2020高考文数考前回扣3环节

考前回扣3环节

1.集合与常用逻辑用语

必记知识

1.集合的性质

(1)AnBNA,AnBGB;AGAUB,BGAUB;AUA=A,AU0=A,AUB=BUA;AnA=A,A

no=0,AnB=BnA.

(2)若ACB,则AnB=A;反之，若AnB=A,则AGB.

若AcB,则AUB=B;反之，若AUB=B,则AUB.

(3)AnCuA=0,AUCUA=U,EU(CUA)=A.

2.四种命题的相互关系

3.全称命题与特称命题

全称命题p:Vx©M,p(x)的否定为特称命题p:3x0£M,p(x0);

特称命题p3xoGM,p(xo)的否定为全称命题p:Vx©M,p(x).

必会结论

L集合之间关系的判断方法

(1)A£BQAGB且AWB,类比于a<b=aWb且aWb.

(2)AGBoA麋B或A=B,类比于aWb=a<b或a=b.

(3)A=B=AGB且A?B,类比于a=boaWb且a》b.

2.充分条件与必要条件的重要结论

(1)如果p台q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.

(2)如果p=q,但q=/p,那么p是q的充分不必要条件.

(3)如果p=q,且q=p,那么p是q的充要条件.

(4)如果q=p,但p=/q,那么p是q的必要不充分条件.

(5)如果p=/q,且qn/p,那么p是q的既不充分也不必要条件.

3.利用等价命题判断充要条件问题

如p是q的充分条件,即命题“若p,则q"为真命题，等价命题是“若q,则p"为真命

题，即q是p的充分条件.

必纠易错

1.遇到AAB=。时,你是否注意到“极端”情况:A=0或B=0同样在应用条件

AUB=BQAnB=A=AGB时，不要忽略A=0的情况.

2.“否命题”是对原命题“若p,贝Uq”既否定其条件，又否定其结论;而“命题p的否

定”，即非P，只是否定命题p的结论.

3.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而

“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.

2.函数与导数

必记知识

1.函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x(定义域关于原点对

称)，都有f(-x)=-f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)=f(|x|)成立，则f(x)为偶函数).

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地，对于函数f(x),如果对于定义域内的

任意一个x的值，都有f(x+T)=f(x)(TWO),那么f(x)是周期函数,T是它的一个周期.

2.指数与对数式的运算公式

am-an=am+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm(a,b>0).

M

loga(MN)=logaM+logaN;loga-=logaM-logaN;

nloN

logaM=nlogaM;a^=N;logaN=^|^(a>0且aWl,b>0且b¥l,M>0,N>0).

3.指数函数与对数函数的对比区分表

解析

x

y=a(a>0J=LaW1)y=logax(a>0且aW1)

式

图象

定义

(0,+oo)

域

值域(0,+«)R

0<a<l时，在R上

单调

是减函数;a>l时，0<a<l时，在(0,+s)上是减函数;a>l时，在(0,+⑹上是增函数

性

在R上是增函数

4.方程的根与函数的零点

(1)方程的根与函数零点的关系

由函数零点的定义，可知函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)

的图象与x轴的交点的横坐标，所以，方程f(x)=0有实数根Q函数y=f(x)的图象与x轴有交点

=函数y=f(x)有零点.

(2)函数零点的存在性

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)•f(b)<0,那么函数

f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c©(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的实

数根.

5.导数公式及运算法则

(1)基本导数公式

c'=0(c为常数)；

(xm)'=mxml(m£Q);

(sinx)-cosx;(cosx)--sinx;

(ax)f=axlna(a>0且三e*;

11

(logx)'=—(a>01.a^l);(lnx)'=-.

akllCL

(2)导数的四则运算

uUv-uv

b/oz).m

6.导数与极值、最值

⑴函数f(x)在x=x0处的导数f'(xo)=O且f'(X)在X=Xo附近"左正右负"Qf(x)在X=Xo

处取得极大值;函数f(x)在X=Xo处的导数f(Xo)=O且f，(x)在X=Xo附近"左负右正"0f(x)

在X=Xo处取得极小值.

(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大

值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小

值”.

必会结论

1.函数单调性和奇偶性的重要结论

⑴当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)为增(减)函数.

(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的

单调性.

(3)f(x)为奇函数Qf(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数Qf(x)的图象关于y轴对称.

(4)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)是偶函数,奇函数的和、差是奇函数，积、商(分

母不为零)是偶函数，奇函数与偶函数的积、商(分母不为零)是奇函数.

