专题02 填空题多解题小压轴之六大题型2024年中考数学冲刺复习名校模拟题重要考点分类汇编（江西专用）(解析版)

第第页专题02填空题多解题小压轴之六大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一与旋转有关的多解题】 1【题型二与三角形相似的多解题】 5【题型三与矩形有关的多解题】 8【题型四三角形折叠的多解题】 14【题型五与是直角三角形的多解题】 19【题型六与是等腰三角形的多解题】 25【典型例题】【题型一与旋转有关的多解题】例题：（2024·江西·一模）如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为．【答案】或【分析】过点B作轴于点D，求出，由反比例函数对称性可知还可以经过点，然后分三种情况求解即可．【详解】解：如图，过点B作轴于点D，，，，，．，．根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．若点B经过，如图所示，此时，∴，即绕着点O顺时针旋转了．若点A经过，如图所示，此时，∴，即绕着点O顺时针旋转了；若点A经过，如图所示，此时，∴，即绕着点O顺时针旋转了．综上可知，绕着点顺时针旋转或后使的顶点依然在该反比例函数的图象上．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何综合，解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为．

【答案】或或【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，

∵在中，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴∴，∴∴，如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，

当点在的延长线上时，如图所示，则

当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，∵，，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形，

综上所述，旋转角的度数为或或故答案为：或或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【题型二与三角形相似的多解题】例题：（2023·江西上饶·二模）在中，，，，是的中点，是上的动点，若点到的一边的距离为2，则的长为．【答案】或或【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．先运用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，由直角三角形的性质可得，然后分点P到的距离为2的三种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答．【详解】解：∵，，，∴，∴为直角三角形，，又∵是的中点，∴①如图(1)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，，∵，，∴，∴∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；

②如图(2)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，同理可得：，∴，∴，即，解得：；

③如图(3)，当点P到的距离为2时，过点P作于点E，过点C作于点F，则，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；∴．

综上，的长为或或．【变式训练】1．（2023·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是．

【答案】或或【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，时，当点在y轴上时，或，分别求解即可．【详解】解：如图，

∵，∴，∴，当点P在x轴上时，时，∴，∴，∴，∴，∴，当点在y轴上时，，∵，∴，∴，∴．当时，有，∴∴∴综上所述，满足条件的点P的坐标为或或．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题．【题型三与矩形有关的多解题】例题：（2022·江西·二模）在矩形中，，，点E是上，且，点F是矩形边上一个动点，连接，若与矩形的边构成角时，则此时．【答案】或或【分析】分点在，，，上分别画图计算，点在上时，存在两种情况：或；当在上时没有成立的点，当在上时有，分别解直角三角形可得结论．【详解】解：四边形是矩形，，分两种情况：如图，当时，

在中，；如图，当时，在中，；

如图，当时，，

在中，，综上所述，，的长是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，分情况讨论正确画图是解本题的关键．【变式训练】1．（2023·江西赣州·三模）如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为．

【答案】3或或【分析】根据矩形的性质可得，，，，当时，分情况讨论：①当点P在边上，②点P在的中点，③点P在边上，分别求解即可．【详解】解：在矩形中，，，，∵，，根据勾股定理，得，当时，分情况讨论：①当点P在边上，如图所示：在图1中，设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，则；②点P在的中点，如图所示：在图2中，，③点P在边上，如图所示：在图3中，设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，则；在中，根据勾股定理，得；综上所述：当，则的长为3或或，故答案为：3或或．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．2．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点A、，点在坐标轴上，点在坐标平面内，若以A、、、为顶点的四边形为矩形，则点的坐标为．

【答案】或或【分析】分类讨论：点在轴上；点在原点；点在轴上，利用相似及平移规律即可求解．【详解】解：直线分别与轴、轴交于点A、，当时，，时，，点坐标，B点坐标，分三种情况：点在原点，矩形中，如图，

，点坐标为；如图，点在轴上，如图，

矩形中，，∴，∴，，∴，∴，点坐标为，将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，的坐标为；如图，点在轴上，如图，

