2022-2023学年宁夏达标名校高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.函数/(x)=Tog5%—x+3的零点所在区间为()

A.(l,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

2.在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的至多有

A.0个B.2个

C.3个D.4个

3.若函数/(x)=ox+l在区间(-M)上存在零点，则实数〃的取值范围是

A.(1,+<»)B.(f1)

C.U(1,+<»)D.(-l,l)

4.已知函数/(%)=2同+炉，贝怀等式/(2cosx)<3,xe的解集为()

71（7171~\「乃乃）「乃乃

C.——D.——，——U—

L26八62」L23）132」

5.圆（%-2）2+丁2=4过点网1,6）的切线方程是。

A.x+V§y-2=0B.x+Gy-4=0

C.x-0y+4=0D.x-y/3y+2=0

6.已知函数/（力=炉—2x+ln|x—1],若实数。满足/（a—1）〉/（2a—1）,则实数a的取值范围是()

A.[o,1JB.（-oo,0）

C.^|jD.(o,l)叫

7.下列函数中既是奇函数，又是减函数的是()

A./(x)=-3xB./(%)=3x

x

c/(x)=log3A:D./(x)=3

8.如图(l)四边形ABC。为直角梯形，动点P从B点出发，由3-C.£>fA沿边运动，设点P运动的路程为

尤，△ABP面积为了(x).若函数V=/(x)的图象如图(2),则AABC的面积为()

“7

图Q)

A」0B.16

C.18D.32

9.若函数y+3,(。>0且awl),则该函数过的定点为()

A.(l,3)B.(0,1)

C.(l,o)D.(2,4)

10.下列函数中与函数y=尤是同一个函数的是()

A.=(A/X)2B.y=(也甘

LY2

="D.y=一

x

11.设。、b、c依次表示函数=f-x+1,g(x)=logjx—x+l,-x+1的零点，则。、b、

c的大小关系为O

\.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

12.已知定义在尺上的偶函数/(尤)，在(-8,0］上为减函数，且/(3)=0,则不等式(尤+3)/(%)<0的解集是()

A.(TO,—3)u(3,+oo)B.E—3)U(0,3)

C.(-3,0)o(0,3)D.(—8,—3)U(—3,3)

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

x2+2x-1,x,,0

13.函数y=<的零点个数为一

lg%+2%-3,%>0

14.如果直线(2a+5)x+(a—2)y+4=0与直线(2—a)x+(a+3)y—1=0互相垂直，则实数。=

15.若角a的终边经过点打一3,4),贝！］sin2a=.

16.正方体AC1中，E,尸分别是。。，8。的中点，则直线与所所成角的余弦值是.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(1)写出下列两组诱导公式：

①关于乃-a与a的诱导公式；

②关于-a与a的诱导公式.

(2)从上述①②两组诱导公式中任选一组，用任意角的三角函数定义给出证明.

Y-U1

18.已知函数/(x)=log“——,(a>0且a/1)

x-1

(1)判断函数的奇偶性；

⑵判断函数/(x)在(L+8)上的单调性，并给出证明;

(3)当尤—2)时，函数/'(X)值域是(1,+8),求实数。与自然数”的值

19.已知2sina=cosa

(1)若a在第三象限,求cos(»—a)的值

(2)求的值

s•m2a-cos2a

20.已知在第一象限，若A。/),B(5,l),ZA=60°,求:

(1)边AB所在直线的方程；

21.已知直线/经过点(2,1)和点(4,3).

(I)求直线/的方程；

(II)若圆C的圆心在直线/上，并且与V轴相切于(0,3)点，求圆C的方程

22.已知函数/（；0=七一是定义在尺上的奇函数.

l+eA

（1）求函数/⑴的解析式，判断并证明函数y=/（尤）的单调性；

（2）若存在实数re[l,4],使/（/+2f+左）+/（-2/+2f-5）>0成立，求实数上的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.）

1、B

【解析】由零点存在定理判定可得答案.

