圆锥曲线离心率及范围问题专题复习

专题6圆锥曲线离心率及范围问题专题复习离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个凡b,。的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.一般建立方程有两种办法：①利用圆锥曲线的定义解决；②利用题中的几何关系来解决问题。另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件（椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致），否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆上十二=1（a>b>0）的右焦点F（c,0）关于直线y=bx的对称点QTOC\o"1-5"\h\za2b2 c在椭圆上，则椭圆的离心率是.x2y2例2.（2020成都市高三模拟）.已知点P是双曲线一一二=1（a>0,b>0）左支上一点，F,F是双曲a2b2 12线的左右两个焦点，且可>定二。,线段PF的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为12 2A<2 B<3 C2 D <5例3.（2018年新课标n卷11题）已知F,F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF,且12 1 2ZPFF=60。,则C的离心率为（ ）21A.1--^23 B.2—v3C.3^^- D.<3-1方法2：利用几何关系求离心率：知识储备：初高中平面几何的全部知识都可以涉及。例1、（2019年新课标II文12）设F为双曲线C：x2-y2=1（a>0,b>0）的右焦点，O为坐标原点，a2b2以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若IPQI=IOFI,则C的离心率为A.\2 B.%3 C2 D.v5例2、（2018年新课标H12题）已知F1F是椭圆C：三十丝=1（。〉b>0）例2、（2018年新课标H12题）已知F1点P在过点P在过A且斜率为—的直线上，6△可为等腰三角形，（FFP=120。，则C的离心率为12A.t例3.（A.t例3.（2020年湖南永州市高三三模11题）已知双曲线C：x2a2-得=1（。>0,b>0）的左、右顶点分别1D.一4B,左焦点为F,P为C上一点，且PF1x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P,F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若HN=_3OH（O为坐标原点），则CF），为（A.2B.3A.2B.3C.4D.5例4.已知椭圆x2+==1（。>b>0）的半焦距为c（c>0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线。2b2y2=”（。+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（ ）88B8B.15A.—15方法3：定义法+几何关系结合例1.（2020年衡水中学高三模拟16题）设椭圆C的两个焦点是F1、F2,过F1的直线与椭圆C交于P、Q,若收2若收2卜归封，且5匹卜61FQ，则椭圆的离心率为.例2、（2019绵阳南山中学模拟）已知A,B,C是双曲线上-£=1（。>0,b>0）上的三个点，直线AB经。2 b2过原点O,AC经过右焦F，若BF1AC，且3AF=CF,则该双曲线的离心率为（）A.fB.52A.fB.52r<10

C. 3D.23x2 y2例3、（2019年长郡中学高三模拟12题）已知双曲线直-a=K。>0，b>0）的左、右焦点分别为勺，F2,.则该双曲线的离心率为（）圆元2+y2=b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若IMF|=3|MF.则该双曲线的离心率为（）B.3A.2B.3、圆锥曲线离心率的取值范围方法1：利用三角形三边关系建立不等式。TOC\o"1-5"\h\z例1、(2018年衡水金卷16题)已知椭圆三+'=I(a>b〉0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),a2b2 1 2若椭圆上存在点P使一a一二一c—成立，则该椭圆的离心率的取值范围为 ^sinZPFFsinZPFF12 21例2、已知椭圆C：上+y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F，若椭圆C上恰好有6个不同的a2b2 12点P，使得^F4P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是().B.2，1CJI1D.3'2B.2，1CJI1D.3'2)2，1方法2：利用判别式建立不等式例3、(2020广东佛山市高三上期检测)已知双曲线C:上-y2=1(b>a>0)的右焦点为F,0为坐标原点，a2b2若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使赤.0B=0，则双曲线离心率的取值范围是.方法3：利用角度的余弦值或数量级建立不等式TOC\o"1-5"\h\z例4、(2020年长沙市雅礼中学高三模拟11题)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在无轴上，A,A,1 2B,B为椭圆的顶点，F为右焦点，延长BF与AB交于点P，若ZBPB为钝角，则该椭圆的离心1 2 2 12 22 1 2率的取值范围是()5<5—2 5—2 5—1 J5—1A.(—―,1) B.(0,——) C.(0,——) D.(—―,1)乙 乙 乙 乙无2y2例5、已知0为坐标原点，双曲线——J=1(a,b>0)的右焦点F，以F为圆心，OF为半径作圆交双a2b2曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO+AF)-OF<0，则双曲线的离心率e的取值范围为( )

A.（1,72） B.（1,2） C.（2,+S） D.[1,j\k2）方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式例6、（2019年成都市树德中学高三模拟11题）已知F,F分别是双曲线四-二=1（凡b>0）的两个焦点，12 a2b2过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段FF为12直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A.A.(1,2) B.(2,+8)C(1,V2) D.(<2,+R)y2例7、（2020年绵阳市三台中学二诊模拟）椭圆x2+二=1（0<b<1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶

b2点为B，若AFAB的外接圆圆心P（m,n）在直线y=-x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A.B.kA.B.k2,1)D.0,2方法5：利用已知的角度关系建立不等式x2y2例8、已知椭圆C：—+j=1（〃>b>0）的左焦点为F,经过原点的直线与C交于A,B两点，若a2b2/AFB>150。，则C的离心率的取值范围为.x2 x2 y2例9、设A1，4是椭圆瓦+b=1上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P，使得tanNALPA2=-2四，则椭圆离心率的取值范围是（）.(A)0,4k2则椭圆离心率的取值范围是（）.(A)0,4k2(B)'Jk(C)(D)方法6：利用已知长度（面积）关系建立不等式x2 y2例10、已知直线l:y=kx+2过椭圆一+^=1（〃>b>0）的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4〃2 b2截得的弦长为若L>-^~，则椭圆离心率e 的取值范围是（）A.(4]B.(0,255]A.(4]B.(0,255]C.(0,355]D.(0,455]玩转练习1、（2019年成都市石室中学高三模拟11题）如图，双曲线一玩转练习1、（2019年成都市石室中学高三模拟11题）如图，双曲线一X2V2C:―-j-=1（〃>0，b>0）的左、右焦点分别为F,F，过F作线段FP与a2b2 12 2 2C交于点Q，且Q为PF2的中点•若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为A.-2+2<15

