中科院历年高数A 03-10真题

中国科学院-----中国科技大学

2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学(A)

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、选择题(每题只有一个答案是正确的，每小题5分，共25分)

(1)当X.0时，工5111’是()

XX

A.无穷小量B.无穷大量

C.有界且非无穷小量D.无穷且非无穷大量

(2)设/⑴可微且满足物”一则曲线y=/(x)在(0J(0))

处的切线斜率为()

A.-2B.2CD.-

22

(3)二元函数f(x,y)在(%,%)处的两个偏导数存在是f(x,y)在(%,%)处

可微的()

A.充分条件B.必要条件

C.充分必要条件D,既非充分也非必要条件

00

(4)正项级数收敛的充分条件是()

n=l

A.也＜1(neN)B.(neN)

CO00

c.E(«„+«„+1)收敛D.收敛

n=ln=l

(5)下列广义积分中发散的是()

xlnx7

A.------Tr^-dxB.

(l+x)-X

Inx7

---z---ax

2

c「x(x-1)X

二、填空题(每小题5分，共25分)

x12

(1)lim\——J=o

%-。x-sinx

(2)曲线y=sinx(0<x<和x轴围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体

的体积是o

(3)二重积分ff2sinX+3sinydxdy=________。

xVvtismx+smy

22

(4)平面x+2y+z=1与椭圆柱面三+二=1相交所成的椭圆的面积为

23

_________O

(5)向量场西;:+…的旋度为__________0

-y=/(x,z)

三、(8分)设二元函数/具有一阶连续偏导数，关系式j/=yz可确定函

数y=y(x)及z=z(x)求电及

axax

四、(8分)设/⑴满足条件/(x)=/(x)-1,f(0)=2o

(1)求:(尤);

(2)求不定积分J(7(x)-l)ln/(x)dx。

8

五、(8分)求哥级数£(-1)"」巳/+1的收敛半径和函数。

〃=0〃+1

六、(8分)求微分方程y〃+2y，+y=ef的通解。

七、(12分)设/(x)在［0,1］中有连续二阶导函数。

(1)证明：x(l-x)f(x)dx=/(0)+/(I)-2f{x}dx；

(2)当/(0)=l,/⑴=-1且『(x)归"时，试证：丝。

八、(12分)计算曲线积分［(e*siny-y)dx+e*cosydy,其中L是以(0,0)为起

点，以(2,0)为终点的上半圆周(x-l)2+y2=i。

九、(12分)计算曲面积分口(丁-x)dydz+zdxdy,其中S是有向曲面

z=x2+y2(0<z<l),其法向量与z轴正方向夹角为锐角。

十、(12分)设/(x)是以27为周期的偶函数，当0Wx4万时，f(x)=l-x2o

(1)将/(x)在［-7上展开成傅里叶级数；

(2)根据⑴求之又丁和£占。

n=l〃n=l〃

H-一>(10分)设函数/(x)在［0,+00)上连续,在(0,+oo)上可微，/(0)=0。当x〉0

时，0<f\x)<f(x),证明/(x)恒等于0。

十二、(10分)设/(%)在(0,1)上一致连续，证明/(x)在(0,1)上有界.举例说明

逆命题不成立。

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2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学(A)

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、单项选择题(每题5分，共25分)

1.如果函数/(x),g(x)在点x=a附近有定义，下列四个论断正确的是()

A.若/3)=1,则存在5〉0,使得/(x)在(a-b,a+R上严格单调;

B.若/(%)在x=a点取到极大值，则/(%)在x=a点左侧单调增、右侧单

调减；

C.若/(a)=0,/(%)在x=a点处可导，则在x=a点处可导的充要

条件是广3)=0;

D.若/(x)和g(x)都在x=a点取到极大值，则函数/(x)g(x)在x=a点

必取到极大值。

2.当X-0时，下列四个无穷小量阶数最高的是()

1,p2--

A.ln(l+x)-x+—xB.1e，dt

414

C.x—(———cosx)sinxD.cx—1

3•1n

3.设/(x)=<''inx'X*,则/(x)在％=0处()