【详解】因为/（%）在（0,+8）上单调递减，

且"2）=-log52+l>0,/（3）=-log53<0,

所以/（%）=—logs%—x+3的零点所在区间为（2,3）

故选：B

2、D

【解析】作出图形，能够做到取与A5,AC垂直，5c与R4,5P垂直，得解

【详解】如图，口，平面A3C,

CBLAB,

贝！ICB±BP,

故四个面均为直角三角形

故选O

p

B

【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.

3、C

【解析】由函数的零点的判定定理可得/(-1)/(1)<0,解不等式求得实数。的取值范围

【详解】由题,函数/(x)=依+1单调，又在区间(-1,1)上存在一个零点，则<0,即(1

-a)(1+a)<0,解得aV-1或a>l

故选C

【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题

4、D

【解析】由题可得函数/(尤)为偶函数，且在(0,+。)上为增函数，可得12cos乂<1,然后利用余弦函数的性质即得.

【详解】•••函数/(%)=2.+%2,定义域为R,

/./(-%)=2H+(-X)2=2H+X2=f(x),

二函数/Xx)为偶函数，且在(0,+。)上为增函数，/⑴=3,

■:/(2cosx)=/(|2cosx|)<3=/(I),,

/.|2cosx|＜1,即—；＜cosx＜；,又xen7t

故选：D.

5、D

【解析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率结合点斜式即可求方程.

【详解】由题意知，圆C：(X-2)2+/=4,圆心C(2,o),在圆上，

所以切线的斜率为且，

3

所以在点P(1,上)处的切线方程为y-6=#(X-1)，

即x-岛+2=0.

故选：D.

6、D

【解析】由题可得函数—2x+ln|x—1|关于l=1对称，且在(1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减，

]tz-l-l|＞|2tz-l-l|

进而可得”1/1，即得.

2a—1/1

【详解】•••函数"%)=犬—2%+1川%—1|,定义域为xe(F』)U(L”)，

又/(2-x)=(2-x『-2(2-x)+ln|2-x-l|=x2-2x+ln|x-l|=/(%),

所以函数/(%)=f—2x+ln|x-1|关于尤=1对称，

当xe(l,+8)时，y=*一2苍丁=1川%-1|单调递增，故函数/(x)=f-2x+ln|x-l|单调递增，

二函数/(%)=%2—2%+山上—1|在(1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减，

由/(a-1)〉/(2Q-1)可得，＜o-l^i,

2a—Iwl

4

解得0＜。＜一，且awl.

3

故选：D.

7、A

【解析】根据对数、指数、一次函数的单调性判断BCD,根据定义判断/(%)=-3x的奇偶性.

【详解】因为/(x)=log3%,/(%)=3x,/(x)=3、在定义域内都是增函数,所以BCD错误；因为/(-%)=3%=-/(%),

所以函数/(幻=-3》为奇函数，且在(-8,+oo)上单调递减，A正确.

故选：A

8、B

【解析】由题意，当P在上时，S^ABP^^\AB\Xi

当「在8上时，S^ABP=^\AB\\BC\

图（2）在x=4,x=9时图象发生变化，由此可知|3C|=4,|CD|=5,|DA|=5

根据勾股定理，可得|A却=5+J5—42）=8,

所以心房=3人却忸C|=gx8x4=16

本题选择B选项.

9、D

【解析】根据指数函数丁=优,（。>0,。。1）的图像经过定点坐标是（0,1）,利用平移可得到答案.

【详解】因为指数函数y=",（a>0,a。1）的图像经过定点坐标是（0,1）,

函数》=优图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到了=。1+3,

函数尸a-+3的图像过的定点（2,4）.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是指数函数的图像和性质，考查学生对指数函数的理解，是基础题.

