2018-2020学年高中理数新创新一轮复习 第五章 平面向量含解析

第五章平面向量

第一节平面向量的概念及线性运算

本节主要包括2个知识点：1.平面向量的有关概念；平面向量的线性运算.

突破点(一)平面向量的有关概念

抓牢双基•自学区

［基本知识］

名称定义备注

既有大小又有方向的量叫做向量:向平面向量是自由向量，平面向量可自

向量

量的大小叫做向量的长度(或称模)由平移

零向量长度为贵的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为瑞

方向相同或相反的非零向量，又叫做

平行向量0与任一向量平行或共线

共线向量

两向量只有相等或不等，不能比较大

相等向量长度相等且方向相同的向量

小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

［基本能力］

1.判断题

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()

(2)若2〃1),b〃c,则a〃c.()

(3)若向量a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量.()

答案：⑴X⑵X(3)V

2.填空题

(1)给出下列命题：

①若a=b,b=c,贝!|a=c；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则成=比是四边形ABCD为平行四边形的充

要条件；

③a=b的充要条件是|a|=|b|且a〃b；

其中正确命题的序号是.

解析：①正确.Ta=b,，a,b的长度相等且方向相同,

又b=c,Ab,c的长度相等且方向相同，

Aa,c的长度相等且方向相同，故@=以

②正确.VAB=DC,|AB|=|DC|JLAB//~DC,

又A,B,C,。是不共线的四点，

二四边形A8CD为平行四边形；

反之，若四边形A5CD为平行四边形，

则焉〃万不且।成|=|万才|,因此，7B=DC.

③不正确.当a〃b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b

不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是①②.

答案：①②

⑵若a、b都为非零向量，则使六+&=0成立的条件是.

答案：a与b反向共线

研透高考•讲练区

［全析考法］

平面向量的有关概念

［典例］(1)(2018•海淀期末)下列说法正确的是()

A.长度相等的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度等于0

D.方就是79所在的直线平行于黄所在的直线

(2)(2018•枣庄期末)下列命题正确的是()

A.若|a|=|b|,贝！Ja=b

B.若|a|>|b|,贝Ua>b

C.若a=b,则a〃b

D.若|a|=0,则a=0

［解析］(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反

的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；

当了百〃7方时，弁所在的直线与而所在的直线可能重合，故D不正确.

(2)对于A,当|a|=|b|,即向量a,b的模相等时，方向不一定相同，故a=b不一定成

立；对于B,向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确;

对于D,若|a|=0,则a=0,故D不正确，故选C.

［答案］(1)C(2)C

［易错提醒］

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；

(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.

［全练题点］

1.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

a=oq为实数)，则2必为零；

③"为实数，若2a="b,则a与b共线.

其中错误的命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当a=()时，

不论2为何值，2a=0.③错误，当2=4=0时，7a=〃b=0,此时，a与b可以是任意向量.错

误的命题有3个，故选D.

2.关于平面向量，下列说法正确的是()

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.平面内的单位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量

D.共线向量就是相等向量

解析：选C对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B,

单位向量的模为1,其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C,方向相反的向量一定是

共线向

量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D,由共线向量和相等向量

的定义可知D不正确，故选C.

3.如图，△A8C和B'C是在各边的3处相交的两个全等的等边

三角形，设aABC的边长为a,图中列出了长度均为：的若干个向量，则

(1)与向量不相等的向量有

(2)与向量下了共线，且模相等的向量有；

⑶与向量EA一共线，且模相等的向量有.

解析：向量相等o向量方向相同且模相等.

向量共线o表示有向线段所在的直线平行或重合.

答案：(1)向，He(2)反才，~LE,面,~GB,He

(3)~FB,W,~HK,KBr

突破点(二)平面向量的线性运算

抓牢双基•自学区

［基本知识1

1.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

a交换律：a+b=b+a；结合律：

加法求两个向量和的运算三角形法则

(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四边形法则

XV

求a与b的相反向量

减法a-b=a+(-b)

-b的和的运算a

三角形法则

p.a|=|；||a|,当40刈a)=(2〃)a；

时，2a与a的方向a+4)a

求实数7与向量a的

数乘相同;当7<0时，=2a+〃a；

积的运算

然与a的方向相反；x(a+b)

当2=0时，2a=0=2a+2b

2.平面向量共线定理

向量b与a(aWO)共线的充要条件是有且只有一个实数使得b=2a.