0,x=0

A.不连续;B.连续，但不可导;

C.可导，但导函数不连续；D.可导，且导函数连续。

4.设/(0,0)=0,当(x,y)w(0,0)时/(x,y)为如下四式之一,则/(x,y)在点

(0,0)处两个偏导数都存在的是()

5.下列四个论断正确的是()

A.若对所有自然数〃，％〉0满足联<1,则正项级数收敛；

an“=1

了00

B.若对所有自然数"，明〉0满足疯<1,则正项级数收敛；

n=l

C.若正项级数收敛，贝(Jlim2=0；

n->co

n=\"n

+co+001

D.若%>0单调减，且级数£(-1)"4发散，则级数£(，)"收敛。

“=i„=i«„+i

、填空题(每题5分，共25分)

6.方程y"-2y'+y=e'的通解为。

81

7.级数£(〃+—*的和为

n=l"

8.设/(x,y)是连续函数，。是由直线x+y=l与x轴、y轴所围成的平面域。

已知关系式^f(x,y)dxdy+f(x,y')+e^yr=0成立，则积分

D

jjf(X,y)dxdy=。

D

-7uc-2m

9.积分r幺=-dx=

10.积分fJw(-x2)"dx=o

三、解答题(每题8分，共40分)

U/^y=y(x)是由lnF7=arctan2确定的隐函数，求◎和嗯。

xdxdx

12.计算^zdxdydz,其中V是球面/+/+名？=2az和/+/+名？=〃z所围

v

成的空间区域，。〉0为常数。

13.(1)将)1=arcsinx展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式；

(2)对0<b<l,证明：存在Je(O,b),使得J1—《arcsinbnb；

(3)求极限liml,其中I由(2)确定。

8-0+b~

14.利用欧拉积分及r函数的余元公式r(5)r(i-5)=-^―

sin(s»)

(0<S<l)计算积分，(曰)“，其中常数「满足。<"1。

小x-a

15.设第二型曲线积分］(/'(x)y2+/(0)y+ye孙)dx+(x2y+x+xe，u)dy与路径

无关。

(1)求/(x);

小23)

(2)求］(/'(x)y2+/(0)y+”孙)dx+(/y+1+初)办。

*0,0)

四、解答与证明题(每题12分，共60分)

16.求点(7,7-1)到曲面Z=/+寸的最短距离，并作几何解释。

17.设/(x)是二次连续可微函数，并设向量场

三|/(0)z+(尸⑴+/(%))0+卜+/(0)z|]+(1+y)1是无旋场。

(1)求未知函数/(%)所满足的微分方程初值问题;

(2)求解(1)中的初值问题。

18.^P=—_,_—

v=Pi+Qj+Rko求第二型曲面积分J］Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,其中S由球面

S

x2+y2+z2=l与抛物面z=x2+产—1所围成的有界区域，外侧。

19.设/(x)=x(0<x<l)o

(1)将/(x)展开成以2为周期的傅里叶余弦级数;

（2）利用（1）中结果求积分rlln—67x；

x2-x

+001

（3）利用⑴中结果求级数和£与。

n=l几

20.设/（x）在区间[a,同上有连续的导函数，试证明：

（1）（〃。）一/（a））?4s_幻f（尸（初2公；

（2）max{/（x）|a<x<b]<1—j/（x）|dx+f。

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2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学(A)

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、单项选择题(每小题5分，共25分)

1.以下说法中正确的是()

A.无穷小量是比任何数都要小的数；

B.任意多无穷小量之积仍为无穷小量；

C.两个无穷大之和仍为无穷大量；

D.无穷大量与有界量之乘积未必是无穷大量。

2.设［0,1］在上/〃(x)<0,贝IJ1(0),尸⑴，/⑴-〃0)间的大小顺序为()

A.f(l)-/(0)>/,(0)>f，(l)B./X0)>f(D-f(0)>f,(l)

C.f,(0)>f，(l)>f(l)-/(0)D.fXl)>/W>/(l)-f(0)

