∠QBD＝90°，F分别为△BDQ的边DQ、DB上的动点，满足QE＝DF，△PCB的面积为S，若，则k的取值范围是（）A．13≤k＜17 B．13≤k≤17 C．13＜k＜17 D．不确定【解答】解：∵抛物线y＝﹣x3+bx+c经过点B（4，0），5），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2，如图2，作DH⊥DQ，连接FH，∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°，∴∠BQD＝∠HDF，∵QE＝DF，DH＝BQ，∴△BQE≌△HDF（SAS），∴BE＝FH，∴BE+QF＝FH+QF≥QH，∴Q，F，H共线时．作QG⊥AB于点G，∵OB＝OD，∠BOD＝90°，∴∠OBD＝45°，∵∠QBD＝90°，∴∠QBG＝45°，∴QG＝BG．设G（n，则Q（n，﹣n2+n+2），∴﹣n2+n+2＝8﹣n，解得n＝1或n＝4（舍去），∴Q（4，3），∴QG＝BG＝4﹣6＝3，∴BQ＝DH＝3，QD＝5，∴m＝QH＝＝7，如图3，作PT∥y轴，设直线BC的解析式为y＝ex+f，∵B（4，8），2），∴，解得，∴BC解析式为y＝﹣x+2，设T（a，﹣a+2），﹣a2+a+2），则S＝（﹣a8+a+5+3+4，∵点P在第一象限，∴0＜S≤2，∴0＜m2﹣k≤4，∴8＜17﹣k≤4，∴13≤k＜17．故选：A．10．（3分）设S是xOy平面上的一个正n边形，中心在原点O处，顶点依次为P1，P2，…，Pn，有一个顶点在正y轴上．又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合，σ﹣1表示σ的反变换（即旋转角度大小和σ相同但方向相反），变换φ是将S作关于y轴的对称变换（即将（x，y）变为（﹣x，y）），以此类推，则有（）A．φσφ＝σ B．φσφ＝σ﹣1 C．φσ＝σφ D．φσφσ＝σσ【解答】解：不失不一般性，把x轴、y轴对换，设正n边形外接圆半径为1，对于复平面上的任意一个复数，在σ作用下的像σ（z）＝z•ɛ（ɛ为n次复数单位根）．σ﹣1（z）＝＝z•，φ（z）＝，（φσφ）（z）＝（φσ）φ（z）＝（φσ）（）＝φ（＝z•﹣7（z）．故选：B．二、填空题：本题共5小题，每题3分，共18分．11．（3分）分解因式：（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4＝（2x+y）（x+4y）（2x2+9xy+12y2）．【解答】解：原式＝（x+3y）（x+y）（2x+5y）（2x+3y）﹣15y6＝[（x+3y）（2x+8y）][（x+y）（2x+7y）]﹣15y5＝（2x2+7xy+9y2）（4x2+9xy+2y2）﹣15y4＝（5x2+9xy）8+16y2（2x4+9xy）+63y4﹣15y7＝（2x2+6xy）2+16y2（6x2+9xy）+48y3＝（2x2+8xy+4y2）（6x2+9xy+12y6）＝（2x+y）（x+4y）（8x2+9xy+12y3）．故答案为：（2x+y）（x+4y）（5x2+9xy+12y6）．12．（3分）设x＞0，y＜1，则如下式子中u的最小值为．【解答】解：∵∴u＝，在平面直角坐标系的第一象限构造边长为5的正方形OABC，其中点A在x轴上，如图所示：∴点A（1，0），8），1），设点P在正方形OABC内部，其坐标为（x，则x＞0，连接PO，PB，将△POC绕点O逆时针旋转90°得到△PEF，则∠POE＝90°，PO＝EO，PC＝EF，∴∠POC+∠COE＝90°，∴∠EOF+∠COE＝90°，即∠COF＝90°，∴点F在x轴的负半轴上，且点F的坐标为（﹣8，∴AF＝OA+OF＝2，∵∠POE＝90°，OP＝OE，∴△POE为等腰直角三角形，由勾股定理得：PE＝＝PO，∵PO＝，PC＝，∴u＝PO+PC+PB，即u＝PE+PC+PB，根据“两点之间线段最短”得：PE+PC+PB≥BF，∴当B，P，E，F在同一条直线上时，最小值为BF的长，∴u的最小值为线段BF的长，∴点B（3，1），∴AB＝1，在Rt△ABF中，AB＝8，∴BF＝＝，∴u的最小值为：．13．（3分）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，FPF，则t的取值范围是2≤t≤4+2．【解答】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，延长NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝5，∴CN＝DN＝2+5，如图1，延长EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，PQ＝，∴t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+2；如图5，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，t有最小值，同理可得t＝PE+PF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝2，故t的取值范围是2≤t≤5+2，故答案为：6≤t≤4+5．