2018江苏高考数学试题与答案-文档

个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途/个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途2018年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷>本试题卷分为非选择题(第1题～第20题，共20题>．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：(1>样本数据x1，x2，…，xn的方差，其中.(2>直棱柱的侧面积S＝ch，其中c为底面周长，h为高．(3>棱柱的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{－1，0，2}，则A∩B＝________.2．函数f(x>＝log5(2x＋1>的单调增区间是________．3．设复数z满足i(z＋1>＝－3＋2i(i为虚数单位>，则z的实部是________．4．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为________．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数．则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．SjkbsIFcn16．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________.SjkbsIFcn17．已知＝2，则的值为________．8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．SjkbsIFcn19．函数f(x>＝Asin(ωx＋φ>(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0>的部分图象如图所示，则f(0>的值是________．SjkbsIFcn110．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．SjkbsIFcn111．已知实数a≠0，函数若f(1－a>＝f(1＋a>，则a的值为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x>＝ex(x＞0>的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．SjkbsIFcn113．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．SjkbsIFcn114．设集合A＝{(x，y>|≤(x－2>2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y>|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是________．SjkbsIFcn1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．(1>若＝2cosA，求A的值；(2>若，b＝3c，求sinC的值．16．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．SjkbsIFcn1求证：(1>直线EF∥平面PCD；(2>平面BEF⊥平面PAD．17．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm>．SjkbsIFcn1(1>某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2>最大，试问x应取何值？(2>某厂商要求包装盒的容积V(cm3>最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C．连结AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k.SjkbsIFcn1(1>若直线PA平分线段MN，求k的值；(2>当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3>对任意的k＞0，求证：PA⊥PB．19．已知a，b是实数，函数f(x>＝x3＋ax，g(x>＝x2＋bx，f′(x>和g′(x>分别是f(x>和g(x>的导函数．若f′(x>g′(x>≥0在区间I上恒成立，则称f(x>和g(x>在区间I上单调性一致．SjkbsIFcn1(1>设a＞0，若f(x>和g(x>在区间[－1，＋∞>上单调性一致，求b的取值范围；(2>设a＜0且a≠B．若f(x>和g(x>在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．SjkbsIFcn120．设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项的和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk>都成立．SjkbsIFcn1(1>设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(2>设M＝{3，4}，求数列{an}的通项公式．21．A．选修4－1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2>．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上>．求证：AB∶AC为定值．B．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A＝，向量β＝，求向量α，使得A2α＝β.C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数>的右焦点，且与直线(t为参数>平行的直线的普通方程．SjkbsIFcn1D．选修4－5：不等式选讲解不等式x＋|2x－1|＜3.22．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1—DN—M的大小为θ.SjkbsIFcn1(1>当θ＝90°时，求AM的长；(2>当cosθ＝时，求CM的长．23．设整数n≥4，P(a，b>是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞B．SjkbsIFcn1(1>记An为满足a－b＝3的点P的个数，求An；(2>记Bn为满足是整数的点P的个数，求Bn.参考答案1．答案：{－1，2}2．答案：(，＋∞>3．答案：14．答案：35．答案：6．答案：7．答案：8．答案：49．答案：10．答案：.11．答案：12．答案：13．答案：14．答案：[，2＋]15．解：(1>由题设知＝2cosA．从而sinA＝cosA，cosA≠0，所以tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.SjkbsIFcn1(2>由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sinC＝cosA＝.16．