2021届山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）附答案详解

2021届山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合”={x|—1<x<1},N={x\x[x-2）<0},则用。可为（）

A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-1,1)

1111W

2.已知复数家=±±（其中。是虚数单位），则复数2在坐标平面内对应的点在（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.角a终边上有一点P（zn,2）,则“cosa=是“巾=_弓”的（）

3

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.记△ABC各边的中点分别为D,E,F,在4B,C,D,E,F中任取4点，若这4点为平行四边

形顶点，则称为选取成功.某人连续进行3次这种选取，则至少成功1次的概率是（）.

0科"域161

AA-----B-----C-----D—

.燔,螺.7舞,警

5.（1+tanl°）（l+tan2°）（l+tan3°）...（1+tcm44°）等于（）

A.88B.22C.44D.222

6.设e2,e3,是某平面内的四个单位向量，其中eile2,。3与〃的夹角为45。，对这个平面

内的任意一个向量a=xer+ye2f规定经过一次“斜二测变换”得到向量的=xe3+避.设向

普

量L=一3%一204是经过一次“斜二测变换”得到的向量，则田是（）

A.5B.及C.73D.扃

7.函数“施磁=£客一景的单调递增区间是

A.：£-咻瀚B.（0,3）C.（1,4）D.:翁撒窗

111

8.数列{a九}满足的=1,且对于任意的nGN*都有a九+1=%+%+?!,则丁+广■1---1-----等于

al口2a2017

（）

陋40322017D4034

・2017・2017・2018*2018

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲乙两组数据的平均值分别为%甲、：Q，则（）

A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高

B.甲的成绩比乙稳定

C.%甲一定大于%乙

D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差

10.已知函数/'(%)=sin(2x+：),贝)

A./Q)最小正周期为兀

B./Q)的图象可通过y=s讥2x的图象上所有点向左平移?个单位长度得到

C./(x)=1成立的充要条件是x=l+kn,keZ

D./Q)在区间g,由上单调递减

oo

2222

11.已知双曲线C：三一3=19>0/>0)与双曲线。：二一匕=1有相同的渐近线，且过点

a2*6b2K71832

P(6,4V3),0,国为双曲线。的左、右焦点，则下列说法中正确的有()

A,若双曲线(；上一点M到它的焦点Fi的距离等于16,则点M到另一个焦点尸2的距离为10

B.若N是双曲线C左支上的点，且|Na|•INF21=32,则AFiNF2的面积为16

C.过点(3,0)的直线/与双曲线C有唯一公共点，则直线I的方程为4久-3y-12=0或4x+3y-

12=0

D.过点Q(2,2)的直线与双曲线总—急=1相交于4B两点，且Q(2,2)为弦4B的中点，则直

线4B的方程为4%-y-6=0

12.如图，在三棱锥P-4BC中，4B=BC=1,PB=a，AB1BC,PBVAC,

且P到平面4BC的距离为1,则下列说法正确的是()

A.三棱锥P-ABC的体积为±

6

B.AB与PC所成角的大小为60。

C.BC1PC

D.三棱锥P—ABC外接球的表面积为3兀

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若二项式(1+ax)”的展开式中，式的二项式系数为10,该项系数为-80,则/的系数为.

14.已知直线3x—4y—9=0和直线%：丫=一%抛物线y=/上一动点P到直线4和直线"的

距离之和的最小值是.

15.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，PC为球。的直径，且PCO4PC1OB,

△CMB为等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为延，则球。的半径为.

3

16.函数/(%)=x3-x2+1在区间［0,2］内的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/(%)=cosa)x•sin(tox--)+V3cos2o)x——(co>0,%GR),且函数y=/(%)图象的一

34

个对称中心到最近的对称轴的距离为土

(I)求3的值及/(X)的对称轴方程；

(H)在△4BC,中，角4B,C的对边分别为a,b,c.若/(A)=@,s讥C==遮，求b的值.

43

18.已知S九为数列｛a九｝的前?1项和，且满足%=，—1a九.

(1)求数列｛a九｝的通项；

(2)令“九=1。0工。九+1,证明：~7-7~+-77T~+T~7~+,•,+T-~=-•

2匕1匕2匕2匕3匕3匕4bn》n+l>1匕九+1

19.为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试,

并将问卷得分绘制频数分布表如表：

得分[3040)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性人数4912131163

女性人数122211042

将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(

得分低于60分)两类.