［基本能力］

1.判断题

(l)a〃b是a=2bqGR)的充要条件.()

(2心43。中，。是的中点，则罚=；(就+3).()

答案：⑴X(2)7

2.填空题

⑴化简：

①京+MB+B0+~OM=.

②而+QP+加一和=.

答案：①焉②0

(2)若菱形ABCD的边长为2,则|就一方+~CD\=.

解析：\AB^CB+CD\=\AB+~BC+CD\=\AD\=2.

答案：2

(3)在QABC。中，~AB=a,~AD=b,~AN=3NC,则就=(用a,b表示).

答案：|a+|b

研透高考•讲练区

［全析考法］

平面向量的线性运算

应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意加法的三角形法则要求“首

尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”

且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

［例1］(1)(2018•河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABC。中，D.______c

AB=2AD=2DC,E为3c边上一点，~BC=3EC,尸为AE的中点,

则苏=(

c.—D.一+1/1D

⑵(2018•深圳模拟)如图所示，正方形A5C。中，”是BC的中点,

若就=£描+"万万，贝！M+"=(

［解析］(1)BF=BA+4F='BA+^AE

=-~AB+|(AD+^AB+~CE)

=—7［方+；错误！

=~~AB+^AD+1AB+|(CD+DAVAB)

2—>1—>

=—~^AB+§4。.

(2)因为衣=kAM+fi~BD=A('AB+^M)+fi(~BA+茄)=2错误！+小一错误！+

4

3,

~AD)=(A-/i)AB+(b.+i,且就=3+诟，所以'

所以2+〃=；,故选B.

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

1.平面向量的线性运算技巧"

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向

量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.

(3)比较、观察可知所求.

平面向量共线定理的应用

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的

其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与

联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.

(3)直线的向量式参数方程：A,P,8三点共线台苏=(1一力示+f苏(0为平面内

任一点，fGR).

［例2］(1)(2017•芜湖二模)已知向量a,b是两个不共线的向量，若向量m=4a+b与n

=a—北共线，则实数2的值为()

1

A.-4B.

4

(2)(2018•怀化一模)已知向量a,b不共线，向量79=a+3b,言=5a+3b,~CD=-

3a+3b,贝(］()

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

［解析］(1)因为向量a,b是两个不共线的向量，所以若向量6=4a+b与n=a—北共

线，则4X(一力=1X1,解得a=一：，故选B.

(2)因为同=兹+年底=2a+6b=2(a+3b)=2%方，所以下方，女声共线，又有公共点

B,所以A,B,。三点共线.故选B.

|答案］(1)B(2)B

［方法技巧］平面向量共线定理的三个应用

证明向量共线对于非零向量a,b,若存在实数九使2=北，则a与b共线

若存在实数人使前=2就，就■与就有公共点4,则A,B,C三点

证明三点共线

共线

求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值

［提醒］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

［全练题点］

1.［考点一］(2018•长春一桃)在梯形A8CD中，~AB=3DC,则成=()

A.-fAB+~ADB.-|AB+1

C.一;前+|通D.AD

解析：选A因为在梯形A8C。中，刀？=3万所以^:=京+茄+友=一,

+AD+^AB=—^AB+AD,故选A.

