圆锥曲线(单元)教学设计

圆锥曲线（单元）教学设计 “长程两段”的教学策略与思想崂山二中董雪君一、教材的地位和知识结构：本单元是在学生学习完必修教材的直线与圆的基础上进行的.圆锥曲线是解析几何的重要内容，分为椭圆、双曲线、抛物线三部分。而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线，能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，前面是二次曲线中最特殊的圆，后面是双曲线、抛物线。圆f椭圆f双曲线f抛物线的定义、方程、性质知识链背后贯穿着一条暗线：点与距离和建立适当的直角坐标系求方程问题即坐标法。在圆锥曲线的教学中始终贯穿坐标法这一重要思想。因此改变原来的课时“匀速运动”的教学方式，在整个单元的知识结构、特有的育人价值思考的基础上，把椭圆的教学作为“教学结构”阶段；双曲线、抛物线的教学作为“运用结构”阶段。即采取“长程两段”的教学策略。二、“教学结构”阶段知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程、简单几何性质；能力目标：培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想.情感与态度目标：通过动手实验，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值。培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力。教学重点：椭圆定义的形成、标准方程、几何性质；理解坐标法的基本思想。教学难点：椭圆定义的语言表述、符号表示、标准方程的化简。教学方法：“三放三收”的设计方案。创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.椭圆定义与方程的教学过程：问题设计意图师生活动用绳子、图钉在本子上怎样画出一个圆？复习圆的定义，运用学生的“基础性资源”为下一步学习新知识作引子。学生动手画圆。有固定绳子一端的;有绳子两端点重合固定在图钉上，再把图钉固定在本子上。（不能用圆规）将绳子两端点分开把问题放下去面向全体学生开放（教学生动手操作，大多数同学画