3.已知函数/(x,y)满足/(x+y,x—y)=/一y2,贝汁+=()

dxdy

A.2x—2yB.2x+2y

4.下列级数或积分中收敛是(

ooioo/i\n

A.£—B.

n=2〃In〃n=l(]+

n

5.设m,-q都是正数，则，/-(I-/).公等于()

A.B.c.-r(-)r(^)D.lr(-)r(^)

mmnnmmnn

二、填空题(每小题5分，共25分)

1n

6.lim—V[ln(i+〃)-In〃]=_____

gnJZ=1

7.设。是圆域V+y2<4,则行,+1dxdy=o

+ey+2

x=t

8.在曲线Iy=-r的切线方程中，与平面3x+3y+z=4平行的切线方程是

9.级数£2字的和为o

n=02

10.设/(幻可微且满足等式f(2/Q)-1)力=则f(x)=o

三、解答题(每小题8分，共40分)

11.设y=y(x)是由方程组卜=3产+253所确定的隐函数，求◎及

/sinr-y+l=0dx

d2y

2­0

dxt=()

12.求不定积分172X+x~dxa

13.设容器底面在水平面Oxy上，z轴竖直向上，其侧面是由。xz平面曲线

x=z2-z+1绕z轴旋转而得的旋转曲面。今以1米3/秒的速率向容器内灌水。试

问当容器内水面高度为/?米时，容器内水面上升的速率是多少米/秒？

14.设/(y)是连续函数，试将累次积分fdx『cos(x-y)/(y)力化成一个定积

分。

15.试将函数/(x)=一一在x=1处展开成基级数，写出展开式成立的区

x-x-6

间，并求/㈤(1)。

四、解答与证明题(每小题12分，共60分)

16.(1)求函数7+/+1的极值；

(2)求在条件x+y-3=0之下函数z=/+y2+1的条件极值；

(3)说明几何意义。

17.设曲面S的方程z=Ja?-X?-y?,cosa,cos/?,cos/是此曲面下侧法

向量的方向余弦，计算jj[xz2cosa+(x2y-z3)cos+(2xy+y2z)cosy\lS。

s

18.设0(x),〃(x)都是二次可微函数，9(0)=0,"(0)=2,〃(0)=2,

P(x,y)=[2x0，(x)+〃(x)]y2一2yi//(x)tan2x,Q(x,y)=[°'(x)+4x/(x)]y+〃(x)

(1)求出0(x)与〃(x),使空间曲线积分JP(X,y)dx+Q(x,y)dy+(p{z}y/{z}dz

c

与路径无关；

(2)求平面曲线积分-')P(x,y)dx+Q(x,y)dy的值。

40,0)

19.设a数满足0<a<1,又设在0<x<7T_h,/(x)=cosax。

(1)在[0z]上，试将/(x)展开成以2万为周期的余弦级数；

1co11

(2)求级数l+£(—1)"(—二+―L)的和；

u〃=i〃+〃a—n

(3)写出与(1)中展开式相应的巴塞瓦尔等式。

20.证明题

(1)设/(x)二次可导，f(0)=f,(0)=f(D=0,试证存在Je(0,l),使

得于"©+4-蔗)+(4-+2—0；

(2)设/(x)在[0,1]上可积且j/(x)dx〉0,试证存在子区间[a,b]u[0,1],

对Vxe[a,b],有/(x)〉0。

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2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学(A)

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、填空题(本题5小题，每小题5分，满分25分)

1•设a>Q9贝!JJJ.2+乙2dx=o

2.设P是曲面z=/+盯+V上的一点,曲面在P点处的切平面平行于平面

x—y+3z+79=0,贝点的坐标为。

3.设,-l<y<1,则二重积分-sin'dxdy的值等于

O

4.方程y"+y'+y=0的通解为o

二、单项选择题(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

l.limjf(x(2-x))"t/x=()