矩形中，，由②同理可得：，∴∴，点坐标为，将点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，的坐标为，点坐标为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应线段之间的关系．3．（2023·江西上饶·一模）如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，，，为顶点作正方形，则的长为．【答案】或或【分析】分四种情况：当点在点右侧，在上方时；当点在点左侧，在上方时；当点在右侧，在上方时；当点在点左侧，在点上方时；分别画出图形，根据正方形的性质、通过解直角三角形求解即可．【详解】分四种情况：①如下图，当点在点右侧，在上方时．在直角三角形中，，，∴，∵四边形是正方形，∴．②如下图，当点在点左侧，在上方时．设，则，在直角三角形中，，∴，解得：，即．③如下图，当点在右侧，在上方时．设，则，在直角三角形中，，∴，解得：，即．④如下图，当点在点左侧，在点上方时．在直角三角形中，，，∴，∵四边形是正方形，∴．综上，的长为或或．【点睛】本题考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，正确分类、熟练解直角三角形是解题的关键．【题型四三角形折叠的多解题】例题：（2023·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为的中点，为线段上的动点，将沿过点的射线折叠得到，若下方的与的边垂直，则的长度可能是．

【答案】2或或【分析】由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，分三种情况：当时，设垂足为；当时，作交于；当时，分别进行计算即可得到答案．【详解】解：在中，，，，，是的中点，，如图1，当时，设垂足为，

，由折叠可知，，，，，，，，，，，，；如图2，当时，，则，由折叠可知：，，，，，，在中，，，，，，作交于，则，，是等腰直角三角形，，设，则，，，，即，解得：，，在中，，，；如图3，当时，

，由折叠的性质可得：，，，，，，，，，，，综上所述：的长为2或或，故答案为：2或或．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．【变式训练】1．（2023·江西赣州·二模）在中，，点是的中点，点在边上，连接，把沿翻折得到．当与中的一边平行时的长为．【答案】或或【分析】分情况讨论如下：（1）当时，①当点在右上方时，②当点在左下方时，（2）当时，分别画出图形，根据折叠的性质即可求解．【详解】，点是的中点，．分情况讨论如下：（1）当时，如答图1与答图2．

①当点在右上方时，，，如图，作，

则有，．②当点在左下方时，，，如图，作，

则有，．（2）当时，如图．

，，．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分别画出图形，分类讨论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【题型五与是直角三角形的多解题】例题：（2023·江西抚州·三模）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为．

【答案】3或或【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得．【详解】∵四边形为菱形，，∴菱形四边长为4，且，∴,∵，∴，即，．∵E，F分别是的中点．∴；连接，则是等边三角形；

①当点P在边上时；如图，当点P是的中点时，为直角三角形，此时，∴；②当点P在边上时，如图，连接，

当点P是的中点时，为直角三角形，此时，连接，∵，∴是等边三角形，∴，由勾股定理得，由勾股定理得：；③当点P在边上时，连接，如图，

当点P是的中点时，此时，∵，为的中位线，为的中位线，∴，，∴，∴为直角三角形，∵，，∴是等边三角形，∴，由勾股定理得；故答案为：3或或．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江西吉安·模拟预测）如图，，点P在上，且，点C在上，点D在上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为．

