平面的概念平面的基本性质

关于平面的概念平面的基本性质光滑的桌面、地面第2页,共27页，2024年2月25日，星期天光滑的桌面、地面平静的湖面一望无垠的大海思考：这些画面给你留下怎样的印象？第3页,共27页，2024年2月25日，星期天平面的基本性质第4页,共27页，2024年2月25日，星期天1.平面的基本概念:

平面是一个只描述而不定义的最基本的概念,它是从日常生活中见到的具体的平面抽象出来的理想化的模型.点评：几何里的平面的特征:1.无限延展2.不计大小3.不计厚薄（没有边界）（无所谓面积）（没有质量）第5页,共27页，2024年2月25日，星期天2.平面的画法:(1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用其它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆)等等;第6页,共27页，2024年2月25日，星期天铅直平面水平平面：(2)通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边画成邻边长的2倍。

（3）画直立平面时，要有一组对边为铅垂线。第7页,共27页，2024年2月25日，星期天（4）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。MNMN第8页,共27页，2024年2月25日，星期天3、平面的表示法ABDC平面AC或平面BD平面ααß平面ß

ABC平面ABC第9页,共27页，2024年2月25日，星期天

在立几何体中通常把直线和平面看作是点的集合，你能否借助集合中的符号表示点与线、点与面、线与面的关系呢?思考：第10页,共27页，2024年2月25日，星期天四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa⑴点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a⑴点A在平面α上：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα1.点与直线的位置关系：2.点与平面的位置关系：⑵直线a经过点A，直线a不过点B⑵平面α经过点A，平面α不过点B第11页,共27页，2024年2月25日，星期天3.直线与平面的位置关系：

直线a上的所有点都在平面α内，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：

直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝A

直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。记为：a∩α＝φ或a∥α.αaαAaαa第12页,共27页，2024年2月25日，星期天BaA∈aB∈aA∈αB∈αααaαAbaAABb∩α＝Aa∩α＝φ或a∥α第13页,共27页，2024年2月25日，星期天如图，用符号表示以下各概念：②直线a在平面

内

；点C在平面内

；③点D不在平面内

；直线b不在平面内

．①点A、B在直线a上

；练习第14页,共27页，2024年2月25日，星期天如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？实验：根据这个实验你能得到什么结论？第15页,共27页，2024年2月25日，星期天(二)平面的基本性质公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。ABα判断直线是否在平面内，点是否在平面内

。符号语言图形语言文字语言l第16页,共27页，2024年2月25日，星期天如图：直尺所在的直线会在桌面所在的平面内吗？思考：直尺第17页,共27页，2024年2月25日，星期天Pαβa观察下面图片，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ第18页,共27页，2024年2月25日，星期天（二）平面的基本性质公理2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。lP一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线，二是判断点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。第19页,共27页，2024年2月25日，星期天

用手指头将一本书平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？实验这些手指需要满足什么条件？根据这个实验你能得到什么结论？第20页,共27页，2024年2月25日，星期天公理3

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。αACB一是确定平面，二是证明点、线共面。A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。第21页,共27页，2024年2月25日，星期天说明图形是存在的！说明图形是唯一的！“有”“只有一个”至少有一个至多有一个有且只有一个的含义:第22页,共27页，2024年2月25日，星期天一扇门用两个合页加一把锁就固定了，这是依据什么原理？思考：第23页,共27页，2024年2月25日，星期天1.经过直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。αlABC2.经过两条相交直线有且只有一个平面。3.经过两条平行直线有且只有一个平面。思考：你能证明下列三个命题吗？第24页,共27页，2024年2月25日，星期天推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。αlABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB确定平面的方法第25页,共27页，2024年2月25日，星期天证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.αBAabl已知:如图,a∥b,l∩a=A,l∩b=B求证:a,b,l三线共面证明:∵a∥b,

∴直线a,b