2./(x)=g-5)(-山(

A.有极值点5和拐点6；B.有极值点6和拐点5；

C.5和6都是/(x)的极值点;D./(x)没有拐点。

3.积分「为子公=

X

sinx,

-ax

rx

4.设二元函数/(x,y)可微，/(x,x2)=2%2,/二(%,*2)=2*,则/：0,/)等于()

A.xB.1C.0D.无法确定

5.设曲线L：卜+V+Z2=7,则()

x+y+z=3

22

A.^xdl=6兀B.^ydl=5兀

LL

C.Jzd/=4〃D.^xdl=3〃

LL

三、(本题5小题，每小题8分，满分40分)

1.求积分f君*公。

2.设曲面块S是上半球面x2+y2+z2=l(z>0)被柱面x2+产=%所截下的部

分,S上有一物质分布其密度为2+y,求曲面上该物质的重量。

3.设z(x,y)=fe""故+fye(w%,向量，=j+j,其中"j是x,y轴上指

向正方向的单位向量，求当(0,1)。

81

4.将R—展开成(x-l)的塞级数，并求它的收敛域。

/+3x+2

5.设。<b,试将积分f/1dx用欧拉积分表示,并根据「函数的

工J(x-a)(b-x)i

余元公式r(x)r(l-x)=-^―,(0<x<1)算出以上积分的值。

sin(7zx)

四、(本题5小题，每小题12分，满分60分)

1.设函数M(X,y)=6xy,求a(x,y)在平面闭区域(x-y)2+3y2<1上的最大值与

最小值。

2.计算积分］(y2_y)dx+(z2-Z)dy+(x2-x)dz,其中L是球面x2+y2+z2=a2

与平面x+y+z=0的交线，L的方向与z轴正向成右手系。

3.(1)试构造一个齐次的二阶线性微分方程y〃+p(x)V+q(x)y=0,使它以x,

e'为基本解组；

(2)求出相应的非齐次方程y〃+p(x)V+q(x)y=x-l的一个特解，并写出该

非齐次方程的通解。

4.将7-2忖(OVxW乃)展开成以24为周期的Fourier级数，并求出数项级数

£3与之_i_的和。

M〃-占(2〃-

5.(1)设/"(x)在闭区间以㈤上连续，证明存在使得

,所”加0一”(竽)+早

(2)设在[a,“上处处有1(x)存在，利用费马定理证明达布定理：存在

ce[a,b],使得广(c)=g[f'(a)+f'(b)]。

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2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学(A)

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

1.jtanxln(cosx)dx=

2.已知z=/(±+21ny),/为可微函数，贝I」/包+丁生=_______________

xdxdy

3.平面3x+4y-3z+16=0与椭圆球面3/+y2+z2=16相切，贝！

4.设。为圆域/+,2«©,则jjarctane^dxdy=。

D

5.微分方程y'+-y=—的通解为________________________。

xx(l+x2)

二、单项选择题(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

1.设/(x)在毛的某邻域内有三阶导数，且1而小=1,贝U()

X。X-Xo

A./(%)是/(x)的极小值；

B./(%)是/(x)的极大值；

C.(%,/(%))是曲线y=/(x)的拐点；

D./(%)不是极值，(/,/(%))也不是曲线y=/(x)的拐点。

2.设/。)=『，厂6一吗力，则()

A./(x)是以2万为周期的偶函数;

B./(x)是以2乃为周期的奇函数;

C./(x)是以乃为周期的偶函数;

D./(x)是以〃为周期的奇函数。

d-COSX2ri.

3./(x)=j(e「一l)dt,g(x)=x，+/,贝!J当x-0时，/(x)是g(x)的()

A.低阶无穷小B.高阶无穷小

C.等价无穷小D.同阶但不等价的无穷小

00

4.级数()

n=l-

3449

A.In-B.In-C.-D.-

4394

5.已知q=3£cos(2"1)£(一万WxW乃)。为常数，贝()

冗n=l(2〃-1)

