《现代库存管理：模型、算法与Python实现》 课件 第11章-周期服务水平优化

现代库存管理：模型、算法与Python实现第11章周期服务水平优化11.1报童模型一家滑雪场正在向生产厂家订购滑雪板：滑雪场需要在超储与缺货之间进行权衡，来找到最优的服务水平订购提前期为3个月每套滑雪板的订购成本是2000元每套售价是2800元未能卖出的，以每套1800元变卖处理需求量大致服从正态分布，且均值为1000个，标准差为300个11.1报童模型超储和缺货所带来的损失：这类短期、单次补货模型就是库存管理中经典的报童问题

超储成本：𝐻=2000−1800=200元缺货成本：每套的利润为2800−2000=800元。这即为由于库存不足而丢失的每个订单造成的缺货成本，记为𝑝针对生命周期很短，库存只能持有一期的商品，就可以用报童模型来分析其补货问题，例如报纸的订货问题以及机票超售的问题报童模型也适用于补货提前期较长的季节性商品的补货问题，例如中秋节期间月饼的备货问题11.1报童模型

𝐷≤𝑄，表示需求量小于等于订货量，超储量为𝑄−𝐷，因此将产生𝐻(𝑄−𝐷)的超储成本𝐷>𝑄，表示需求量大于订货量，缺货量为𝐷−𝑄，因此将产生 𝑝(𝐷−𝑄)的缺货成本11.1报童模型

11.1报童模型边际分析：若增加1个单位的订货量：以𝐶𝑆𝐿的概率，原先的订货量𝑄将无法售罄，因此增加1个单位的订货量将增加1个单位的超储量，因此超储成本增加𝐻以1−𝐶𝑆𝐿的概率，原先的订货量𝑄将无法满足所有需求，增加1个单位的订货量后，缺货数量可以减少1个单位，因此缺货成本降低𝑝因此，增加1个单位的订货量带来的期望成本的边际影响为：

11.1报童模型可以看到：若𝐶𝑆𝐿<𝑝/(𝐻+𝑝)，𝛥𝐶(𝑄)<0，增加订货量会使期望成本减小若𝐶𝑆𝐿>𝑝/(𝐻+𝑝)，𝛥𝐶(𝑄)>0，增加订货量会使期望成本增加

11.1报童模型

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平

长期平均总成本：11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平仅对缺货候补的系统成立对缺货流失的系统[𝑡,𝑡+𝑇]期间的实际需求会受到𝑡时刻系统的净库存以及在途库存的影响，因此状态独立的库存策略将不再是最优的

长期平均总成本：11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平

缺货候补系统：11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平

情形一：单位时间单位数量的缺货成本

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平

情形一：单位时间单位数量的缺货成本

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平

情形二：单位数量的缺货成本

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平缺货流失的情形：在实际中，缺货候补和缺货流失都有可能发生。对于直接面向消费者的零售企业来说，缺货流失甚至比缺货候补发生的可能性更大由于缺货流失系统的复杂性，我们直接给出缺货流失系统下最优服务水平的近似计算公式:

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平例：某快消品公司上海区域仓的一款洗发水的日需求服从均值为200（瓶），标准差为50的正态分布采销人员的补货策略是当该洗发水的库存水平降至1200瓶的时候向工厂补货1000瓶，补货的提前期为5天该洗发水的采购成本为40元每瓶，售价为60元每瓶洗发水每天在仓库的结余库存会产生一定的持货成本。公司估计其持货成本大约为采购成本的40%每年当需求超过仓库的可用库存时，将发生缺货。假设缺货可以候补，即需求可以通过后续到达的库存来满足，但公司需要为顾客支付2元每件每天的延迟交货补贴11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平例：在当前的补货策略下，洗发水的周期服务水平是多少？最优的周期服务水平和相应的再补货点是多少？如果公司只需要一次性像顾客支付每件3元的延迟交货补贴，最优的周期服务水平和相应的再补货点是多少？如果需求超过仓库的可用库存，发生缺货时，需求直接流失，考虑到缺货除了造成当前商品利润的损失外，可能还会对顾客未来的购买意

愿造成不良影响，公司认为单位缺货成本为30元。此时，最优的周期服务水平和相应的再补货点是多少？11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平例：

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平例：

最优的周期服务水平和相应的再补货点是多少？11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平例：

如果公司只需要一次性像顾客支付每件3元的延迟交货补贴，最优的周期服务水平和相应的再补货点是多少？可以看到，如果缺货成本是一次性支付3元，则最优的服务水平相比于 按缺货周期支付的情形更低

11.2

(𝑅OP,𝑄)策略的最优服务水平例：

如果需求超过仓库的可用库存，发生缺货时，需求直接流失，考虑到缺货除了造成当前商品利润的损失外，可能还会对顾客未来的购买意愿造成不良影响，公司认为单位缺货成本为30元。此时，最优的周期服务水平和相应的再补货点是多少？可以看到，如果缺货直接流失，则需要保证更高的服务水平