(5)定义在(-00,+oo)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)=0.存在既是奇函数，又是偶函数

的函数f(x)=0.

(6)f(x)+f(-x)=0Qf(x)为奇函数；

f(x)-f(-x)=0of(x)为偶函数.

2.函数的周期性的重要结论

周期函数y=f(x)满足：

(1)若f(x+a)=f(x-a)厕函数的周期为21al.

(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|.

(3)若f(x+a)=-4,则函数的周期为2|a|.

f(x)

3.函数图象对称变换的相关结论

(l)y=f(x)的图象关于y轴对称的图象是函数y=f(-x)的图象.

(2)y=f(x)的图象关于x轴对称的图象是函数y=-f(x)的图象.

(3)y=f(x)的图象关于原点对称的图象是函数y=-f(-x)的图象.

(4)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f"(x)的图象.

(5)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.

(6)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.

4.函数图象平移变换的相关结论

(1)把y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移,c<0时向右平

移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数).

(2)把y=f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移,b<0时向下平

移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数).

5.函数图象伸缩变换的相关结论

(1)把y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>l)或缩短(0<a<l)到原来的a倍，而横坐标不变,

得到函数y=af(x)(a>0)的图象.

(2)把y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<l)或缩短(b>l)到原来的看而纵坐标不变，得

至U函数y=f(bx)(b>0)的图象.

6.可导函数与极值点之间的三种关系

(1)定义域D上的可导函数f(x)在x=x0处取得极值的充要条件是f(xo)=O,并且f(x)在

X=Xo两侧异号，若“左负右正”，则X=Xo为极小值点，若“左正右负"，则x=xo为极大值点.

(2)函数f(x)在x=x()处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y=|x|,结合图象

知它在x=0处有极小值,但它在x=0处的导数不存在.

(3)f'(xo)=O是函数f(x)在x=x()处取得极值的既不充分也不必要条件，要注意对极值点进

行检验.

7.抽象函数的性质与特殊函数模型的对照表

抽象函数的性质特殊函数模型

①f(x)f(y)=f(x+y)(x,yGR),

②需=f(x-y)(x,yeR,指数函数f(x)=aX(a>O,a21)

f(y)WO)

①对数函数f(x)=logaX(a>0,aWl)

f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),

②f6)=f(x)-f(y)(x>0,y>0)

①f(xy)=f(x)f(y)(x,yeR),

②f6)=得(x，y©R，ywo,募函数f(x)=xn

f(y)wo)

f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)三角函数f(x)=sinx,g(x)=cosx

必纠易错

1.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，可用“和”连

接或用隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.

2.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但

必须注意使定义域不受影响.

3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是

一个函数，而不是几个函数.

4.不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(xo,f(x。))既在切线上，又在函数图象上，

而导致某些求导数的问题不能正确解出.

5.易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f停)=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值的充

要条件.

3.不等式

必记知识

L不等式的性质

(l)a>b,b>c=>a>c.

(2)a>b,c>0=>ac>bc;a〉b,c<0=ac<bc.

(3)a>b=>a+c>b+c.

(4)a>b,c>d=>a+c>b+d.

(5)a>b>0,c>d>0=>ac>bd.

(6)a>b>0,nGN,n>1an>bn,\[a>\[b.

2.简单分式不等式的解法

⑴缁〉0=f(x)g(x)>0,缁<0=f(x)g(x)<0.

(2户三0=")。(%)?0,

⑷决)(9(%)丰0,

华-仇

g(x)lg(%)丰0.

(3)对于形如好>a(Na)的分式不等式要采取:移项一通分一化乘积的方法转化为(1)或(2)

。(为

的形式求解.

3.利用基本不等式求最值

⑴对于正数x,y,若积xy是定值p,则当x=y时，和x+y有最小值2后

(2)对于正数x,y,若和x+y是定值s,则当x=y时，积xy有最大值少

必会结论

L一元二次不等式的恒成立问题

a>0,

4<0.

a<0,

4<0.

2.基本不等式的变形

⑴根式形式:a+bN2V^F(a>0,b>0),当且仅当a=b时，等号成立.

(2)整式形

2222

式:abW(等)(a,b©R),a2+b2^2ab(a,b©R),(a+b)2^4ab(a,beR),^)W巴受(a,b©R),以上

不等式当且仅当a=b时，等号成立.

(3)分式形式★梦2(ab>0),当且仅当a=b时，等号成立.

