北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》(培优特训)专项3.1图形的平移旋转综合运用高分必刷(原卷版+解析)

培优特训专项3.1图形的平移旋转综合运用高分必刷【考点1：图形的平移】1．（2022春•海沧区校级期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（）A．4 B．5 C．9 D．132．（2022春•上蔡县期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为20cm，则三角形ABC的周长是（）A．14cm B．17cm C．1lcm D．8cm3．（2022春•孝南区期末）如图，把△ABC沿AC方向平移得到△FDE，AF＝8，EC＝2，则平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021秋•任城区校级期末）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm5．（2021春•丛台区校级期中）下列选项中的图形，周长最长的是（）A． B． C． D．6．（2021春•方城县期末）如图所示，将直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，则图中阴影部分的面积是（）A．60 B．50 C．40 D．307．（2021春•厦门期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形DEF，点A的对应点是点D，则线段BC的对应线段是（）A．EF B．DE C．BE D．CF8．（2022秋•东平县校级期末）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为（）A．4 B．0 C．3 D．﹣59．（2022秋•莱州市期末）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为cm．10．（2021秋•芝罘区期末）如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，连接AC'交A'C于D，则△C'DC的面积为11．（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为．12．（2022春•前郭县月考）如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，D是A′C的中点，则三角形C′DC的面积为．（2021春•龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为cm2．14．（2021春•澧县校级期末）大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，现把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，同时大正方形以1厘米/秒的速度向左沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．当S＝2时，平移的时间为秒．15．（2020春•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积．16．（2020春•大石桥市期末）如图所示，在长为50m，宽为25m的草坪上修了一条恒为1m宽的弯曲小路，则余下草坪的面积为m2．17．（2020春•邗江区期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米．18．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板DCE，∠DCE＝90°，将三角板ECD沿直线l向左平移到图中的三角板E'C'D'位置，P为EC与E'D'的交点．（1）求证：∠CPD'＝∠E；（2）E'C'＝8，C'C＝2，EP＝1.5，求阴影部分的面积．19．（2022春•海南期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝55°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．（1）求∠A的度数；（2）若AE＝8cm，DB＝2cm，请求出AD的长度．20．（2021秋•萨尔图区校级期末）某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？21．（2022春•弥勒市校级月考）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，CW＝6cm，求阴影部分面积．22．（2020春•瀍河区月考）如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿地面积．23．（2021秋•抚州期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度数；若不存在，请说明理由．【考点2：图形的旋转】24．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为．25．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．26.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是．27．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝．28．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为．29．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为．30．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于．31．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；（2）求∠DAO的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？32．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．（1）求证：△BAM≌△CAN；（2）若点C，M，N在同一条直线上，①求∠BMC的度数；②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．33．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，（1）求点P与P'之间的距离；（2）求∠APB的度数．34．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）求证：△CDE是等边三角形．（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．35．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．36．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状．