(1)完成2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”

与“性别”有关？

(2)以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再

随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X,求X的概率分布列和数学期望.

P(K2>ko)0.0100.0050.001

6.6357.87910,828

n(ad-bc')2

附：K2=<(zi=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)'

7

20.如图，在矩形28CD中，点E,F分别在线段48,4。上，AE=EB=AF=-FD=4.沿直线EF将

AAEF翻折成△A'EF,使平面4'EF1平面BEF.

(I)求二面角4—尸。—C的余弦值;

(口)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与4重合，求线段FM

的长.

21.已知椭圆C的中心在坐标原点。,焦点在x轴上，离心率等于四,它的一个顶点B恰好是抛物线/=

2

4y的焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/与椭圆C交于M,N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出

直线/的方程；若不可以，请说明理由.(注：垂心是三角形三条高线的交点)

22.已知函数/(%)=a(%+2)ex(aW0).

(I)求函数/(%)的最值；

(11)当久之一2时，/(%)>%2+6%,求实数a的取值范围.

参考答案及解析

L答案：B

解析：解:N={x|x(x—2)<0}=[x|0<x<2},

则MON={x|0<x<1},

故选：B.

根据集合的基本运算进行求解即可得到结论.

本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

2.答案：A

1ILilII因！

解析：试题分析：因为摩=券=胃三，复数h所对应的的点的坐标为所以在在第一象限.

考点：1.复数的运算；2.复数和复平面内点的对应关系.

3.答案：C

解析：

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，任意角的三角函数的定义，属于基础题.

根据任意角的三角函数的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：①由cosa=-g得/五=—g;.爪=—在，充分性成立，

②若m=—¥，贝％=J(-号)2+22=苧,cosa=;=；・必要性成立，

cosa=-徜n=—子的充要条件.

故选：C.

4.答案：C

解析：6点中任取4点，方法数是蹴=15.如图所示,

其中4点是平行四边形顶点的基本事件是4EFD,BFDE,CDEF,故1次成功的概率为二=」.根据题

嚼£

门飞

意，成功的次数X〜B:限1选取3次至少成功1次的对立事件是选取3次都没有成功，故所求的概

率是14>=则

5.答案：D

解析：解：(1+tanl°)(l+tan2°)...[1+tan44°)

=[(1+tanl°)(l+tan44°]][(1+tan2°)(l+tan43°]]...[(1+tan22°)(l+tan23°]]

1—tan44°1—tan43°1—tan23°

[(1tan44)(1

=++°»+1T^4F+...[(1+TT^)(1+tan23。)]

=2x2...2x2

=222,

故选：D.

先把原式转化为[(1+tanl°)(l+tan440]][(1+tan2°)(l+tan43°]]...[(1+tan22°)(l+

tan23。]](1+tan45。]利用正切的两角和公式化简整理.

本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的运用.解题的关键是注意到和tm44。，与1加45。

的关系.

6.答案：A

解析：因为h=-3内一2%,所以t=-3ei-462.又因为01©且。2是平面内的单位向量，所以

|t|=荷=++：1崛帆『十罢岚四强强=5

7.答案：D

解析：试题分析：因为翼礴:=：斑-毒靖，所以，由系态磁=/#：森;一驾版'=党窝一期>0,得x>2,

故函数■/静=（寓-W的单调递增区间是:翳#■噂，选D。

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性，指数函数的性质。

点评：简单题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。

8.答案：D

解析：解：,数列满足@1=1,且对于任意的几GN*都有册+1=Q九+Q1+几，

a九+i—。九=1+九,

+(。2一。1)+(。3—。2)■1-----1"(Q九一an-l)

=1+2+3+…+荏

ann(n+l)

11

+^+'"+^；=2[(1-2)+(2-3)+-"+(2017_2018)]

2017_4034

1009—2018

故选：D.

数列｛a"满足的=1，且对于任意的neN*都有&i+i=+的+71,可得an+i-%i=1+兀，利用

an=a1+(a2-%)+(a3-a2)+…+(an-味力,可得0n=也罗.再利用裂项求和方法即可得出.