固定在图钉上，然后把图钉固定在本子上，用笔构住绳子运动，能画出什么曲线？学的重心下移）打破学生知识结构的平衡，调动学生原有的知识探究问题的结果，引发学习兴趣。出的是椭圆，有的画出的椭圆圆，有的画出的椭圆扁。个别同学画出的是线段，还有的画出的曲线不能在一个平面上，到了空间无法展示。为下一步师生的“交互反馈”提供资源准备在运动中同学们画出的曲线形状、大小不同，小组讨论这些曲线上的点满足的几何条件是什么？“生生互动”“师生互动”，整理试验结果，互动生成。归纳出椭圆的定义。激发学生形成深层次思考的意识与习惯。根据实验过程与结果，引导学生抓住作图的关键（点与距离），鼓励用自己的语言概括定义。（教师把信息收上来生生、师生之间围绕由图到定义的交流和讨论）椭圆定义中的关键词是什么？缺一个约束条件会变成什么曲线？符号语言怎样表达？从本质上理解椭圆概念的内涵。通过多维互动及交互的回应反馈生成新问题的“生长元”。通过独特的符合语言表达的实践，学会抽象的思考和形成准确、严禁的表达能力。关键词：在平面内，距离之和为常数，常数大于两定点的距离。根据学习过的“点与距离”，“点与斜率”同学们还能提出什么问题？再一次把问题放下去，向学生开放，让学生进行横向知识的联想，发展和提升学生的发散思维水平。在生成的教学环境中实现师生真实的生命成长。对学生产生的疑问平面内到两定点的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？可作为课后探究为后面学习双曲线做准备。平面内与两定点的连线的斜率的和、差、积、商各为什么曲线？可让学生求方程研究。学生思考或小组讨论交流提出的问题:平面内到两定点的距离之差（或之积或之商）为常数的点的轨迹是什么曲线？同样平面内与两定点的连线的斜率的和、差、积、商各为什么曲线？学生提出了问题，但回答不出曲线的形状。从而激发学生的求知欲。（第二次“收”）怎样根据曲线求方体现数形结合和坐标法的思想。同时学生可先依据圆的方程猜想，程？又怎样根据方程知表示什么曲线？椭圆的方程是什么形式？怎样建立坐标系？体会建立“适当”平面直角坐标系的意义。（方程化简是难点）进一步体会建立坐标系不同所求方程不同。由此总结怎样建立坐标系叫“适当”。然后建立坐标系求方程。通过“师生”交流，可请学生板演化简方程。用投影仪展示不同不同坐标系下学生所求方程。椭圆的标准方程形式及应用。师生小结：椭圆是怎样的点的轨迹？符合语言怎样表达？标准方程是怎样？怎样建系化简的？椭圆的几何性质可采取数形结合方法学习。重点是让学生改变线段的长度，多画几个椭圆，这样学生会发现影响椭圆扁圆程度因素，对“椭圆性质”的学习起重要作用。整个椭圆教学阶段速度放慢，用圆锥曲线一半的教学课时，让学生从椭圆定义的形成”标准方程的建立“几何性质的问题出发，在问题解决的过程中发现和建构知识，充分地感悟和体验知识之间的内在关联的结构存在，逐渐形成学习的方法结构。二、“运用结构”阶段学习双曲线的定义时与椭圆定义类比。学生准备一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边各取一点分别固定画出图形。然后归纳出文字语言和符号语言。在学习了椭圆的标准方程后学习双曲线的标准方程不会感到困难。采用学生自主学习形式。重点放在双曲线性质中渐进线和离心率的学习。通过学生主动探究，借用研究椭圆的方法和思想使学生形成自觉学习数学的内动力。感悟渗透数学方法与思想，建立判断与选择的自觉意识，形成基本的数学素养。抛物线的学习可与现实生活沟通将再次体验和认识转化为自身的逻辑推理发展和思维品质提升的力量。运用学习椭圆部分的方法与步骤结构，反复类比，从而加强了与已有知识的联系，又找出了与旧知识的不同之处。这一阶段的学习以加速的方式进行。数学课程标准中指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此数学学习的活动应该是学生主动探索、合作交流的过程。经过主动探索，才能有发现、有生成、有创新；体验合作交流，才能集思广益，有所提高。因此“长程两段”的教学有利于学生形成认知的结构化，有利于学生形成综合的思维方式，有利于学生形成主动发展的人生态度。参考文献《圆锥曲线与方程》复习学案、知识归纳:、知识归纳:定义平面内到两定点F,F的距离的和为1 2常数(大于［FF2|)的动点的轨迹叫椭圆.即MF+|MF2|=2a当2a>2c时，轨迹 当2a=2c时，轨迹 当2a<2c时，轨迹 平面内到两定点F,F的距离的差的绝对值1 2为常数(小于1勺F2)的动点的轨迹叫双曲线.即||叫一|欣，2琮当2a<2c时，轨迹 当2a=2c时，轨迹 当2a>2c时，轨迹 标准方程焦点在X轴上时： 焦点在V轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时： 常数a,b,c的关系a2=c2+b2,a>b>0,a最大，c=b,c<b,c>bc2=a2+b2,c>a>0c最大，a=b,a<b,a>b渐近线焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时： ..一....一,.一、一X2V2椭圆的性质：椭圆方程一+—=1(。>b>0)a2b2(1)范围： ，椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中。(2)对称性1(3)顶点：AA叫椭圆的长轴，长为2a，BB叫椭圆的短轴，长为2b。12 12c b~~~b~(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e=—ne=..:1-(-)2o(0<e<1)e可以刻画椭圆的扁平a a程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.(5)点P是椭圆上任一点，(5)点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则|PF| =maxPFmin//F1PF2取最大值.(6)点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，2、直线与椭圆位置关系(1)直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式A相切有且只有一个公共点相离无公共点（2）弦长公式：设直线y=kx+b交椭圆于P（x,y）,P（x,y）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 2 2则IPPI= ，或IPPI= （k丰0）12 123、双曲线的几何性质：（1）顶点顶点： ，特殊点：实轴：♦♦长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：BB长为2b，b叫做虚半轴长。12 12双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（2）渐近线X2y2双曲线——j=1的渐近线 a2b2（3）离心率 ..__ 2cc _ 、双曲线的焦距与实轴长的比e=丁=—，叫做双曲线的离心率.范围：e>12aa（4）等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 _等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：y=±x；b、渐近线互相垂直；。、离心率e=<2。4.抛物线：抛物线的几何性质（1）顶点：抛物线y2=2px（p〉0）的顶点就是坐标原点。（2）离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e=1。（3）P的几何意义：P表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.(4)若点M(x,y)是抛物线y2=2px(p〉0)上任意一点，则|MF|=x+—0 0 0 2(5)若过焦点的直线交抛物线w=2px(p>0)于A(x1,y).B(x2,y2)两点，则弦|AB\=x1+x2+p二．重点题型.圆锥曲线的定义：(1)已知定点F(-3,0),F(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是()1 2A. pFj+ |PF2| =4 B. pFj+pF2|=6C. |PFj+ p^F^2| =10 D. |PFJ2+|PF2|2=12(2)方程(xx-6)2+y2-J(x+6)2+y2=8表示的曲线是 (标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：(1)已知方程一J+上=1表示椭圆，则k的取值范围为一3+k2-k(2)若x,yeR，且3x2+2y2=6，则x+y的最大值是—，x2+y2的最小值是(3)双曲线的离心率等于三5，且与椭圆x2+竺=1有公共焦点，则该双曲线的方程 TOC\o"1-5"\h\z2 94(4)设中心在坐标原点。，焦点F、F在坐标轴上，离心率e=£2的双曲线C过点P(4,-i10)，则1 2C的方程为3.圆锥曲线的几何性质：(1)若椭圆x2+y2=1的离心率e=配0，则m的值是 5m 5(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为(3)双曲线的渐近线方程是3x土2y=0,则该双曲线的离心率等于4.直线与圆锥曲线的位置关系：(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是 x2y2(2)直线y—kx—1=0与椭圆二十二二1恒有公共点，则m的取值范围是 5mx2y2(3)过双曲线1-《-=1的右焦点直线交双曲线于A,B两点，若|AB|=4,则这样的直线有一条JL 乙5、焦半径(1)已知抛物线方程为y2=8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于 ；(2)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为(3)抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为6、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解。(1)短轴长为、：5,离心率e=2的椭圆的两焦点为F、F，过F作直线交椭圆于A、B两点，则AABFTOC\o"1-5"\h\z3 1 2 1 2的周长为 ___⑵设P是等轴双曲线x2-y2=a2(a>0)右支上一点，F「F2是左右焦点，若PJFF=0,IPFJ=6,则该双曲线的方程为 2127、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1),B(x2,y2)两点，若\+乂2=6,那么IABI等于 (2)过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知入81=10,O为坐标原点，则AABC重心的横坐标为 8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

X2V2(1)如果椭圆歹十二二1弦被点A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 TOC\o"1-5"\h\z36 9(2)试确定m的取值范围，使得椭圆二十=二1上有