(4)倒数形式:a+$2(a>0),当且仅当a=l时，等号成立;a+X-2(a<0),当且仅当a=-l时，等号

aa

成立.

3.线性规划中的两个重要结论

⑴点M(xo,yo)在直线l:Ax+By+C=0(B>0)上方(或下方)=Axo+Byo+C>O(或<0).

(2)点A(xi,yD,B(X2,y2)在直线l:Ax+By+C=O同侧(或异

侧)=(Axi+Byi+C)(Ax2+By2+C)>0(或<0).

必纠易错

1.不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数,不讨论这个数的正负，从而出错.

2.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解,如求函

数f(x)=V^T^+五施的最值，就不能利用基本不等式求解;求解函数y=x+：(x<0)的最值时应

先转化为正数再求解.

3.解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y的系数的正负;注意最优整数

解.

4.三角函数

必记知识

L同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sida+cos2a=1.

(2)商的关系:tanWkn+1,keZ).

2.三角函数的诱导公式

公式―*二三四五六

2k7i+a71

角兀+a-a兀-a—a-+a

22

(kez)

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

函数名改

口诀函数名不变，符号看象限变,符号看

象限

3.三种三角函数的性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

y

图象:人.

11J\.

寺OS%

；2

在在

[--+2kjr,-+2k[-兀+2k7i,2k

22

兀〕(k£Z)上

兀」(k£Z)上单

单调单调递增；

调递增;在在(/+k7i*+k7i)(keZ)上单调递增

性在

L-+2kji,—+2k

22[2kji,兀+2k兀

兀］(k@Z)上单](kGZ)上

调递减单调递减

对称中

对称中

心：C+k兀,0

心:(k兀,0)(k£Z2

对称);对称

)(k《Z);对对称中心:(场,0)(kGZ)

性

轴:x=1+k兀(k称

轴:x=k7i(k

GZ)

GZ)

4.三角函数的两种常见变换

向左(「>0)或向右

(l)y=sinx平移㈤个单位y=sin(x+(p)

横坐标变为原来的。

纵坐标不变y=sin®x+(p)

纵坐标变为原来的A倍,

横坐标不变y=Asin(cox+(p)(A>0,(o>0).

横坐标变为原来的」

3

(2)y=sinx纵坐标不变y=sincox

向左(平〉。或向右(中<0)

平移里个单位./工、

gy=sm(cox+(p)

纵坐标变为原来的A倍

横坐标不变y=Asin(cox+(p)(A>0,(o>0).

5.三角恒等变换的主要公式

sin(a±P)=sinacos。±cosasinP;

cos(a±P)=cosacosP+sinasin0;

/,c、tana+tan/?

tan(a±B)=-----=~《；

r/1tanatan/?

sin2a=2sinacosa;cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a;tan2a=^.

6.正弦定理与余弦定理的变形

(1)正弦定理的变形

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

②sinA=—,sinB=—,sinC=—.

2R'2R'2R

③a:b:c=sinA：sinB：sinC.

注:R是三角形外接圆的半径.

(2)余弦定理的变形

八2_|_「22c2j_「22222

nh厂a+b-c

①FTCOSFRQOSc=---------

cosA=-,B-2ab

②b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.

必会结论

1.三角恒等变换的常用技巧

⑴常值代换①“1”的代换，如l=sin2e+cos2e,l=2sinU=2cosE=&sin：l=tanU.②特殊三角

6344

函数值的代换.

(2)角的变换:涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系时，常见的拆角、凑角技

巧有2a=(a+p)+(a-p),a=(a+p)-p=(a-p)+p,p=^-^=(a+2p)-(a+p),^+a=^-Q-a^.

2.三角形中的常见结论

(1)有关角的结论

A+B+C=&A+C=2BnB三;AF-(B+C)=>|=p-^|^-,sinA=sin(B+C),cos

A/-r\•4B+CA.B+C

A=-cos(B+C),sm-=cos-^—,cos-=sm-^—.

(2)有关边的结论

在等腰三角形(腰为a,底边为c)中,若顶角为a则a：c=l：1;若顶角为*则a：c=l：V2;

若顶角为竽则a：c=l：V3.

(3)有关边角关系的结论

b2+c2-a2=bc=>A=-;b2+c2-a2=V3bc=>A=-;

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b2+c2+bc=a2=>A=^;b2+c2+V2bc=a2=>A=亨.

必纠易错

1.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.