本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、裂项求和方法，考查

了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.答案:BC

解析：解：甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，分)

----甲

甲乙两组数据的平均值分别为支甲、E乙,8

则由折线图得：、•二

30---------------------------------

在4中，第二次考试甲的成绩比乙的成绩低，故A错误；।,、..，~--

123456

在B中，甲的成绩比乙稳定，故B正确；

在C中，x甲一定大于x乙，故C正确；

在。中，甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差，故。错误.

故选：BC.

利用折线图的性质直接求解.

本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.答案:ACD

解析：解：对于函数f(x)=sin(2x+$,它的最小正周期为q=兀，故A正确；

4Z

把y=S讥2%的图象上所有点向左平移3个单位长度得到y=sin(2%+5)的图象，故B不正确;

/(%)=1成立的充要条件是2%+3=2"+热即％=""，keZ,故C正确；

当xeg,由，2x+三盾，号，故f(x)在区间邑由上单调递减，故D正确，

oo4ZZoo

故选：ACD.

由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

11.答案：BD

22

解析：解：由题意可知，设双曲线C的标准方程为土—匕=k(k>0),

1832v7

将点P(6,4^)代入双曲线方程，可得k=

22

故双曲线C的方程为二—匕=1,

916

所以a=3,b=4,c=5.

对于选项A,由双曲线的定义可知，||M0|-IMF2II=2a,即|16—IMF2II=6,

解得IMF2I=10或|MFz|=22,

故选项A错误；

对于选项8,若N是双曲线C左支上的点，则|NFz|—1NF/=6,

2

所以INF/2-2\NFr\■\NF2\+\NF2\=36,

又INF/•INF2I=32,

2

所以|NF/2+\NF2\=36+2x32=100,

22

又I&F2I=10,所以|NF/2+\NF2\=\FrF2\=100,

故A&NF2为直角三角形，

所以SA呵吃=£|NFI|•INF2I=5X32=16,

故选项2正确；

对于选项C,因为(3,0)为双曲线C的右顶点，

当过点(3,0)的直线1与双曲线C相切时，直线1与双曲线C有唯一的公共点，止匕时/的方程为x=3；

当直线I与双曲线C的渐近线平行时，直线，与双曲线C有唯一公共点，此时直线1的斜率为±%

故直线/的方程为y=±式%-3),即4久一3y—12=0或4x+3y-12=0.

综上所述，直线/的方程为x=3或4x-3y-12=0或4x+3y-12=0.

故选项C错误；

对于选项。，由题意，双曲线不——1=1即为次—旺=1,

a2-7b2-S28

设4(久1/1),8(%2，丫2)，则孑—薮=1，多—,=)

zozo

两式相减可得，无国—/二或=0,即心3心2_(yf)(i)=0)

2828

因为Q(2,2)为弦48的中点，

所以％1+%2=4,yi+y2=4,且直线/B的斜率存在，

故(%L%2)X4_仇一丫2)><4_0

所以直线的斜率k=㈢=4,

故直线4B的方程为y-2=4Q—2),即4x-y-6=0,

故选项D正确.

故选：BD.

先求出双曲线C的标准方程，利用双曲线的定义判断选项4利用双曲线的定义结合勾股定理，可得

△aN&为直角三角形，由三角形的面积公式求解，即可判断选项3分直线斜率不存在和直线与双

曲线的渐近线平行两种情况，分别求解直线［的方程，即可判断选项C；利用“点差法”求出直线4B

的斜率，由点斜式求出直线4B的方程，即可判断选项£>.

本题以命题的真假判断为载体，考查了双曲线的定义的应用，几何性质的应用，直线与双曲线位置

关系的运用，“点差法”的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

12.答案：ACD

所以PD=1,又因为PB=百，所以BD=VI;

结合条件8C=B4=L48可知四边形48CD为正方形，且P,A,B,C,。在边长为1的正方

体上.

结合正方体的性质，Vp-ABC=|x(ixlxl)xl=i,4选项说法正确.

因为4B〃CD,PC与DC所成角为45。，所以4B与PC所成角的大小为45。，B选项错误；

因为BC1平面PDC,所以BCLPC,C选项正确；

三棱锥P-2BC外接球即为正方体的外接球，PB为直径，所以表面积为47r-(^)2=3兀，。选项正确.

