2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　椭圆的简单几何性质 学案

1．2椭圆的简单几何性质[教材要点]要点椭圆的简单几何性质标准方程x2a2+yy2a2+x焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形范围____≤x≤____，____≤y≤________≤y≤____，____≤x≤____对称性关于____轴、____轴对称，关于原点对称顶点坐标A1______，A2____，B1____，B2____A1____，A2____，B1____，B2____轴长长轴长|A1A2|＝____，短轴长|B1B2|＝____离心率e＝________(0<e<1)状元随笔(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形．明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)计算离心率常见形式，e＝ca＝1[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)椭圆x2a2+y2b(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()(3)椭圆x24+y2(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±69)．()2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)3．已知椭圆x210-m+A．8B．7C．5D．44．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．题型一根据椭圆方程研究其几何性质例1已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m方法归纳在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合．跟踪训练1(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5、3、0.8B．10、6、0.8C．5、3、0.6D．10、6、0.6(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为12题型二根据椭圆几何性质求其标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是45(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(3)经过点M(1，2)，且与椭圆x2状元随笔与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为x2a2方法归纳利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．跟踪训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为()A．x29+C．x216+(2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝23题型三椭圆的离心率问题角度1定义法求椭圆离心率例3椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为角度2构造齐次方程法求椭圆离心率例4设椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2A．36B．13C．1方法归纳求椭圆离心率及范围的两种方法1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝c2．方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．跟踪训练3(1)焦点在x轴上的椭圆方程为x2a2+y2bA．14B．13C．1(2)设F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝a2A．(0，22]B．(0，3C．[22，1)D．[3题型四与椭圆有关的轨迹问题例5已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．方法归纳1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(对称相关点法)．跟踪训练4已知P是椭圆x24+y28＝1上一动点，易错辨析忽视隐含条件致错例6若直线y＝kx＋1与椭圆x25+解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)∪答案：[1，5)∪【易错警示】易错原因纠错心得本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞)．注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况．[课堂十分钟]1．已知点(3，2)在椭圆x2a2+yA．点(－3，－2)不在椭圆上B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3，2)在椭圆上D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上2．[多选题]已知椭圆x2a2+y2bA．a2＝25B．b2＝25C．a2＝9D．b2＝93．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A．13B．33C．14．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为135．若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的标准方程．1．2椭圆的简单几何性质新知初探·课前预习要点－aa－bb－aa－bbxy(－a，0)(a，0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b，0)(b，0)2a2bc[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：椭圆方程可化为x2＋y26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±答案：D3．解析：由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6<m<10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.故选A.答案：A4．解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是x2答案：x2题型探究·课堂解透例1解析：椭圆的方程可化为：x2∵m－mm+3＝mm+2m+3>0，∴m即a2＝m，b2＝mm+3，c＝a2-由e＝32得m+2m+3＝32∴椭圆的标准方程为x2＋y2∴a＝1，b＝12，c＝3∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1-32，0四个顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B10，-12，跟踪训练1解析：(1)把椭圆的方程写成标准方程为x29+y225＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2(2)椭圆方程可化为x2①当0<m<4时，a＝2，b＝m，c＝4-m，∴e＝ca＝4-m2＝12，∴m＝3，∴b＝3，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4，23，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－②当m>4时，a＝m，b＝2，∴c＝m-4，∴e＝ca＝m-4m＝12，解得m＝163，∴a＝433，c＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F1(0，－233)，F2(0，23答案：(1)B(2)见解析例2解析：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>由已知得2a＝10，故a＝5.∵e＝ca＝45，∴c＝4，∴b2＝a2－c∴椭圆的标准方程为x225+(2)依题意可设椭圆的标准方程为x2a2+y如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，故a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为x2(3)方法一：由题意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2将点M(1，2)代入椭圆方程得12b2+4b2＝1或42b故所求椭圆方程为x29+方法二：设所求椭圆方程为x212+y26＝k1(k1>0)或y212+x26＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得112+46＝k1或412+16＝k2，解得k1跟踪训练2解析：(1)由题意，得2a+2b=18，c=3因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x2(2)由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝183＝6，所以c所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x2(3)因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝23，所以点A所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－2所以椭圆的方程是x29+答案：(1)B(2)x281+y2例3解析：如图，设F(c，0)，由△OAF是等边三角形，得A(c2∵点A在椭圆上，∴有c24a2+3c24b2＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2②，联立①②，得c2＝(4－23)a2，即c答案：3－1例4解析：解法一由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝F1F2解法二由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝答案：D跟踪训练3解析：(1)由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得12×2c×b＝12×(2a＋2c)×b3得，a＝2c，即e＝c(2)由垂直平分线的性质知|F1F2|＝|PF2|，设直线x＝a2c与x轴的交点为M，则|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，则2c≥a2c－c，即3c2≥a2，所以e2＝c2a2答案：(1)C(2)D例5解析：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2，由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24+跟踪训练4解析：设P(x0，y0)，Q(x，y)，由中点坐标公式得x=x0又∵点P在椭圆x2∴2x24+2y28＝1，即答案：x2＋y2[课堂十分钟]1．解析：由椭圆关于坐标轴对称，关于原点中心对称可知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)都在椭圆上．答案：