2.求y=Asin®x+(p)的单调区间时，要注意3,A的符号,3<0时,应先利用诱导公式将x的系

数转化为正数再求解;在书写单调区间时,不能弧度和角度混用，需加2k7r时，不要忘掉kez,

所求区间一般为闭区间.

3.对三角函数的给值求角问题,应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值

才可以唯一确定角,若角的范围是(03),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,兀),选余弦较好;若角

的范围是选正弦较好.

4.利用正弦定理解三角形时，注意解的个数的讨论,可能有一解、两解或无解，在AABC

中,A>BosinA>sinB.

5.平面向量

必记知识

1.平面向量共线的坐标表示的两种形式

(1)若a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a〃boxiy2=X2yi,此形式对任意向量a,b(bW0)都适用.

(2)若a=(xi,yi),b=(x2,y2),且X2y2#0,则a//b<^—=—.

x272

需要注意的是可以利用包=也来判定a〃b,但是反过来不一定成立.

犯y-z

2.平面向量的数量积

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),0为向量a,b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=Vci*CL|a|=7^i+

数量积a•b=|a||b|cos0a•b=xiX2+yiy2

八a-ba-^1^2+7172

夹角cos0=-——-WOV

回网^i+7i・、xl+yl

a_Lb的

a•b=0xix2+yiy2=0

充要条件

la•b|la•b|<|a||b|%

|xix2+yiy2|^7i+7i*

与|a||b|(当且仅当a〃b

J

好+贤

的关系时等号成立)

3.两向量的夹角与数量积

设两个非零向量a与b的夹角为0,则

当8=0°时,cos0=1,a,b=|a||b|;

当0为锐角时,cos0>O,a,b>0;

当0为直角时,cos9=0,a,b=0;

当0为钝角时,cos0<O,a,b<0;

当0=180。时,cos0=-l,a•b=-|a||b|.

必会结论

L三点共线的判定

A,B,C三点共线0南,就共线；

向量或，丽，丽中三终点A,B,C共线Q存在实数使得方=a而+0而，且a+°=l.

2.三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为4ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则

(1)0为4ABC的外心=|。彳|=|演|=|了|=就.

(2)0为AABC的重心Q雨+丽+诧=0.

(3)0为4ABC的垂心Q函•0B=0B•~OC=OC•OA.

(4)0为4ABC的内心=aa+b*标=0.

必纠易错

1.当a•b=0时，不一定得到a_Lb,当a±b时,a•b=O;a•b=c•b,不能得到a=c,消去律不成

立;(a•b)•c与a•(b•c)不一定相等;(a•b)•c与c平行，而a•(b•c)与a平行.

2.两向量夹角的范围是［0,扪,向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价.

6.数列

必记知识

L等差数列、等比数列

等差数列等比数列

通项公

a=aiqnl(q^0)

an=ai+(n-l)dn

式

_n(a!+an)

前n项l2⑴吐10=嗤"举；

和n(n-l)i

二呵+'d(2)q=l,Sn=nai

2.等差、等比数列的判断方法

(1)等差数列的判断方法

①定义法:an+「an=d(d为常数,nGN*)=｛an｝是等差数列.

②通项公式法:an=ai+(n-l)d(其中ai,d为常数,n@N*)o｛an｝为等差数列.

③等差中项法:2an+i=an+an+2(nGN*)»｛an｝是等差数列.

④前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,ndN*)=｛an｝是等差数列.

⑵等比数列的判断方法

①定义法:皿=q(q为常数且qW0,nGN*)或2=q(q为常数且qW0,n22)o｛an｝为等比数

。九an，i

②等比中项法属+i=an•an+2(anW0,n£N*)=｛an｝为等比数列.

11

③通项公式法:aFaiq」(其中abq为非零常数,n6N*)=｛an｝为等比数列.

必会结论

L等差数列的重要结论

设Sn为等差数列｛即｝的前n项和，则

(l)an=ai+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n=>ap+aq=am+an.

(2当=q,aq二p(pWq)=ap+q=O;Sm+n=Sm+Sn+mnd.

(3)Sk,S2k-Sk,S3kSk,…构成的数列是等差数列.

(4)河n+(*)是关于n的一次函数或常数函数，数列｛｝｝也是等差数列.

n(ai+an)n(a2+anl)n(a3+an2)

(5)Sn=^^=---=--—

(6)若等差数列｛aj的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为

S解则所有项之和S=rn(a+ai),S假-S

2mmm+奇

3CLm

(7)若等差数列｛a"的项数为奇数2m-l,所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S制贝U

所有项之和S2m-i=(2m-l)am,S奇-S

S偶m-l

2.等比数列的重要结论

nlnm

(l)an=aiq=amq,p+q=rn+n=>ap•aq=am•an.