10、B

【解析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数y=（、6）2的定义为［0,+8）,因为函数的定义域为R,

所以两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于B中，函数y=（五了=x与函数，=尤的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；

对于C中，函数丁=行=凶与函数丁=%的对应法则不同，不是同一函数；

一

对于D中，函数y='的定义域为（―8,0）U（0,+8）,因为函数y=x的定义域为R,

x

所以两函数的定义域不同，不是同一函数.

故选：B.

11、D

-1

【解析】根据题意可知，、=尤2»=108］羽丁=（3），的图象与、=尤-1的图象的交点的横坐标依次为“,仇。，作图可

22

求解.

-1_

【详解】依题意可得,y=尤2,y=log］尤,y=（5『的图象与y=x-l的图象交点的横坐标为a,b,c,

22

作出图象如图:

由图象可知，b<c<a,

故选：D

【点睛】本题主要考查了塞函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.

12、D

【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集

%+3<0x+3>0

【详解】由题意，画出Ax）的图象如图，（x+3）/（x）<0等价于/(%)>01或,意）<0,由图可知，不等式的

解集为(—8,—3)U(—3,3)

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13、2

【解析】当xWO时，令函数值为零解方程即可；当x>0时，根据零点存在性定理判断即可.

【详解】当xWO时，x2~\~2x—1—0=>x1——5/2—1,x,=\/2—1,

；々>0，故此时零点为七=一加一1;

当x>0时，y=lgH2x-3在(0,+8)上单调递增，

当x=l时，j<0,当x=2时，j>0,故在(1,2)之间有唯一零点；

综上，函数y在R上共有2个零点.

故答案为：2.

14、—2或2

【解析】分别对两条直线的斜率存在和不存在进行讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于。的方程可求

得结果

【详解】设直线(2a+5)x+(a—2)y+4=0为直线加；直线(2—a)x+(a+3)y—1=0为直线〃，①当直线机率不

存在时，即a—2=0,a=2时，直线”的斜率为0,

故直线〃［与直线〃互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直

②当直线冽和〃斜率都存在时，鼠=-一二q要使两直线互相垂直，

a—2a+3

即让两直线的斜率相乘为-1,故a=-2

③当直线〃斜率不存在时，显然两直线不垂直，综上所述：。=2或。=-2,

故答案为a=2或a=—2.

【点睛】本题主要考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于-1,应注意斜率不存在的情况，属于中档题.

24

15、——

25

【解析】根据三角函数的定义求出sine和cosa的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.

【详解】因为角a的终边经过点尸(-3,4),

所以x=—3,y=4,则,耳=’(—3)2+42=5，

16、逅

3

【解析】结合异面直线所成角的找法，找出角，构造三角形，计算余弦值，即可

【详解】

连接3。，而3,平行EF,所以直线与所所成角即为设正方体边长为1,则4〃=)=A/3，

所以余弦值为42=卒=逅

BD[G3

【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线A，与所所成角即为NAZ)d，难度中等

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(1)详见解析(2)详见解析

【解析】(1)按要求写出对应公式即可.(2)利用任意角定义以及对称性即可证明对应公式.

【详解】(1)①sin(%-a)=sin。，cos(乃一。)=一cosa,tan(乃一a)=Tana.

@sin(-a)=-sina,cos(-a)=coscr,tan(-«)=-tancir.

(2)①证明：设任意角a的终边与单位圆的交点坐标为片(x,y).

由于角n一a的终边与角a的终边关于》轴对称，

因此角n-a的终边与单位圆的交点P2与点R关于》轴对称，

所以点鸟的坐标是(-羽力

由任意角的三角函数定义得，

.V

sincr=y,cosa=x,tana=—；

x

sin(»-a)=y,cos(乃一o)=-x,tan(^-6z)=--.

所以sin—a)=sine,cos(〃一a)=-cosa,tan(一。)二一tana.

②证明：设任意角a的终边与单位圆的交点坐标为片(x,y).

由于一a角的终边与角a的终边关于x轴对称，

因此角一。的终边与单位圆的交点£与点耳关于x轴对称，

所以点£的坐标是(乂-y).