2.［考点二］已知a,b是不共线的向量，7fl=；.a+b,AC=a+//b,1,4GR,则4,B,

C三点共线的充要条件为()

A.2+〃=2B.2—〃=1

C.加=一1D.；.//=1

解析：选D'：A,B,C三点共线，/.AB//AC,设A8=/〃AC(机WO),贝I2a+b=

人=tn,

“(a+"b),A］.•"4=1,故选D.

l=m〃，

3.［考点二］(2018•南宁模拟)已知ei,ez是不共线向量，a=wei+2e2,b=nei—ez,且

若8外，则：=()

A--2*B2

C.一2D.2

解析：选CVa//b,Aa=2b,即机ei+2e2="nei—e2),贝力故—=—2.

n

4.［考点一］已知点M是△ABC的边8c的中点，点E在边AC上，且衣=2AE,则瑞

1—>,1—>

A.|ACABB.TAC+TAB

Zo

1―>1—>1―►3―►

C.TOAC+^ZABD.oTAC+ZZAB

解析：选C如图，•.,衣=27至，.,.宙=豆+后方=|就

+1cB=1AC+^(AB—AC)=^AB+*4(?.

5」考点一］如图，在△0A8中，尸为线段A8上的一点，~OP=

xVA+y~OB,且诉=2右，贝！|()

A2112

A.x=§,y=~Bu-予，产§

C.x=w，y=aD.x=w，y=W

_,■>,,>“A->_>,,>->2-'A.A

解析：选A由题意知0P=08+3尸，又8P=224,所以0P=QB+q8A=03

22121

面

砌

小

+-就--

一

一=

3-33J3

3J

［全国卷5年真题集中演练——明规律］

1.（2015•全国卷I）设。为△4BC所在平面内一点，~BC=3CD,则（）

A.AD=—+^AC

B.~AD-^AB-^AC

c.AD=|AB+|AC

D.AD—|AC

解析：选AAD=AC+~CD=7?+1^C=AC+1(AC-Tfi)=^ACAB=-1

—>4—>,

AB+14C,故选A.

2.(2014•全国络I)设O,E,F分别为△ABC的三边5C,C4,AB的中点，则后+

FC=()

A.~ADB.|AD

C.BC

解析：选A~EB+FC=1(AB+~CB)+^(AC+-BC)=

1(AB+7c)=AD,故选A.

3.(2015♦全国卷E)设向量a,b不平行，向量2a+b与a+2b平行，则实数2=.

解析：•；2a+b与a+2b平行，.*.2a+b=/(a+2b),

U=t,

即2a+b=ta+2/b,二|解得1

1=2/,

答案：|

I课时达标检测I

［小题对点练---点点落实］

对点练(一)平面向量的有关概念

1.若向量a与b不相等，则a与b一定()

A.有不相等的模B.不共线

C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量

解析：选C若a与b都是零向量，则2=上故选项C正确.

2.设a()为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a卜a();②若a

与加平行，则a=|a|a«；③若a与a0平行且|a|=l,则a=a0.假命题的个数是()

A.()B.1

C.2D.3

解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与⑶物的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命题；若a与a0平行，则a与a«的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向

时a=-|a|a«,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

3.已知a,b是非零向量，命题p：a=b,命题q：|a+b|=|a|+|b|,则p是g的

条件.

解析：若2=1>,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p今g.若|a+b|=|a|+|b|,

由加法的运算知a与b同向共线，即a=2b,且2>0,故q=lp..\p是g的充分不必要条

件.

答案：充分不必要

对点练(二)平面向量的线性运算

1.如图，在平行四边形A3CD中，E为OC边的中点，且就'=a,>----]彳"

AD=b,则就'=()B乙=二

C.—1a+bD.1b+a

解析：选CBE=BA+AD+TDC=—a+b+Ta=b—la,故选C.

2.已知向量a,b不共线，且c=2a+b,d=a+(22-l)b,若c与d反向共线，则实数

2的值为()

A.1B.一；

C.1或-3D.-1或一^

解析：选B由于c与d反向共线，则存在实数k使c=W<0),于是2a+b=

人k,

〃[a+(22-l)6].整理得2a+b=Aa+(22A-A)b.由于a,b不共线，所以有「'整理

3"—«=1,

得加一2—1=(),解得;1=1或.又因为AV0,所以7V0,故

3.(2018•江西八校联考)在△ABC中，P,0分别是边A3,BC上的点，KAP=^AB,

若下=a,AC=b,则用=()