(2)｛an｝,｛bn｝成等比数列今｛anbn｝成等比数列.

(3)连续m项的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比数歹U(注意:这连续H1项的和必须

非零才能成立).

(4)若等比数列有2n项,公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶，则"=q.

s奇

(5)等比数列前n项和有:①Sm+产Sm+qmSn；

②如詈(qai).

必纠易错

1.已知数列的前n项和求a。,易忽视n=l的情形，直接用S『Sn-i表示.事实上，当n=l

时,a〕=Si；当n22时,an=Sn-Sni

2.易忽视等比数列中公比qW0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造

成增解.

3.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定要分q=l和qWl两种情况进行

讨论.

4.对于通项公式中含有(-1r的一类数歹U,在求Sn时,切莫忘记讨论n的奇偶性;遇到已知

an+1-an=d或g=q(nN2),求区｝的通项公式时，要注意分n的奇偶性进行讨论.

an

5.求等差数列｛a"的前n项和Sn的最值时,易混淆取得最大或最小值的条件.

6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.

7.立体几何

必记知识

1.空间几何体的侧面积、表面积和体积

几何

侧面积表面积体积

体

V=s底h

圆柱S恻=2兀1"1S表=27ir(r+l)

=7tr2h

V=js底h

圆锥S恻=7irlS表=Jir(r+l)

=\r2h

3

S®（=7r（r+r'）lV=i(S1-+S卜飞Is上S下)h

S表=兀(产+产+

圆台（r『分别为上、

rl+r'l)=17i(r2+r'2+rr')h

下底面半径）

直棱

stt=Ch（C为底面周长）V=S底h

柱

-1

S=|Ch'（C为底面周长,H

正棱ffl1

Sg=S恻+S上+S下v=-s底h

锥为斜高）

（棱锥的S上=0）

卜上s下）h

sw=j（C+C）•h'（C,C'分V=|(sr+S卜+J

正棱

台别为上、下底面周长,H

为斜高）

球S=4兀2RV=MR3

3

2.空间线面位置关系的证明方法

a\\a、aII/?

a||

⑴线线平行:au§=a〃b,：a1=a〃b,any=a=a〃b；

o1aJ°CRa||

aOS-b.0ny=b)

5ua)a1S'

aIIB

(2)线面平行:Q0a=a〃a,

auB0alia,a10

a\\b.atCL.

a〃a.

aua,bua'

aLa,,aII

(3)面面平行:aflb=0//o=a〃BD，y||a//y.

a||p,b||B,

（4）线线垂直:

aua,buaa1'

，11，。11b

(5)线面垂直:aflb=0=>l_La,anp=I=aUa"baUnb_La.

a1aJala

I1a,l1baua,a1L

（6）面面垂直,*aU，却

必会结论

L把握两个规则

（1）三视图排列规则

俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图一样;侧（左）视图放在正（主）视图的右侧,

高度和正（主）视图一样，宽度与俯视图一样.画三视图的基本要求:正（主）俯一样长，俯侧（左）一

样宽,正住）侧（左）一样高.

（2）画直观图的规则

画直观图时,与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行

的线段长度为原来的一半.

2.球的组合体

（1）球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线.

（2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直

径是正方体的面对角线，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线.

（3）球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为

正四面体高fa的£）,外接球的半径为中a（正四面体高等的》

3.空间中平行（垂直）的转化关系

面面平行的判定

面面垂直的性质

必纠易错

1.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮

廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正（主）

视图和俯视图为主.

2.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理

中的条件,导致判断出错.如由a，|3,anB=l,m，l,易误得出m±p的结论，就是因为忽视面面垂

直的性质定理中mua的限制条件.

3.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形,弄清楚变与不

变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位

置与数量关系.

8.解析几何

必记知识

L两条直线的位置关系

斜截式一般式

直线方y=kix+bi,Aix+Biy+Ci=O,

程y=k2x+b2A2x+B2y+C2=0

相交

ki^k2A1B2-A2B1WO

垂直kik2=-lAiA2+B1B2-0

A1B2-A2B1=0,

k尸k2且B1C2-B2cl¥=0

平行

CAB-AB=0,

biWbz1221

或[ARZ-A2clw0

ki=k2且A1B2-A2B1

重合

bi=b2=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=O

2.圆的四种方程

(1)圆的标准方程万-a)2+(y-b)2=r2(r>0).