由任意角的三角函数定义得，

si.ncr=y,cosa=x,tana=—V；

x

sin(-a)=-y,cos(rz)=x,tan(-cif)=--.

x

所以sin(-a)=-sina,cos(-cr)=cos«,tan(-iz)=-tana.

【点睛】主要考查对诱导公式的掌握以及推导过程，熟练运用任意角三角函数的定义，属于基础题.

18、(1)奇函数，证明见解析；

(2)答案见解析，证明见解析；

(3)n=l,a=2+^3•

【解析】(1)利用奇偶性定义判断/'(x)奇偶性.

(2)利用单调性定义，结合作差法、分类讨论思想求/Xx)的单调性.

(3)由题设得a>〃+2且“eN,结合(2)有了。)在(1,+8)上递减，结合函数的区间值域，求参数心〃即可.

【小问1详解】

V-I-1

由题设有一->0,可得函数定义域为(-8,-1)口(1,+8),

x-1

,一%+1x—1%+1

/(一%)=log]-----=log]—-二—log]--=-/(X)，

-x-1x+1x-1

所以/(%)为奇函数.

【小问2详解】

,//、//\1M+11%+11xx?+x?-x]

令为〉％〉1，贝二（石）一…log.Rzplog.==log”X1-X；；X1

八X[X>+x-x,-1

贝（|0<——Z9——!一<1,

又XxX2+X2-Xl-1-（王冗2—尤2+玉—1）=2（X2-%!）<0,

'X{X2-X2+%1-1

当0<”1时，/(x1)-/(x2)>0,即/(石)〉/(々)，则/■(》)在(L+8)上递增.

当。>1时，f(Xl)-f(X2)<0,即/(西)</(>2),则/(X)在(1,+8)上递减.

【小问3详解】

由〃EN,则。一2>〃20,即〃>〃+2,

结合(2)知：f(x)在(1,+8)上递减且值域为(L+8)，

要使/'⑴在(〃,。一2)值域是(1,+8),贝！|〃=1且-2)=1,即4a+i=o,

所以。=2±6，又a>〃+2=3,故。=2+6.

综上，n—1,a=2+A/3

【点睛】关键点点睛：第三问，注意。-2>〃20,即有/'(X)在(1,+8)上递减，再根据区间值域求参数.

19、(1)(2)-3.

5

【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果

(2)直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果

［详解】(1)由于2sina=cosa

所以tana=!，

2

又a在第三象限，

函.百26

改：sina=----，cosa=------，

55

贝!I：cos(7i-a)=-cosa=~~~

(2)由于：tana=~,

l

2—+1

_(sina+cosa)_sina+cosa_2_

“I«；■~~22-—-~~22———―—T

sina-coHsasina-cosasina-cosa

2-

【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式应用和诱导公式的应用，属于基础题

20、(1)y=1；

(2)y-l=V3(x-l)^,y-l=-73(x-l).

【解析】(1)直接写出直线方程得解；

(2)求出直线AC的斜率即得解.

小问1详解】

解：因为4(1,1),5(5,1),

所以直线AB所在直线方程为y=L

【小问2详解】

解：当点C在直线y=l上方时，由题得直线AC的斜率为石，

所以边AC所在直线点斜式方程为y-l=0(x-1)；

当点C在直线y=l下方时，由题得直线AC的斜率为-6，

所以边AC所在直线的点斜式方程为y-l=-石(x-1).

综合得直线AC的方程为y~l=石(x—1)或y—1=-瓜x-1).

21、(I)x-y-1=0；(II)(x+2)2+(y-3)2=4

【解析】(I)由两点式，可得直线1的方程；(II)利用圆C的圆心在直线1上，且与y轴相切于(0,3)点，确定圆心

坐标与半径，即可求圆C的方程

试题解析：(I)由已知，直线/的斜率左=3=1,

4-2

所以，直线/的方程为x-y-1=0.

(II)因为圆C的圆心在直