TC

A.B.-C.-7iD.n

~22

三、(本题共5小题，每题8分，满分40分)

x=ln(l+r)求"yd2y

1.已知一

y=t-arctantdxdx1

2.设/(x)在［0,1］上连续，且/(x)<l,证明方程2x-17⑺力=1在(0,1)上只有

唯一解。

3.设/(x)在(0,+oo)上连续，且lim/(x)=A(AwO),求limf/(〃x)dx。

x—>+oon—>00J)

4.利用欧拉积分计算『在1公o

5.将“M士在“一展开成辱级数,并求收敛域。

四、(本题共3小题，每小题12分，满分36分)

1.设y=/(x)有二阶连续导数，且曲线积分

j(y2+2yf(x)~6xye~x)dx+(/r(x)-/(%)+2xy+2e~x)dy=0,L是平面上任意一条

L

方向为逆时针的封闭曲线。

(1)已知/(0)=0,广(0)=0,求y=/(x);

(2)计算,f(x)dxo

2.求二元函数/(x,y)=xy(2x+y-1)在由x轴、y轴和直线x+y=1所围成的

闭区域。上的最大值和最小值。

3.设s是单位球面产+俨+22=1的外侧，y=——

(a2x2+b2y2+c2z2

(1)求dz'W；

(2)求曲面积分［史隹士2幽士学,

s(a2x2+b2y2+c2z2)A

五、(本题共2小题，每小题12分，满分24分)

1.将/(%)=乃2一%2(-乃＜xW乃)展开成周期为24的Fourier级数，并求

§(_］严CO1

,於。

Z?〃2

2.设/(x)在［0同上二阶可导，\f(x)\<M,又/(0)<0,/(a)<0,

max/(x)=0,

0<x<a

证明：

(1)『(o)|+『(小M

(2)£|f(X)|t/x<y(73o

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2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学(A)

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

1.已知广(%)=3,则lim/(Xo)-/(X°-2x)=o

2.设f(x)的一个原函数是J,则\xf'(x)dx=o

3.数量场M=/+2/+3z?在点的最大方向微商值为

002n

4•级数£］二的收敛半径为o

n=l2+3

5.微分方程y--y=l的通解为o

X

二、单项选择题(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

1.设/(0)=0,则/(x)在点x=0可导的充要条件为()

A.存在B.存在

C.lim』/(ln(l+t))存在D.Iim1［/(2t)—/«)］存在

一。t一0t

2

2.设曲面f+y2一?=1在点(U⑵处的法线为L,又设4：

——-=—―-=-~~-,n：x+y+4z=l,贝!J()

210

A.L与L］相交，且L平行于万；B.乙与乙相交，且L垂直于万；

C.L与4异面，且L平行于下；D.L与4异面，且L垂直于万。

3.设S是柱面x2+y2=R2(Q<z<R)的外侧，则jj(x2+y2)dxdy的值为()

s

A.2成3B.2成&C.成4D.0

00

4.设级数收敛，则下列结论中正确的是()

n=l

0000

A.级数收敛B.级数收敛

n=ln=l

C.级数收敛D.级数£鱼绝对收敛

n=lV"n=l〃

5.设f(x)=x-L(0<x<2L),则其以2L为周期的傅里叶级数在点x=-g收

敛于()

AL。3L丁L八3L

A.B.C.—D.—

2222

三、(本题共5小题，每小题8分，满分40分)

1.计算极限lim辿上粤皿。

2.计算广义积分「----dxo

上(2+X2)V17X7

3.利用欧拉积分计算，

dxo

Vl-x6

4.设/(a,v)具有二阶连续偏导数，z=/(xy2,2),求当，包£

xdxoxdy

5.计算二重积分fdxjcos/dy。

四、(本题共3小题，每小题12分，满分36分)

1.设/(x)具有二阶连续导数，/(0)=1,r(0)=1,且曲线积分

J(e*siny+2yf'(x)+2xy)dx+(1(x)+/(x)+2x+e*cosy)dy与路径无关。

L

(1)求)(无);

(2)当L是从(0,0)沿曲线y=/到(ij)的有向曲线段时，求以上曲线积分

的值。

2.将函数旷=xarctanx-gln(l+%2)在x=0处展开成泰勒级数，并求收敛域及

y(-D，!