证明：(1>在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF平面PCD，PD⊂平面PCD．所以直线EF∥平面PCD．(2>连结BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD．SjkbsIFcn1又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．17．解：设包装盒的高为h(cm>，底面边长为a(cm>．由已知得a＝，，0＜x＜30.(1>S＝4ah＝8x(30－x>＝－8(x－15>2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2>V＝a2h＝，V′＝．由V′＝0得x＝0(舍>或x＝20.当x∈(0，20>时，V′＞0；当x∈(20，30>时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.18.解：(1>由题设知，a＝2，，故M(－2，0>，N(0，>，所以线段MN中点的坐标为(－1，>．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以.SjkbsIFcn1(2>直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得，解得，因此P(，>，A(，>．于是C(，0>，直线AC的斜率为，故直线AB的方程为.因此，d＝＝.(3>解法一：将直线PA的方程y＝kx代入，解得x＝.记μ＝，则P(μ，μk>，A(－μ，－μk>．于是C(μ，0>．故直线AB的斜率为＝，其方程为y＝代入椭圆方程得(2＋k2>x2－2μk2x－μ2(3k2＋2>＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B(，>．SjkbsIFcn1于是直线PB的斜率k1＝＝＝.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB．解法二：设P(x1，y1>，B(x2，y2>，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1>，C(x1，0>．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.SjkbsIFcn1从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB．19．解：f′(x>＝3x2＋a，g′(x>＝2x＋B．(1>由题意知f′(x>g′(x>≥0在[－1，＋∞>上恒成立．因为a＞0，故3x2＋a＞0，进而2x＋b≥0，即b≥－2x在区间[－1，＋∞>上恒成立，所以b≥2.因此b的取值范围是[2，＋∞>．SjkbsIFcn1(2>令f′(x>＝0，解得x＝.若b＞0，由a＜0得0∈(a，b>．又因为f′(0>g′(0>＝ab＜0，所以函数f(x>和g(x>在(a，b>上单调性不一致．因此b≤0.SjkbsIFcn1现设b≤0.当x∈(－∞，0>时，g′(x>＜0；当x∈(－∞，>时，f′(x>＞0.因此，当x∈(－∞，>时，f′(x>g′(x>＜0.故由题设得a≥且b≥，从而≤a＜0，于是≤b≤0.因此|a－b|≤，且当a＝，b＝0时等号成立．SjkbsIFcn1又当a＝，b＝0时，f′(x>g′(x>＝6x(x2>，从而当x∈(，0>时f′(x>g′(x>＞0，故函数f(x>和g(x>在(，0>上单调性一致．因此|a－b|的最大值为.SjkbsIFcn120．解：(1>由题设知，当n≥2时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1>，即(Sn＋1－Sn>－(Sn－Sn－1>＝2S1.从而an＋1－an＝2a1＝2.又a2＝2.故当n≥2时，an＝a2＋2(n－2>＝2n－2.所以a5的值为8.(2>由题设知，当k∈M＝{3，4}且n＞k时，Sn＋k＋Sn－k＝2Sn＋2Sk且Sn＋1＋k＋Sn＋1－k＝2Sn＋1＋2Sk，两式相减得an＋1＋k＋an＋1－k＝2an＋1，即an＋1＋k－an＋1＝an＋1－an＋1－k.所以当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列．SjkbsIFcn1从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，(*>且an＋6＋an－6＝an＋2＋an－2，所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，即an＋2－an＝an－an－2，于是当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由(*>式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－an－1，当n≥9时，设d＝an－an－1.SjkbsIFcn1当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由(*>式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13.SjkbsIFcn1从而2(am＋7－am＋6>＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12>，于是am＋1－am＝2d－d＝D．SjkbsIFcn1因此，an＋1－an＝d对任意n≥2都成立．又由Sn＋k＋Sn－k－2Sn＝2Sk(k∈{3，4}>可知(Sn＋k－Sn>－(Sn－Sn－k>＝2Sk，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得，从而，.因此，数列{an}为等差数列．由a1＝1知d＝2.SjkbsIFcn1所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.21．选做题A．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D．连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．SjkbsIFcn1从而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，于是.所以AB∶AC为定值．B．选修4—2：矩阵与变换解：A2＝＝.设α＝.由A2α＝β，得＝，从而解得x＝－1，y＝2，所以α＝.C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0>．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.SjkbsIFcn1故所求直线的斜率为，因此其方程为，即x－2y－4＝0.D．选修4—5：不等式选讲解：原不等式可化为或解得或.所以原不等式的解集是．22．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设CM＝t(0≤t≤2>，则各点的坐标为A(1，0，0>，A1(1，0，2>，N(，1，0>，M(0，1，t>．所以＝(，1，0>，＝(0，1，t>，＝(1，0，2>．设平面DMN的法向量为n1