二元一次不等式组与平面区域

关于二元一次不等式组与平面区域一、引入:

一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么,信贷部应刻如何分配资金呢？问题：这个问题中存在一些不等关系

应该用什么不等式模型来刻画呢？第2页,共26页，2024年2月25日，星期天设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金y元。则所以得到分配资金应该满足的条件：第3页,共26页，2024年2月25日，星期天新知探究：

1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：

含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；

（2）二元一次不等式组：

由几个二元一次不等式组成的不等式组；

（3）二元一次不等式（组）的解集：

满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；（4）二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。第4页,共26页，2024年2月25日，星期天

2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形

（1）复习回顾

一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间。如：不等式组的解集为数轴上的一个区间（如图）。思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？-3≤x≤4第5页,共26页，2024年2月25日，星期天

x–y<6的解集所表示的图形。

作出x–y=6的图像——一条直线Oxyx–y=6左上方区域右下方区域直线把平面内所有点分成三类:a)在直线x–y=6上的点b)在直线x–y=6左上方区域内的点c)在直线x–y=6右下方区域内的点-66下面研究一个具体的二元一次不等式

第6页,共26页，2024年2月25日，星期天

Oxyx–y=6验证：设点P（x，y

1）是直线x–y=6上的点，选取点A（x，y

2），使它的坐标满足不等式x–y<6，请完成下面的表格，横坐标x–3–2–10123点P的纵坐标y1点A的纵坐标y2-9-8-6-7-5-4-3-8-6-3-5640第7页,共26页，2024年2月25日，星期天

思考：(1)当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？(2)直线x–y=6左上方的坐标与不等式x–y<6有什么关系？(3)直线x–y=6右下方点的坐标呢？Oxyx–y=6y2>y1第8页,共26页，2024年2月25日，星期天

结论

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x–y<6的解为坐标的点都在直线x–y=6的左上方；反过来，直线x–y=6左上方的点的坐标都满足不等式x–y<6。Oxyx–y=6第9页,共26页，2024年2月25日，星期天

结论

不等式x–y<6表示直线x–y=6左上方的平面区域；不等式x–y>6表示直线x–y=6右下方的平面区域；直线叫做这两个区域的边界。

注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界第10页,共26页，2024年2月25日，星期天

一般地：

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）注1：

二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域OxyAx+By+C=0第11页,共26页，2024年2月25日，星期天

直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点注2：直线定界，特殊点定域。

第12页,共26页，2024年2月25日，星期天提出：采用“选点法”来确定二元一次不等式所表示的平面区域强调：若直线不过原点，通常选（0，0）点;若直线过原点，通常选（1，0）、（-1，0）、（0，1）、(0,-1)等特殊点代入检验并判断。_第13页,共26页，2024年2月25日，星期天你有什么发现？第14页,共26页，2024年2月25日，星期天

能不能猜想出y>kx+b表示的是直线y=kx+b的哪部分区域？同样，y<kx+b表示的又是直线y=kx+b的哪部分区域？结论１：y>kx+b表示直线上方的平面区域

y<kx+b表示直线下方的平面区域口诀：上大下小斜截式第15页,共26页，2024年2月25日，星期天例题1：画出下列不等式所表示的平面区域口诀：上大下小斜截式第16页,共26页，2024年2月25日，星期天拓展引申共同探讨：对于二元一次不等式Ax+By+C＞0（A、B不同时为0），如何确定其所表示的平面区域？结论2：当B>0时

Ax+By+C>0表示直线上方区域

Ax+By+C<0表示直线下方区域（注：由斜截式转化为一般式进行研究探讨或由一般式化归为斜截式进行研究探讨，并作比较）强调：若B<0时则恰好结论相反;若B=0则最易判断。口诀：上正下负一般式（B>0）第17页,共26页，2024年2月25日，星期天例题2:根据下列各图中的平面区域用不等式表示出来（图１包含y轴）6x+5y=22y=x-１1３－４第18页,共26页，2024年2月25日，星期天例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域x+4y―4=0xy解：(1)直线定界:先画直线x+4y–4=0（画成虚线）(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x+4y-4，因为0+4×0–4=-4<0所以，原点在x+4y–4<0表示的平面区域内，不等式x+4y–4<0表示的区域如图所示。例题14第19页,共26页，2024年2月25日，星期天练习:(1)画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域xy4x―3y-12=0xyx=1(2)画出不等式x≥1表示的平面区域第20页,共26页，2024年2月25日，星期天y<-3x+12x<2y

的解集。例2、用平面区域表示不等式组0xy3x+y-12=0x-2y=0例题第21页,共26页，2024年2月25日，星期天练习2：1、不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的（）（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方2、不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（）BD第22页,共26页，2024年2月25日，星期天练习2：3、不等式组B表示的平面区域是（）第23页,共26页，2024年2月25日，星期天⑴二元一次不等式表示平面区域：

直线某一侧所有点组成的平面区域。⑵判定方法：

直线定界，特殊点定域。课堂小结：⑶二元一次不等式组表示平面区域：各个不等式所表示平面区域的公共部分。第24页,共26页，2024年2月25日，星期天（4）口诀：上大下小斜截式上正下负一般式（B>0）即：画二元一次不等式表示的平面区域的方