14．（3分）在△ABC中AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点E在CA延长线上，且CD＝DE，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点．【解答】解：由题意画出图形如下：连接BE，∵⊙B过点A，且AB＝7，∴⊙B的半径为7，∵⊙E过点D，它的半径为r，∴CE＝CD+DE＝7r，∵BC＝3，∠C＝90°，∴BE＝，AC＝，∵D在边AC上，点E在CA延长线上，∴，即，∴，∵⊙B与⊙E有公共点，∴AB﹣DE≤BE≤AB+DE，即，不等式①可化为3r2﹣14r﹣40≤4，解方程3r2﹣14r﹣40＝4得：r＝﹣2或r＝，画出函数y＝7r2﹣14r﹣40的大致图象如下：由函数图象可知，当y≤0时，即不等式①的解集为﹣2≤r≤，同理可得：不等式②的解集为r≥6或r≤﹣，则不等式组的解集为2≤r≤，又∵，半径r的取值范围是，故答案为：．15．（6分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b经过点，点，与y轴交于点C．（1）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2，垂足为点E．点P是y轴负半轴上的一个动点，连接DP，△DEP的面积为S，则S关于t的函数解析式为S＝﹣t+．（不要求写出自变量t的取值范围）（2）如图2，在（1）的条件下，连接OA，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过P点所作的x轴的平行线相交于点N，PB，延长PB交AN于点M，连接RN，若3CP＝5GE，则直线RN的解析式为y＝﹣．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+b经过点，点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝，∵抛物线上点D的横坐标为﹣7，∴D（﹣2，），∵DE⊥y轴，∴E（0，），∵点P的纵坐标为t，∴PE＝﹣t，∴S＝＝＝﹣t+．故答案为：S＝﹣t+；（2）如下图2，作CK⊥CN，过点K作KT⊥y轴，∵抛物线的解析式为：y＝，∴C（0，﹣），即OC＝，∵FH⊥y轴，DE⊥y轴，∴∠FHG＝∠DEG＝90°，∵点G为DF的中点，∴DG＝FG，在△FHG和△DEG中，，∴△FHG≌△DEG（AAS），∴HF＝ED＝2，HG＝EG＝，设直线OA的解析式为y＝kx，将点A坐标代入得：k＝，∴直线OA的解析式为y＝，当x＝2时，y＝，∴F（2，），H（5，），∴HE＝＝，∴GE＝＝，∵3CP＝2GE，∴CP＝＝＝，∴P（0，﹣5），∵AN∥y轴，PN∥x轴，∴N（，﹣7），∴PN＝，∵E（6，），∴EP＝＝，设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的解析式为y＝，当x＝时，y＝，∴M（，），∴MN＝，∵，，∴，∵∠PNM＝∠DEP＝90°，∴△PMN∽△DPE，∴∠PMN＝∠DPE，∵∠DPE+∠PDE＝90°，∴∠PMN+∠PDE＝90°，∵∠PMN+∠PDE＝3∠CNR，∴∠CNR＝45°，∵CK⊥CN，∴∠NCK＝90°，∴△CNK是等腰直角三角形，∴CK＝CN，∵∠CTK＝∠NCK＝90°，∴∠KCT+∠CKT＝90°，∵∠NCP+∠KCT＝90°，∴∠CKT＝∠NCP，在△CKT和△NCP中，，∴△CKT≌△NCP（AAS），∴CT＝PN＝，KT＝CP＝，∴OT＝CT﹣OC＝2，∴K（，2），设直线RN的解析式为y＝ex+f，将K（，N（，解得，∴直线RN的解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．三、解答题：本题共9小题，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．先化简，再求值：，其中．【解答】解：∵a＝，∴2a＝3﹣，∴（2a﹣3）7＝5，∴a2﹣3a+1＝0，∴a5＝3a﹣1，a2+1＝3a，∴＝＝2a3﹣4a2﹣＝4a（3a﹣1）﹣4（3a﹣1）﹣＝2a2﹣2a﹣15a+5﹣a＝6a2﹣18a+4＝6（3a﹣7）﹣18a+5＝﹣6+6＝﹣1，∴＝＝＝＝＝＝＝，∴原式＝﹣2+（﹣）＝﹣．17．