M(2〃+1)(2〃+2)°

3.将函数/(x)=|〃一展开成周期为2万的傅里叶级数(说明收

万一x0<x<^r

81

敛情况)，并求z昌区。

〃=i(2〃—1)

五、(本题共2小题，每小题12分，满分24分)

1.设/(X)在［0,1］上连续，在(0,1)上可导，f(0)=0,/(l)=2o

证明：(1)存在会(0,1),使/©=1;

(2)存在0<玉</<1，使+=

■f(^1)/(0)

2.(1)求歹(x)=f卜-乂故(常数a>0)在［0同上的最小值；

(2)设/(x)在［0,a］(a〉0)上连续，且f/(x)dx=0,/灯'(x)dx=1。求证:

存在一点e［0,司，使|/(%)|23。

中国科学院——中国科技大学

2004年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、填空题（本题共5题，每小题5分，满分25分）

l.limJsin1+sin—H—+sin—=_____________。

8\2n

2.设y—esiny=x（常数££（01）），则=。

dx

3.积分广皿/）二的收敛域为o

4.曲面z=arctanl在点（1,1,2）处的切平面方程为。

x4

5.微分方程y"-3y'+2y=cosx的通解为。

二、单项选择题（本题共5题，每小题5分，满分25分）

1.设S为球面/+y2+z?=氏2夕卜侧，贝!］亚％26々+产改公+22公6=（）

A.0B.成4C.2成4D.4成4

2.曲线x-1的渐近线的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

3.给定严格递增数列{A“},且A=a,lim4=+oo。函数/（x）在［a,+Q0）上连

n—><x）

oo,

续且非负，则积分「/（x）dx收敛是级数收敛的（）

n=ln

A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件

C,充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件

8riv

4.如果级数£lnl+g-5〉0)条件收敛，则()

n=2_〃—

A.0<p<1B.p>1C.p<1D.<p<1

5.设/(x,y)=J'+则下歹u选项正确的是()

0(x,y)=(0,0)

A./(x,y)在(0,0)处不可微，g,或在(0,0)处连续；

oxoy

B./(x,y)在(0,0)处不可微，g,笠在(0,0)处不连续;

exdy

CJ(x,y)在(0,0)处可微，g,更在(0,0)处连续;

exoy

DJ(x,y)在(0,0)处可微，工，笠在(0,0)处不连续。

oxdy

三、(本题共5题，每小题8分，满分40分)

rtanx

^(tant-t)dt

1.计算极限limJ---o

x-»0产nx.%

Ism/2tdt

2.计算积分(2尸Tdxo

3.利用欧拉积分计算j(tanx)%dx。

4.利用Stokes公式计算j(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中L：

,222_2

X,~a(a>0),从x轴正向看L为逆时针走向。

x+y+z=0

j_1

5.设〉0。证明：当y>x>0时，有(优+//尸〉(。，+匕，)>。

四、(本题共3题，每小题12分，满分36分)

1.求由曲面/+y2=az和z=2"Jx?+y2(°〉0)所围立体的体积。

co1

2.求级数£n(n+l)-一”的和函数，并求收敛域。

n=l〃(〃+1)

3.求人的取值范围，使得关于X的方程8+%2=1有唯一正根。

X

五、（本题共2题，每小题12分，满分24分）

1.将函数/（%）=-"NX"。展开成傅里叶级数（说明收敛情况），并求

〔依0<x<^

YY2

2.确定常数;I,使得三（/+//公一二S+y2ady=0在。=My）|y〉O｝内

yy

为一全微分方程，并利用曲线积分求此全微分方程的通解。

中国科学院——中国科技大学

2003年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

试卷名称：高等数学（A）

考生须知：

1.本试卷满分150分，全部考试时间总计180分钟。

2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷纸或草稿纸上一律无效。

一、填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

(「Vtanx-1

1.lim----------

2sinx-1

4

x=IuInudu》

2.设」Q0),贝ljg=

2x

y=^2uInudu

0011_9r

3.级数