（3）求∠BDC的度数．37．（2022•黄冈模拟）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．38．（2022春•兰州期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是．（无需证明）（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．培优特训专项3.1图形的平移旋转综合运用高分必刷【考点1：图形的平移】1．（2022春•海沧区校级期末）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知AD＝4，AE＝13，则DB长为（）A．4 B．5 C．9 D．13【答案】B【解答】解：∵AB＝DE，∴AD＝BE＝4，∵AE＝13，∴BD＝13﹣4﹣4＝5，故选：B．2．（2022春•上蔡县期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若四边形ABFD的周长为20cm，则三角形ABC的周长是（）A．14cm B．17cm C．1lcm D．8cm【答案】A【解答】解：由平移的性质可知，AC＝DF，BC＝EF，AD＝CF＝BE＝3cm，∵四边形ABFD的周长为20cm，即AB+BC+CF+DF+AD＝20cm，∴AB+BC+AC+CF+AD＝20cm，∴AB+BC+AC＝20﹣3﹣3＝14（cm），即三角形ABC的周长是14cm，故选：A．3．（2022春•孝南区期末）如图，把△ABC沿AC方向平移得到△FDE，AF＝8，EC＝2，则平移的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：由平移变换的性质可知，AE＝CF＝（AF﹣EC）＝×（8﹣2）＝3，故选：A．4．（2021秋•任城区校级期末）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得三角形A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴阴影部分的周长＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．故选：A．5．（2021春•丛台区校级期中）下列选项中的图形，周长最长的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：选项B，C，D中的周长都是12cm，选项A的周长大于12cm，故选：A．6．（2021春•方城县期末）如图所示，将直角三角形ABC（∠C＝90°）沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG＝4，CF＝6，AC＝10，则图中阴影部分的面积是（）A．60 B．50 C．40 D．30【答案】A【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF＝6，∴AD∥BE，AD＝BE＝6，∴四边形ABED是平行四边形，∴四边形ABED的面积＝BE×AC＝6×10＝60．故选：A．7．（2021春•厦门期末）如图，将三角形ABC平移得到三角形DEF，点A的对应点是点D，则线段BC的对应线段是（）A．EF B．DE C．BE D．CF【答案】A【解答】解：由平移的性质可知，BC的对应线段是EF，故选：A．8．（2022秋•东平县校级期末）如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为（）A．4 B．0 C．3 D．﹣5【答案】A【解答】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，∴a＝5﹣3＝2，b＝﹣2+4＝2，∴a+b＝4，故选：A．9．（2022秋•莱州市期末）如图，△ABC的边长AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为cm．【答案】9【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝3+4+2＝9cm，故答案为：9．10．（2021秋•芝罘区期末）如图，已知△ABC的面积为12，将△ABC沿BC平移到△A'B'C'，使B'和C重合，连接AC'交A'C于D，则△C'DC的面积为【答案】6【解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位线），∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，∴△C′DC的面积＝△ABC的面积＝×12＝6．故答案为：6．11．（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形ABO的周长为100，在其内部的n个小直角三角形周长之和为．【答案】100【解答】解：由平移的性质可得，n个小直角三角形较长的直角边平移后等于AO边，较短的直角边平移后等于BO边，斜边之和等于AB边长，∴n个小直角三角形的周长之和＝Rt△AOB的周长，∵直角三角形AOB的周长为100，∴这n个小直角三角形的周长之和＝100．故答案为：100．12．（2022春•前郭县月考）如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，D是A′C的中点，则三角形C′DC的面积为．【答案】6【解答】解：根据题意得，∠B＝∠A′CC′，BC＝B′C′，∴CD∥AB，CD＝AB（三角形的中位线），∵点C′到A′C的距离等于点C到AB的距离，∴△C′DC的面积＝△ABC的面积＝×12＝6．故答案为：6．（2021春•龙湖区期末）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为cm2．【答案】6【解答】解：由题意，阴影部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），∴阴影部分的面积＝2×3＝6（cm2），故答案为6．14．（2021春•澧县校级期末）大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，现把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，同时大正方形以1厘米/秒的速度向左沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．当S＝2时，平移的时间为秒．【答案】0.5秒或2.5．【解答】解：当S＝2时，重叠部分长方形的宽＝2÷2＝1cm，重叠部分在大正方形的左边时，t＝1÷2＝0.5秒，重叠部分在大正方形的右边时，t＝（4+2﹣1）÷2＝2.5秒，综上所述，小正方形平移的时间为0.5或2.5秒；故答案为：0.5秒或2.5．15．（2020春•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝3cm，将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2cm，得到△FDE，则阴影部分的面积．【答案】8cm2【解答】解：由平移可得，DF＝AB，DF∥AB，∴四边形ABDF是平行四边形，又由平移的方向可得，∠ABD＝90°，∴四边形ABDF是矩形；由平移可得，△ABC≌△FDE，BD＝2cm，∴S△ABC＝S△FDE，∴阴影部分的面积＝矩形ABDF的面积＝AB•BD＝4×2＝8cm2．