故选：ACD.

取4C中点0,连接P。，B0,过P点作B。的垂线，交B。的延长线于O,结合题目条件证明P,A,B,

C,D五点为边长为1的正方体的顶点，再在正方体中判断选项.

本题考查空间中垂直关系的应用，正方体的结构特征，属于基础题.

13.答案:80

rr

解析：解：依题意，Tt+1=-a-x,

产项的二项式系数为量=10,得n=5,

当r=3时，久3项的系数为.io=一80,所以a=-2,

所以—项的系数为废.(―2尸=80,

故答案为：80.

依题意，战=10,C^-a3=-80,解得n=5,a=—2,代入通项即可求出-的系数.

本题考查了二项式定理，考查了组合数的计算，二项式系数和项的系数的求法.属于基础题.

14.答案：2

解析：解：抛物线y=/上的准线方程为直线12：y=一；,焦点为(0,；)

44

根据抛物线的定义，可得抛物线y=/上一动点尸到直线人和直线4的距离之和的最小值焦点到直线

l1：3x-4y-9=0的距离.

由点到直线的距离公式可得d=嚅粤=2.

V3Z+4Z

故答案为：2.

抛物线y=/上的准线方程为直线12：y=-%焦点为(0,｝根据抛物线的定义，可得抛物线y=/

上一动点P到直线。和直线%的距离之和的最小值焦点到直线4：3%-4y-9=0的距离，由点到直

线的距离公式可得结论.

本题考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题.

15.答案：2

解析：解：设球心为。，球的半径

•••PC10A,PC1OB,PCI平面20B,

三棱锥P-ABC的体积可看成是两个小三棱锥P-AB。和C-2B。的体积和.

TyT7.T71V37c4-\/3

"V三棱脚_ABC=V三棱锥p_ABO+V三棱锥C-ABO=3xTxrXrx2=可，

■•■r=2.

故答案为：2.

欲求球的半径r.利用截面的性质即可得到三棱锥P-4BC的体积可看成是两个小三棱锥P-AB。和

C-28。的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r,从而解决问题.

本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定三棱锥P-ABC的体积可看成是两个

小三棱锥P-4B。和C一48。的体积和.

16.答案：||

解析：解：函数/(%)=/一+1,导数为：y'=3x2-2x,

令3%2-2x=0,可得久=0,或％=|,%e(0,|),/<0,函数是减函数，xe(|,2),y'>0函数

是增函数，

/(0)=1，f(|)=H，f(2)=5,

函数/(%)在区间［0,2］内的最小值为：||.

故答案为：|^.

求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解在闭区间上的最值.

本题考查函数的导数的应用，闭区间是的最值的求法，考查计算能力，是中档题.

17.答案:解：(I)函数/■(久)=costox,sin(5—工)+WcosZwc—立(3>0,x€R),

34

化简可得：/(%)=cosa)x(^sina)x-^-cosoox)+V3cos2tox—

1V3_V3

=--sina)xcosa)x4--coso)x——

224

1V3V3

=-sin2a)x+—(1+cos2a)x}...-

444

1V3

=-sin2a)x+—cos2cox

44

=1sin(2o)x+g)；

由函数y=/(%)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为3，

1言

得T万，解得3=1.

423

得/'(%)=|sin(2x+1),

由"+£=£+A-TT(A-€Z),求得』=A+8代€Z).

即的对称轴方程为1=/+6Z).

(H)由(I)知/⑷=/n(24+9=f,即sin(24+9=f.

Z34DZ

••・2/+g=2kn+g或24+g=2kn+拳k£Z,

解得：A=kn或A'K+'k€Z)

o

又•・,/e(0,yr),

.71

•••A=-.

6

由s讥C=-1<-1=sinA,CG

C<-,

6

得cosC=—.

3

•••sinB=sin(?l+C)=sinAcosC+cosAsinC

_V3+2V2

=-------,

6

a=V3

由正弦定理得：匕=竺妙=型”

sinA3

解析：本题主要考查三角恒等变换和正弦定理，考查三角函数的性质，属于中档题.

(I)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=%in(23x+&)，根据对称中

心到最近的对称轴的距离为弓，即=3可得T，即求3及/(%)的对称柚方程.