72B.33D.2. . _X22. . _X22、（2019年河北衡水中学高三模拟12题）已知椭圆E:一+a2b=1（a>b>0）的左焦点为Fi，V轴上的点p在椭圆外3,… 「且线段PF1与椭圆E交于点M，若1OMMF?二丁O1，则E椭圆的离心率为（）1A.一2c.1A.一2c.、；3-1D.<3+12-，- 一―X2V2（2019年成外半期11题）已知直线y=kx（k丰0）与双曲线一-J=1（a>0,b>0）交于A,B两点，a2b2TOC\o"1-5"\h\z以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（ ）A.<2 B.33C.2 D.J54、如图，在AABC中，ZCAB=ZCBA=30。，AC、BC边上的高分别为BD、AE，若以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分1 1别为e，e，则一+—的值为1 2ee1 25、已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P,Q两点，若△PFF2为直角三角形且叫<|书|，则椭圆E的离心率为().A.亍A.亍2B.一31D.一3x2y26、以双曲线一一"=1的两焦点为直径作圆，且该圆在x轴上方交双曲线于A,B两点；再以线段ABa2b2为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为.7、(2015年浙江理)如图产1,F2分别是双曲线C:二—y=1(。,b>0)的左右焦点乃是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于PQ两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M•若|MF2|=|F1F2],则C的离心率是TOC\o"1-5"\h\z( )A.2^3- B.空C22 D.<33 2x2y28.(绵阳一诊11题)已知M为双曲线C：——"=1(〃>0,b>0)的右支上一点，A,F分别为双曲线Ca2b2的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M,/MFA=60°,则C的离心率为( )A．6 B．4 C．3D．29、(2017年新课标I16题)已知双曲线。：x2-y2=1(〃>0,b>0)的右顶点为4,以A为圆心，b为半径a2b2作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若/MAN=60°,则C的离心率为.TOC\o"1-5"\h\z.(2019年衡水中学高三下期中11题)已知F,F是双曲线x2—y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点1 2 〃2b2F关于渐近线的对称点恰好落在以F为圆心，OF为半径的圆上，则双曲线的离心率为().1 2 2(A)\；3 (B)V3T (C) (D)2.(2020年湖南长郡中学高三月考11题)已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2+y2=1(a>b>0)的左a2b2焦点，A,B分别是C的左、右顶点.P为C上一点，且PF1x轴.过点A的直线/与线段PF交于点M,与》轴交于点E.若直线BM经过OE的三等分点(靠近O点)，则C的离心率为().TOC\o"1-5"\h\z11 2 3(A)- (B)- (C)2 (D)33 2 3 4

x2y212、(2020年江苏省启东中学校考)设双曲线C：a-a=i(a>0,b>0)的左右焦点分别为f勺若在曲线C的右支上存在点P，使得卜PFF的内切圆半径为a，圆心记为M，又卜PFF的重心为G，满足MG//FF，则双曲线C的离心率为12x2y213、已知双曲线C2与椭圆Ci： +m=1具有相同的焦点，则两条曲线相交于四个交点形成四边形面积最大时双曲线。2的离心率为兀 一14、已知F，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且"1PF2=3，记椭圆和双曲线的离心率分别为I的离心率分别为Ie，则二+-的值为()2 e2e21225使做+012)使做+012)FT=0(o为坐标原点)，且PF尸例pf2\，则双曲线的离心率为( ).D.<3+116.过双曲线>*1(a>°,b>0)的左焦点F(—c,0)(c>0)，作倾斜角为％的直线FE交该双曲线右支于点P，若瓦=^OF+OP)，且瓦•EF=。，则双曲线的离心率为x217.右支于点P，若瓦=^OF+OP)，且瓦•EF=。，则双曲线的离心率为x217.已知F，F分别是双曲线一12a2—y2=1(a,b>0)的左、右焦点b2，P为双曲线右支上一点，/勺PF2=600，/F1PF2的角平分线PA交x轴于点AFA=3AF^，则双曲线的离心率为( ).A．2D．318.已知椭圆C:x2+号=1（a>b>0）的左右焦点分别为F,F,O为坐标原点，A为椭圆上一点，a2b2 12/FAF12?,连接AF/FAF12?,连接AF交y轴于M点22若310M4|0与，则该椭圆的离心率为1A.—35C.一8<10D.~T~19．(2019F2Q0）.双曲线C上存在一点19．(2019F2Q0）.双曲线C上存在一点P,使得sin/PFFa ^2sin/PFF21则双曲线c的离心率的取值范围是（ ）I」+<2)Y,1+D．年河南联考12题）已知双曲线C:？-卷=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1J，0），20.（2020届绵阳南山中学高三月考）设