C-3a-3bD--3a-3b

解析：选APQ=PB+BQ=|A/?+1（AC—AB）=|AB+|AC=1

a+；b,故选A.卜

4.（2017•郑州二楼）如图，在△ABC中，点O在线段8c上，且J

1BO

满足BD=^DC,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,

N,若翁=机,，~AN=nAC,贝！］（）

A.机+n是定值，定值为2

B.2>n+n是定值，定值为3

是定值，定值为2

D蟒2+假1定值，定值为3

解析：选D法一：如图，过点C作CE平行于MN交A8于点

E.由就f就可得亲=：,所以第=悬=尚,由8。=加。可

得黑=；,所以瑞=Thr=高，因为前=〃7不，所以，”=

“+丁

J'1,整理可得2+'=3.

3/f-lmn

法二：因为M,D,N三点共线，所以方=4篇+（1—幻•前.又前=机肉，~AN=

nAC9所以前=幺"16+（1—2）・11就,又罚=；万不，所以罚一前=］就一焉方，所

以A方+：A=.比较系数知（lT）n=g,所以2+^=3,故选D.

jJS产72

5.（2018-钗川一楼）设点P是△A5C所在平面内一点，且近+BA=2BP，则较+~PA

解析：因为就+京=2/，由平行四边形法则知，点尸为AC的中点，故/行+右

=0.

答案：0

6.（2018•衡阳模拟）在如图所示的方格纸中，向量a,b,c的起点和终点均在格点（小正

方形顶点）上，若c与xa+yb（x,y为非零实数）共线，贝4的值为.

解析：设ei,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c=ei—

2ei,a=2ei+ei,b=_2ei—2ei,由c与xa+yb共线，得c=:(xa+yb),所以ei-2e2=22(x

3

|22(x—j)=l,

则?的值为

—j)ei+2(x—2j)e2,所以.

[A(x-2y)=-29y3

答案：I

7.(2018•金城一楼)在△A5C中，NA=60°,NA的平分线交3c于点。，若48=4,

且茄=：就+；＞.瓦声QGR),则的长为.

解析：因为8,D,C三点共线，所以=+2=1,解得/.=；,如图，B

过点O分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则一京=；一就，

4N

,经计算得AN=AM=3,40=斑.

答案：35

8.在直角梯形ABC。中，NA=90°,NB=30°,AB=2小,BC=2,点E在线段

C。上，若衣=茄+“"病，则〃的取值范围是.

解析：由题意可求得4。=1,。。=小，所以3=2虎.

♦.•点E在线段CD上，：JDE=XDC(042Wl).

•：~AE=~AD+DE,

又女=~AD+//~AB=~AD+2fiDC=AD+"笳,

A

**•—1,即〃：1,

1]

2J

答案：[o,I]

［大题综合练——迁移贯通］

1.在△ABC中，D,E分别为BC,AC边上的中点，G为BE上一

点，fiGB=2GE,设714=a,AC=b,试用a,b表示茄，AG.

解：AD=1(AB+AC)=1a+1b.

'BA+'BC)

=^AB+j(AC—AB)=^AB+p4C=1a+1b.

2.已知a,b不共线，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设fWR,如

果3a=c,2b=d,e=f(a+b),是否存在实数f使C,D,E三点在一条直线上？若存在，求

出实数，的值，若不存在，请说明理由.

解：由题设知，CD=d—c=2b—3a,CE=e—c=(f—3)a+tb,C,D,E三点在一条

直线上的充要条件是存在实数A,使得王方，即(t-3)a+zb=-3Aa+2Jtb,

整理得(f-3+3A)a=(2A-f)b.

£—3+34=0,6

因为a,b不共线，所以有解得£=.

t-2k=0,5

故存在实数吏C,D,E三点在一条直线上.

3.如图所示，在△4BC中，D,尸分别是8C,AC的中点，AE=j

AD,AB=a,AC=b.

(1)用a,b表示向量启，~AE,~AF,BE,BF；

(2)求证：B,E,f三点共线.