【答案】或或【分析】分为直角边和斜边结合C的位置四种情况，利用解直角三角形的知识求解即可．【详解】解：如图1，

∵是以为直角边的等腰直角三角形，∴，在中，，，∴，∴，如图2，

∵是以为直角边的等腰直角三角形，∴，在中，，设，则，∵，解得，∴；如图3，

∵是以为直角边的等腰直角三角形，∴，在中，，，∴，∴；如图4，

∵是以为直角边的等腰直角三角形，∴，在中，∵，∴，设，则，则，解得；∴，综上所述，的长为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和解直角三角形，全面分类、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．2．（2023·江西赣州·一模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为．【答案】2或或【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．【详解】解：，，，，设点，当时，点在直线上（且不与点重合），点不能为直角顶点，①如图，当点在轴的正半轴上，且时，由旋转可知，，，，，，，，，，，即点的横坐标为2；②如图，当点在轴的正半轴上，且时，过点作于点，则，由旋转可知，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得：或（不合题意，舍去），点的横坐标为；③如图，当点在轴的负半轴上，且时，过点作于点，则，同理可得，，，，，同理可得，，，即，解得：或（不合题意，舍去），点的横坐标为；综上所述，点的横坐标为2或或，故答案为：2或或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用．【题型六与是等腰三角形的多解题】例题：（2023·江西吉安·一模）如图，菱形中，，，点P在菱形的边上，若为等腰三角形，则PB的长为．【答案】2，，2【分析】点P在菱形的边上，为等腰三角形，分，，三种情况讨论．【详解】如图，（1）当时，，；（2）当时，点P与点A重合，；（3）当时，点P与点D重合，∴;故答案为：2，，【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形；结合点P的运动，确定等腰三角形的三种状态是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江西新余·一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．【详解】解：，，，，，分三种情况讨论：如图所示，当点与点重合时，，

，，，，即是等腰三角形，此时，；如图所示，当时，是等腰三角形，

，由折叠可得，，，又，是等腰直角三角形，设，则，中，，解得，舍去，；如图所示，当点与点重合时，，

，，即是等腰三角形，此时，综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．2．（2023·江西吉安·模拟预测）如图，直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点在第一象限内，且使为等腰直角三角形，则点的坐标为．

【答案】、、【分析】当是以为腰长的等腰直角三角形时，可结合“三垂直”模型证明全等，再根据全等三角形的性质确定对应线段长度，即可求得点的坐标；当是以为底边的等腰直角三角形时，结合平面直角坐标系内中点坐标的计算方式，直接求得对应点的坐标即可．【详解】解：如图所示，①当为等腰直角三角形时，作轴于点，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴的坐标为；②当为等腰直角三角形时，作轴于点，同①理，证得，∴，，∴，∴的坐标为；③当为等腰直角三角形时，此时，为的中点，∵，，∴的坐标为；综上，点的坐标为、、，故答案为：、、【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，是等边三角形，，是边上的高，点是射线上的动点，连接，交直线于点，当是等腰三角形时，的长为．【答案】，或【分析】根据是等腰三角形，则可分三种情况进行讨论．①当时，②当时，③当时，分别画出图形，解直角三角形即可求解．【详解】是等边三角形，，，，，．∵是等腰三角形，则可分三种情况进行讨论．①当时，如图（1），则，，为等边三角形，，为的中点，．，．②当时，如图（2），则．过点作于点，，，，．，，，．③当时，如图（3），则，，．过点作交的延长线于点，则，，．，，，．综上，当是等腰三角形时，的长为，或．故答案为：，或．【点睛】本题考查了等腰三角的定义，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，分类讨论是解题的关键．4．（2023·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是直线上的动点（点E不与点C重合），将沿所在的直线翻折，得到，作点F关于对角线的对称点G，连接当为等腰三角形时，线段的长为．【答案】1，2或4【分析】根据折叠的性质，分或或三种情况讨论求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，取的中点N，连接．∵点M是边的中点，∴∵是正方形对角线，∴∴点M，N关于直线对称．又点F，G关于直线对称，∵，∴，∴点G在以点N为圆心，为直径的圆上运动．由题意可知需分三种情况讨论：①当时，点G在线段的垂直平分线上，如图（1），此时可知点G与点F重合，点E与点N重合，故．②当时，如图（2），连接，∵∴又∴，，由折叠得，，，∴∴点A，F，E共线．∵点F，G关于直线对称，设，则，由勾股定理，得，即，解得，即．③当时，如图（3），连接，同②可证连接．故点F，C，点M，N，点B，D分别关于直线对称，∴与关于直线对称，∴，∴∵，点E在上，∴点E与点B重合，∴．综上，CE的长为1