在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）报班数人数类别01234及以上合计“双减”前10248755124m“双减”后2551524n0m（1）根据表1，m的值为300，的值为0.02；分析处理（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据图表中的信息回答以下问题：①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为1，“双减”后学生报班个数的众数为0；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，n＝m﹣（255+15+24）＝6，∴＝＝2.02，故答案为：300；0.02；（2）汇总表1和图4可得：01234及以上总数“双减”前172821188246500“双减”后4232440124500×100%＝2.4%，答：“双减”后报班数为2的学生人数所占的百分比为2.4%；（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，∴“双减”前学生报班个数的中位数为3，“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，∴“双减”后学生报班个数的众数为0，故答案为：7；0；②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少．18．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝4.6，∴AG＝DG+AD＝6.3+1.6＝8.8，Rt△APG中，sinA＝，∴＝0.96，∴PG＝7.2×0.96＝7.488≈4.5．答：雕塑的高为7.4m．19．正弦定理在高中数学中有很广泛的运用，据此，回答问题．（1）在△ABC中，顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：．（本题图未给出）（2）在等边三角形ABC中，D，E分别为边AC，BC上的点，过B作AD的垂线交AD于点F，设AD与BE交于点G，GE＝y，求△ACD的外接圆半径．（用x，y表示）【解答】（1）证明：如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接BD，∵∠ABD＝90°，∠D＝∠C，∴＝sinD＝sinC，∴＝2R；同理＝8R，，∴＝＝＝2R．（2）解：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD，∠ABE＝∠CAD，∴∠BGD＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，∵BF⊥AD于点F，GF＝x，∴∠BFG＝90°，∴∠FBG＝90°﹣∠BGD＝30°，∴BG＝5GF＝2x，∴BE＝AD＝2x+y，设△ACD的外接圆的半径为r，则＝3r，∴＝2r，∴＝3r，∴r＝，∴△ACD的外接圆半径为．20．有一个工程，甲完成需规定时间多5天，乙完成需规定时间的一半多两天多1天，丁完成需规定时间的多天，己恰好在规定时间完成，且甲，乙，戊，丁的工作效率之和．问：是否存在满足题意的规定时间（量纲：天）？如果有，如果没有，说明理由．【解答】解：不存在满足题意的规定时间，理由如下：假设存在满足题意的规定时间，设规定时间是x天，乙的工作效率是，丁的工作效率是，己的工作效率是，根据题意得：+++＝+，整理得：+++＝+，∴+＝，∴+＝，∵2x+5＞4，∴+＝，设x6+5x＝m，则+＝，解得：m＝﹣，经检验，m＝﹣，∴x4+5x＝﹣，解得x＝或x＝﹣，∵规定时间不能为负数，∴x＝与x＝﹣，∴不存在满足题意的规定时间．21．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax5+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（6﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．22．设点H是△ABC的垂心，以AC为直径的圆与△ABH的外接圆交于点K，求证：CK平分BH．【解答】证明：延长AH交BC于点D，连接CH并延长交AB于H，连接AK，BK∵点H为△ABC垂心，∴AD⊥BC，CF⊥AB，∵AC为直径，∴点D，F均在以AC为直径的圆上，∵点A，F，K，D，C在以AC为直径的圆上，∴∠DCK＝∠KAH，∠FAK＝∠FCK，∵点K，H，A，B在△ABH的外接圆上，∴∠KAH＝∠KBH，∠FAK＝∠BHK，∴∠DCK＝∠KBH，∠FCK＝∠BHK，即∠BCE＝∠KBE，∠HCE＝∠EHK，又∵∠BEC＝∠KEB，∠CEH＝∠HEK，∴△BEC∽△KEB，△CEH∽△HEK，∴BE：EK＝CE：BE，EH：EK＝CE：EH，∴BE2＝EK•CE，EH2＝EK•CE，∴BE4＝EH2，∴BE＝EH，即CK平分BH．23．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ【解答】解：（1）把A（10，0），6）代入y＝ax2+bx，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴C（5，0），﹣4），∵A（10，5），∴OA＝10，OC＝2，∴AC＝8，由题意P（t，4t﹣4），∴S＝•PT•AC＝．（3）如图4中，过点P作PT⊥CG于T，过点F作FJ⊥MH交MH的延长