解：(1)延长AO到G,使/方=；就,

连接BG,CG,得到口ABGC,如图，

所以就=,+^=a+b,

(2)证明：由(1)可知笳=初五,

又因为3E,BF有公共点、B,

所以仅E,F三点共线.

第二节平面向量基本定理及坐标表示

本节主要包括2个知识点：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐标表示.

突破点(一)平面向量基本定理

抓牢双基•自学区

［基本知识］

如果e“e?是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数右,々，使a=&ei+Be2.

其中，不共线的向量erez叫做表示这一平面内所有向量的一组基底:

［基本能力］

1.判断题

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()

(2)在△ABC中，设笳'=a,~BC=b,则向量a与b的夹角为)

(3)若a,b不共线，且iia+/ib=22a+"2b,则九=七，)

答案：(1)X(2)X(3"

2.填空题

(1)设e”e2是平面内一组基底，若右ei+42e2=0,则右+%=.

答案：0

(2)设e”e2是平面内一组基向量，且2=61+262,b=-ei+ei,贝!］2a—b=.

答案：3ei+3e2

(3)(2018•嘉兴测试)在△ABC中，已知M是中点，设苟=a,~CA=b,则入法=

答案：—b+：a

研透高考•讲练区

［全析考法］

平面向量基本定理

［典例］(1)(2018•长春模拟)如图所示，下列结论正确的是

33

-

①--十

2a2

3

②-

-a一

2b:

@PS=能一声

(4)PR=^a+b.

A.①@B.③④

C.(D@D.②④

(2)(2018•岳阳质检)在梯形ABC。中，已知A8〃C£>,AB-2CD,M,N分别为C£>,

8c的中点.若4筋+”就，则：.+〃的值为()

［解析］(1)①根据向量的加法法则，得-d=；a+：b,故①正确；②根据向量的减法法

则，得pi=；@一条),故②错误；③P&=P0+0s=：a+,b—2b=］a—；b,故③正确；

④港=PQ+QR=1a+1b—b=^a+|b,故④错误，故选C.

(2)法一：连接AC(图略)，由磊=/法+"京，得京=岐1方+就)+舄("就+

AB),则g—1)A》+］A户+芯=0,得g—^错误!=0,得

卷+0.+习就=0.又下，而不共线，所以由平面向量基本定理得

’13(4

,+#_1=0,x=-j,

解得《G4

所以2+4=不

法二：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点7；由已知

易得Ab=，T,所以］m=7咨=2翁+"京，因为T,M,N三点共

4

线，所以2+〃=g.

［答案］(1)C(2)C

［方法技巧］

平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向

量的加、减或数乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

［全练题点］

1.(2018•泉州调研)若向量a,b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是

)

A.a—2b与一a+2bB.3a—5b与6a—10b

C.a—2b与5a+7bD.2a—3b与;a—

解析：选C不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a—2b与5a+7b不共线，故

a-2b与5a+7b可以作为一组基底.

2.向量ei,e2,a,b在正方形网格中的位置如图所示，则a—b=()

A.—4ei—2eiB.一2ei—4e?

C.ei—3e2D.3ei—ez

解析：选C结合图形易得，a=—ei—4ei,b=_2ei—ei,故a-b

=ei-3ez.

3.如图，正方形ABC。中，E为OC的中点，若衣=/NG+〃就，D____E_c

则7+“的值为()//\

A-2b-~2

C.1D.-1

解析：选A由题意得4。=+g%1=5、+4、-34、=4、—gA：，g，

fi=l,.•:+”=；,故选A.