故答案为：8cm2．16．（2020春•大石桥市期末）如图所示，在长为50m，宽为25m的草坪上修了一条恒为1m宽的弯曲小路，则余下草坪的面积为m2．【答案】1200【解答】解：∵把宽度为1m的弯曲小路分割成若干个四边形，这些四边形等于一个宽度为1m的矩形，如图矩形ABCD，∴小路为宽恒为1m的弯曲小路，∴面积为50×1＝50（m2），∴余下草坪的面积为50×25﹣50＝1200（m2），故答案为：1200．17．（2020春•邗江区期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米．【答案】108【解答】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，∴图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为50+（30﹣1）×2＝108米，故答案为：108．18．如图，直线l上摆放着直角三角形纸板DCE，∠DCE＝90°，将三角板ECD沿直线l向左平移到图中的三角板E'C'D'位置，P为EC与E'D'的交点．（1）求证：∠CPD'＝∠E；（2）E'C'＝8，C'C＝2，EP＝1.5，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：由平移的性质得CE∥C′E′，CC＝′EE′＝DD′，∴四边形CC′E′E是平行四边形，∴EE′∥CC′，∴DD′∥EE′∴四边形DD′E′E是平行四边形，∴DE∥DD′，∴∠CPD'＝∠E；（2）解：∵将三角板ECD沿直线l向左平移到图中的三角板E'C'D'位置，∴CE＝C′E′＝8，∵EP＝1.5，∴CP＝6.5，∴阴影部分的面积＝S四边形C′E′PC＝（6.5+8）×2＝14.5．19．（2022春•海南期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠E＝55°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．（1）求∠A的度数；（2）若AE＝8cm，DB＝2cm，请求出AD的长度．【解答】解：（1）∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠E＝55°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°；（2）由平移得，AD＝BE＝CF，∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝×（8﹣2）＝3（cm）．20．（2021秋•萨尔图区校级期末）某酒店在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，主楼梯道宽为3米，其侧面如图所示；铺设梯子的红地毯至少需要多长？花费至少多少元？【解答】解：地毯的长度至少为：2.6+5.8＝8.4米；8.4×3×40＝1008（元）．答：铺设梯子的红地毯至少需要8.4米，花费至少1008元．21．（2022春•弥勒市校级月考）如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG＝24cm，WG＝8cm，CW＝6cm，求阴影部分面积．【解答】解：由平移的性质，梯形ABCD的面积＝梯形EFGH的面积，CD＝HG＝24cm，∴阴影部分的面积＝梯形DWGH的面积，∵CW＝6cm，∴DW＝CD﹣CW＝24﹣6＝18cm，∴阴影部分的面积＝（DW+HG）•WG＝（18+24）×8＝168cm2．答：阴影部分面积是168cm2．22．（2020春•瀍河区月考）如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿地面积．【解答】解：绿地的面积为：（18﹣2）×（12﹣2）＝160（m2），答：这块草地的绿地面积是160m2．23．（2021秋•抚州期末）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，点E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中是否存在∠BEC＝∠ADB？若存在，求出∠BEC的度数；若不存在，请说明理由．【解答】（1）AD∥BC．证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C∴∠ADC+∠C＝180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝40°；（3）存在．解：设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠ADB＝80°﹣x°．若∠BEC＝∠ADB，则x°+40°＝80°﹣x°，得x°＝20°．∴∠BEC＝∠ADB＝60°．【考点2：图形的旋转】24．（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为．【答案】16【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∵AD⊥A1B，∴AD＝AB＝4，∴S△A1BA＝×8×4＝16，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝16，故答案为：16．25．（2022秋•福州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．【答案】2+2【解答】解：连接CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠BCA＝∠BAC＝45°∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE又∵旋转角为60°∴∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形∴AC＝CE＝AE＝4在△ABE与△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SSS）∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°∴∠AFB＝∠AFE＝90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF＝AF＝＝2又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，可得FE＝AF＝2∴BE＝BF+FE＝2+2故答案为2+226.（2021秋•驿城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是．