11.3

(OUL,T)策略的最优服务水平

最小化系统的长期平均成本等价于最小化系统在一个周期的平均成本(𝑂𝑈𝐿,𝑇)系统将一直重复这样的长度为𝑇的周期11.3

(OUL,T)策略的最优服务水平

情形一：单位时间单位数量的缺货成本11.3

(OUL,T)策略的最优服务水平

情形二：单位数量的缺货成本11.3

(OUL,T)策略的最优服务水平

缺货流失的情形：11.3

(OUL,T)策略的最优服务水平某家电卖场一款电饭煲的日需求服从均值为10台，标准差为5台的正态分布采销人员每周二进行补货，每次补货都将库存水平补至150台，补货提前期为1周该电饭煲的采购成本为280元每台，售价为380元卖场估计其持货成本大约为采购成本的50%假设缺货可以候补，但每延迟一天卖场需要给顾客提供1%的折扣作为补贴。目前的目标库存水平是否可以最小化库存系统长期平均成本？例：11.3

(OUL,T)策略的最优服务水平

例：

11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

在实际中，需求的分布往往需要不断地更新，需求还可能具有一定的周期性和趋势性，并且库存的计划期可考虑有限的展望期一种管理方法是将(ROP,Q)策略或者(OUL,T)策略的参数计算和优化进行动态更新如滚动时间窗法，每期基于未来一段时间的需求（分布）预测，动态地计算相应的安全库存量与策略参数，从而决定相应的补货量在这种情况下：11.4基于SAA的有限周期库存系统优化以最小化一定展望期内的总库存成本为目标一般计算成本较高于上述方法优势在于可以往后展望更多的周期，适用于需求分布非平稳的情形，同时也可以考虑周期服务水平与需求满足率约束下的策略优化样本均值近似（sampleaverageapproximation,SAA）相较于较难评估的真实期望成本，SAA根据由样本得到的成本的经验 分布进行优化SAA是解决随机离散优化问题常用的非参数方法之一11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

基础模型：11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

基础模型：11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

基础模型：11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

基础模型：11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

基础模型：11.4基于SAA的有限周期库存系统优化通过使用样本均值近似目标函数，我们可以将原问题转化为下述SAA问题：基础模型：

11.4基于SAA的有限周期库存系统优化

例：importnumpyasnp

fromcoptpyimport*#提前期

L=

2

#盘货周期（T=1表示每天都能订货）

T=

3

#展望期

J=

50

#样本数

N=

100

#成本

c=

10

h=c*

0.01

p=c*

0.01

#用于生成变量的index

time_index=[tfortinrange(J)]

cycle_index=np.arange(1,J,T)

non_cycle_index=[tfortintime_indexiftnot

incycle_index]

sample_path_index=[iforiinrange(N)]#生成需求样本

dist=stats.norm(50,10)

demand_sample={(t,i):max(dist.rvs(),0)fortintime_index

foriinsample_path_index}11.4基于SAA的有限周期库存系统优化例：使用COPT进行建模：第二步，我们向模型中添加变量#生成COPT的环境

env=Envr()

#建立空的模型

m=env.createModel('basestock')CardinalOptimizerv5.0.1.BuilddateJun202022

CopyrightCardinalOperations2022.AllRightsReserved#目标库存水平

OUL=m.addVar(vtype=COPT.CONTINUOUS,name='OUL')

#现货库存

O=m.addVars(time_index,sample_path_index,vtype=COPT.CONTINUOUS,lb=0)

#延期交货库存

B=m.addVars(time_index,sample_path_index,vtype=COPT.CONTINUOUS,lb=0)

#订货量

Q=m.addVars(cycle_index,sample_path_index,vtype=COPT.CONTINUOUS,lb=0)11.4基于SAA的有限周期库存系统优化例：

#目标函数

holding_cost=quicksum(O[t,i]fortintime_indexforiinsample_path_index)*h

penalty_cost=quicksum(B[t,i]fortintime_indexforiinsample_path_index)*p

m.setObjective((1

/(N*J))*(holding_cost+penalty_cost),COPT.MINIMIZE)11.4基于SAA的有限周期库存系统优化例：m.addConstrs((O[t,i]-B[t,i]==O[t-

1,i]-B[t-

1,i]

+(Q[t-L,i]ift-Lincycle_indexelse

0)

-demand_sample[t,i]

fortintime_index[1:]foriinsample_path_index))<coptcore.tupledictat0x1441cac40>#订货

m.addConstrs((Q[t,i]==sum([demand_sample[j,i]

forjinrange(max(1,t-T+

1),t+

1)])

fortincycle_indexforiinsample_path_index))<coptcore.tupledictat0x1442941c0>m.addConstrs((O[0,i]-B[0,i]==OULforiinsample_path_index))<coptcore.tupledictat0x1442b6910>11.4基于SAA的有限周期库存系统优化例：第五步，我们设定求解参数并求解模型，并将求解结果读取出来最优目标库存水平：144.1811.4基于SAA的有限周期库存系统优化例：

11.4基于SAA的有限周期库存系统优化双服务水平约束下的目标库存水平：

11.4基于SAA的有限周期库存系统优化双服务水平约束下的目标库存水平：

11.4基于SAA的有限周期库存系统优化示例续：接下来，我们向原模型中添加约束，求解最差周期服务水平和满足率均为0.95情况下的目标库存水平：M=

10000

worst_csl=

0.95

worst_fr=

0.95

Z=m.addVars(time_index,sample_path_index,vtype=COPT.BINARY)11.4基于SAA的有限周期库