_»_»c

4.(2018•湖南邵阳一模)如图，在△ABC中，设A5=a,AC=b,A

AP的中点为0,8。的中点为R,CR的中点为P,若力=ma+nb,贝!J

，〃+n=•

解析：根据已知条件得，~BQ=^Q-'AB

=1AP—AB=1(ma+nb)—a=l)a+郢，CR=BR—BC=^BQ—AC+AB

=1©-1>+多卜+2=©+外+修一小，.•/专a+机超=停一球+乳

$=一停+：>+()一之)「♦•豆+9=福，二修一§a+苧b=(_£_：)a+q_?b,

r3/n_l_m

T~2=~~8

：.4解得，/故〃z+n=3.6

3n1n41

I428'Jt=79

答案：f

突破点(二)平面向量的坐标表示

抓牢双基•自学区

［基本知识1

1.平面向■的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模

设a=(xi,ji),b=(x2,yi)>则:

a+b=(xi+x2,力+北)，a-b=(xi-*2,3L32),xa=(zxi,xyQ,|a|=^/xH-j1.

(2)向量坐标的求法

若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.一般地，设4(修，刃)，8(X2,

j2)»则AB=(*2-xi,丫2-yi).

2.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(M,J2).其中bWO,则a〃boxiy2—X2Vi=O.

［基本能力］

(1)已知a=(2,l),b=(—3,4),则3a+4b=.

答案:(-6,19)

(2)已知向量a=(2,l),b=(l,—2),若,〃a+nb=(9,—8)(m,nGR),则机一n的值为

解析：V/na+nb=(2m+n,zn—2n)=(9,—8),

2m+n=9,m=2,

机—n=2-5=-3・

2〃=-8,〃=5

答案：一3

(3)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB=(2,4),~AC则罚=

答案：(-1,-1)

(4)若三点A(L-5),B(a,-2),C(一2,-1)共线，则实数a的值为.

解析：AB=(a-l,3),AC=(-3,4),据题意知海〃就，.*.4(a-l)=3X(-3),即

5

4a=-5,.・・a=-J

答案：V

研透高考•讲练区

［全析考法］

平面向量的坐标运算

[例1](1)(2018•绍兴模拟)已知点M(5,—6)和向量a=(L—2),若MN=-3a,则点

N的坐标为()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

(2)在△ABC中，点尸在BC上，且诉=2不？，点。是AC的中点，若右=(4,3),

~PQ=(1,5),则兹=.

［解析］(1)苏=-3a=-3(l,—2)=(—3,6),

设N(x,y),则MN=(x-5,》+6)=(—3,6),

x=2,

所以即1

_y=0.

(2)AQ=~PQ-~PA=(-3,2),

/.AC=2Ag=(-6,4).PC=~PA+AC=(-2,7),

=3PC=(-6,21).

［答案］(1)A(2)(-6,21)

［方法技巧］

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

war平面向量共线的坐标表示

［例2］已知a=(l,O),b=(2,l).

(1)当A为何值时，Jta-b与a+2b共线;

(2)若磊=22+31),~BC=a+mb,且A,B,C三点共线，求机的值.

［解］⑴,=(1,0),b=(2,l),

.,.*a-b=A(l,0)-(2,1)=(t-2,-1),a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

■:ka—b与a+2b共线，

.*.2(*-2)-(-l)X5=0,AA=-1.

(2)成=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),-BC=(l,0)4-/n(2,l)=(2/n+l,m).

'：A,B,C三点共线，：J~AB//~BC,

3

:.8m—3(2m+1)=0,=不.

［方法技巧］

向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式

(1)若a=(xi,ji),b=(X2,J2),则a〃boxi>2—x◎1=0,这是代数运算，用它解决平面

向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少了未知数的个数，而且它使问题

的解决具有代数化的特点和程序化的特征.

(2)当x也-0时，a〃bo?=?,即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭

Xiyi

配错误.

(3)公式xij2—xjyi=0无条件工皿。0的限制，便于记忆；公式，■=?■有条件应及#0的

限制，但不易出错.所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式.

［全练题点］

1.［考点一］若向量a=(2,l),b=(-1,2),c=(0,0,则c可用向量a,b表示为()

A.1a+bB.—la-b

厚+上

f2x~j=0,

解析：选A设c=xa+jb,则(0,1)=(2x—j,x+2y)9所以，_5解得

“|x+2y=s，

1

则c/a+b.

2.［考点一］已知平行四边形45CD中，茄=(3,7),AB=(-23)，对角