(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

⑶圆的参数方程：］；：£需'(。为参数)•

(4)圆的直径式方程:(x-xi)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=O(A(xi,y0,B(X2,y2)是圆的直径的两端点).

3.直线与圆的位置关系

直线l:Ax+By+C=O和圆C:(x-a『+(y-b尸=/任>0)有相交、相离、相切三种情况.可从代数

和几何两个方面来判断：

⑴代数法(即判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况):△>()=相交;△<)=相

离;A=OQ相切.

(2)几何法(即比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则d<r0

相交;d>r=相离;d=rQ相切.

4.椭圆的标准方程及几何性质

2X2

标准方程^=l(a>b>0)y^=l(a>b>0)

7

图形

续表

标准方程1+g=l(a>b>0)g+g=l(a>b>0)

几-aWxWa,-bWxWb,

范围

何-bWyWb-aWyWa

性对称对称轴:X轴,y轴;对称中心:原点

质性

隹占

八、、八、、FI(-C,0),F2(C,0)FI(0,-C),F2(0,C)

Ai(-a,0),A2(a,0);Ai(0,-a),A2(0,a)；

顶点

B1(0,-b),B2(0,b)Bi(-b,0),B2(b,0)

轴线段AIA2,BIB2分别是椭圆的长轴和短轴;长轴长为2a,短轴长为2b

焦距|FIF2|=2C

离心

焦距与长轴长的比值:e©(0,1)

率

a,b,c

的关c2=a2-b2

系

5.双曲线的标准方程及几何性质

x2y2y2x2

/于=17于T

标准方程

(a>0,b>0)(a>0,b>0)

V

图形1

居：/；、、5*

______________________,片%____________

范围|x|Na,yGR|y|ea,xGR

对称

性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点

隹占

几八、、八、、F(C,0),F2(C,0)FI(0,-C),F2(0,C)

Ai(-a,0),A(a,0)Ai(0,-a),A2(0,a)

何顶点2

性轴线段A1A2R1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b

|FIF|=2C

质焦距2

离心

焦距与实轴长的比值:e©(l,+oo)

率

,ba

渐近y/y=±/

线

a,b,c

的关a2=c2-b2

系

6.抛物线的标准方程及几何性质

标准方y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

程(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)

图形TK♦

续表

标准方y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

程(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)

对称

X轴y轴

轴

顶点0(0,0)

几焦点F&0)F©,。)F(烤)________________________F(0,4)

何准线

xlX?y专

性方程22

质x20,y£xW0,y£y20,x£

范围yW0,x£R

RRR

离心

e二l

率

必会结论

1.常见的直线系方程

⑴过定点P(x(),yo)的直线系方程:A(x-x())+B(y-yo)=O(A2+B2WO),还可以表示为

y-yo=k(x-x())(斜率不存在时可为x=x0).

(2)平行于直线Ax+By+C=O的直线系方程:Ax+By+九=OQWC).

(3)垂直于直线Ax+By+C=O的直线系方程:Bx-Ay+九=0.

(4)过两条已知直线Aix+Biy+Ci=0,A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方

程:A[X+Biy+Ci+MA2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).

2.与圆的切线有关的结论

2

⑴过圆x?+y2=r2上一点P(x(),yo)的切线方程为xox+yoy=r.

222

(2)过圆(x-a)+(y-b)=r上一点P(x0,y0)的切线方程为(x()-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2.

(3)过圆x，y2=»外一点P(xo,yo)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程

2

为x0x+y0y=r.

(4)若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=f2,则过圆外一点P(x(),yo)的切线长

22

d=J(wa)2+(y0-b)-r.

3.通径

(1)椭圆通径长为变；

a

(2)双曲线通径长为空；

a

(3)抛物线通径长为2p.

4.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线的方程为则渐近线的方程为即y=±£x.

(2)若渐近线的方程为y=±卜即/=0,则双曲线的方程可设为常!=%

2222

(3)若所求双曲线与双曲线5k=1有公共渐近线，其方程可设为台方论>0,焦点在x轴

上;九<0,焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是b.

5.抛物线焦点弦的常用结论

设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(xi,yi),B(x2,y2),a为直线AB的倾斜角,

且yi>0>y2,则

⑴焦半径IAFEI+MTJJBFUXZ+^TJ

21-cosa21+cosa.

p22

(2)XIX2=—,yiy2=-p.

(3)弦长|AB|=xi+x2+p=悬.

(4)2-+=-=.

V\FA\