【答案】（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）【解答】解：①当OA＝AP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴此时A（2，0），∵∠APB＝90°，∴B（0，2）；②当AP＝OP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴∠POA＝∠PAO＝45°，∴∠P＝90°，∴此时B与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：∵∠APB＝90°，∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，∴△PNB≌△PMA（ASA），∴BN＝AM＝2﹣2，∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，∴B（0，4﹣2），综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．27．（2021秋•信丰县期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝120°，则∠α＝．【答案】30°【解答】解：如图，由对顶角相等得，∠2＝∠1＝120°，在四边形中，∠BAD′＝360°﹣90°×2﹣∠2＝360°﹣180°﹣120°＝60°，所以，∠DAD′＝90°﹣60°＝30°，即旋转角∠α＝∠DAD′＝30°．故答案为：30°．28．（2020秋•赣榆区期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为．【答案】150°【解答】解：连接PP′，由旋转可知，△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．29．（2021•江西模拟）如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则△ABC的边长为．【答案】2【解答】解：作BH⊥PC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，∴CD＝AP＝4，BD＝BP＝2，∠PBD＝60°，∴△PBD为等边三角形，∴PD＝PB＝2，∠BPD＝60°，在△PDC中，PC＝2，PD＝2，CD＝4，∴PC2+PD2＝CD2，∴△PCD为直角三角形，∠CPD＝90°，∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝150°，∴∠BPH＝30°，在Rt△PBH中，∠BPH＝30°，PB＝2，∴BH＝PB＝，PH＝BH＝3，∴CH＝PC+PH＝2+3＝5，在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2＝（）2+52＝28，∴BC＝2，故答案为：230．（2021•镇雄县一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于．【答案】2021+673【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2，BC＝，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…∵2020÷3＝673…1∴AP2020＝673（3+）+2＝2021+673，故答案为：2021+67331．（2022秋•恩施市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；（2）求∠DAO的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCO，∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（2）解：∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，由（1）知：△ADC≌△BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝α﹣60°，△ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°；（3）解：分三种情况：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°，∴α＝140°，综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．32．（2022秋•青山湖区期末）如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）．（1）求证：△BAM≌△CAN；（2）若点C，M，N在同一条直线上，①求∠BMC的度数；②点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．【解答】（1）证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN；（2）①解：∵△AMN为等边三角形，∴∠AMN＝∠NAM＝∠AMN＝60°，∵△BAM≌△CAN，∴∠AMB＝∠MNA＝60°，∴∠BMC＝180°﹣∠AMN﹣∠AMB＝60°；②证明：∵点M是CN的中点，∴MN＝CM，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝MN＝CM，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CB，∴MB是AC的垂直平分线，∴BM⊥AC．33．（2022•三穗县校级模拟）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，（1）求点P与P'之间的距离；（2）求∠APB的度数．【解答】解：（1）由题意可知BP′＝PC＝5，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝3；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°可求∠APB＝90°+60°＝150°．34．（2021秋•平泉市期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，运动时间为t．当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）求证：△CDE是等边三角形．（2）当△BCD为直角三角形时，求t的值．【解答】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴△ADC≌△BEC，∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠ABC＝60°∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）解：①当∠BCD＝90°时，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝8cm，∵OB＝OA+AB＝6+4＝10cm，∴OD＝OB﹣BD＝10﹣8＝2cm，∴t＝2s．②当∠CDB＝90°时，AD＝DB＝2cm，∴OD＝OA+AD＝8cm，∴t＝8s．综上所述：当t＝2s或8s时，△BDC是直角三角形．35．（2022秋•思明区校级月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．36．（2022秋•竹山县期中）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