(即由/⑷=，得4=也又由s讥C=”=后利用三角恒等变换及正弦定理得求b的值即可.

18.答案：解：(l)Sn

可得ci]=Si=[-解得%=1,

.4141

几>2时,an=Sn—Sn_r=---an--+-an-i»

艮口有i，

则巧=(犷;

(2)证明：b=logia=logi(；)2n=2n,

n2n+12Z

1_1_11、

9

bnbn+12n-2(n+l)4mn+r

111_111111

brb2b2b3bnbn+14】223nn+V

=1(1———)=---

4、n+ly4(?i+l)'

n_n_n

b1bn+12-2(n+l)4(?i+l)'

则」-+—+—+•-•+一一=」一.

匕1匕2》2匕3>364bnbn+1b]Z?n+i

解析：(1)由数列的递推式：臼=51，n22时，an=Sn—SnT，计算结合等比数列的通项公式可得

所求；

2n

(2)求得%=logian+1=logi(|)=2n,—^―=—J—=由数列的裂项相消求和，

22N1J4?T?T।1

即可得证.

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式，考查数列的

裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.

19.答案：解：(1)由题意得到列联表如下：

不太了解比较了解合计

男性253358

女性53742

合计3070100

n(ad-ftc)2__100(25x37-33x5)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-30x70x42x58

•-11.29>10.828,•••有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关.

⑵由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为喘=看，且X〜8(3,5)，P(X=0)=酸舄尸=

—,P(X=1)=CK-)(-)2=—，P(X=2)=CK-)2(-)=-,P(x=3)=c^(-)3=—,

1000'715v107K1071000'715v107v10y1000'715v1071000

••・x的分布列为:

X0123

27189441343

P

1000100010001000

E(X)=°义,+lx血+2X,+3*减=«

解析：（1）利用已知条件填写列联表

不太了解比较了解合计

男性253358

女性53742

合计3070100

求出k2,即可判断是否有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关.

（2）求出概率，得到X的分布列，然后求解期望.

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力.

20.答案：解：（I）取线段

EF的中点“，连接4”,因

为4E=AF及H是EF的

中点，所以

又因为平面AEF，平面

BEF.

如图建立空间直角坐标系4-xyz

则4(2,2,2夜)，C(10,8,0),

F(4,0,0),£)(10,0,0).

故前=(-2,2,272).FD=(6,0,0).

设元=Q,y,z)为平面AFD的一个法向量,

—2x+2y+2az=0

所以6x=0.

取2=应，则元=（0,—2,企）.

又平面BEF的一个法向量记=（0,0,1）,

故cosW，记>=扁=乎—

所以二面角的余弦值为独

3

(11)设尸用=%,则M(4+x,0,0),

因为翻折后，C与4重合，所以CM=4”,

21

故，(6-吗2+82+。2=(一2一%)2+22+(2或)2,得％=丁，

经检验，此时点N在线段BC上，

所以FM=?.

4

方法二：

(I)解：取线段EF的中点H,4F的中点G,连接4G,A'H,GH.

因为AE=49及H是EF的中点，

所以AH1EF

又因为平面4EF，平面BEF,

所以AH_L平面BEF,

又AFu平面BEF,

故©H12F,

又因为G、”是4F、EF的中点，

易知GH〃28,

所以G”14F,

于是4F1面AGH,

所以NAGH为二面角4—DH—C的平面角，

在RtAAGH中，A'H=2V2,GH=2,A'G=2A/3

所以cosN4GH=更.

3

故二面角A—。尸—C的余弦值为隹.

3

(口)解：设FM=x,

因为翻折后，C与4重合，

所以CM=AM,

2

而CM?=DC2+DM2=82+仁—x),

A'M2=A'H2+MH2=A'H2+MG2+GH2=(2V2)2+(2+x)2+22,

故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2V2)2

经检验，此时点N在线段BC上，

所以FM=?.

4

解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空

间想象能力和运算求解能力.

(1)取线段EF的中点“，连接4”，因为AE=4F及"是EF的中点，所以4”1EF,又因为平面AEF1

平面BEF.则我们可以以4的原点，以AE,AF,及平面48CD的法向量为坐标轴，