4.1 比例线段（4大题型）（分层练习）（解析版）

第4章相似三角形4.1比例线段（4大题型）分层练习考查题型一比例的性质1．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知等式可得，再代入所求代数式计算可得答案．【详解】解：∵，∴，∴故选C．【点睛】此题考查的是比例的性质，能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据比的性质化简，得，进而得到．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了比例的性质，正确掌握比例的性质是解题的关键．3．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）已知，那么的值为．【答案】1【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴设，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）在创建全国文明城市的过程中，某市要对新华南路的路面进行维修改造若从的图纸上量得该路的图上距离为，则这条路的实际距离是．【答案】2【分析】根据比例的性质得出这条道路的实际长度为，再转化单位即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）（1）若，则___________；（2）若，则___________；（3）若，则___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）对化简得，再把代入，即可；（2）根据，得，把的值代入，即可；（3）对化简，得，把的值代入，即可【详解】（1）∵，∴；故答案为：．（2）∵，∴，∴，故答案为：．（3）∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质．考查题型二线段的比1．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（

）A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米【答案】C【分析】根据比例尺图上距离：实际距离进行求解即可．【详解】解：由题意得：图上距离：实际距离，∴图上距离：8毫米，∴图上距离为80毫米，即为8厘米，故选：C．【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离：实际距离是解题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设，∴，∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键．3．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则．【答案】/0.5【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可【详解】解：∵点D是AB中点，∴AB=2AD，∴故答案为：【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．4．（2023秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）已知三条线段cm，m，b为a，c的比例中项，则cm．【答案】【分析】根据比例中项的概念求解即可，b为a，c的比例中项，则．【详解】解：由题意可得，b为a，c的比例中项，则，∵cm，m∴则，解得，负值舍去，故答案为．【点睛】此题考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解题的关键，注意求解时单位的换算．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知线段、、，且.（1）求的值；（2）若线段、、满足，求、、的值.【答案】（1）；（2），，【分析】（1）设，则，，，代入即可化简；（2）根据得到，解出k即可求解.【详解】解；（1）设则，，∴（2）∵∴解得∴，，【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出k的值是解题关键．考查题型三成比例线段1．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）已知，，，成比例线段，其中，，，则（

）A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】A【分析】根据成比例线段列式计算即可．【详解】解：∵，∴，故选A．【点睛】此题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．2．（2023秋·湖南永州·九年级校考期末）下列各组中的四条线段成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，6cm B．4cm，5cm，6cm，10cmC．1cm，2cm，5cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm【答案】A【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【详解】解：A、，四条线段成比例，符合题意；B、，四条线段不成比例，不符合题意；C、，四条线段不成比例，不符合题意；D、，四条线段不成比例，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若线段、、、成比例，其中，，，则．【答案】4cm【分析】根据成比例线段的概念，得．再根据比例的基本性质，求得的值．【详解】解：∵四条线段成比例，，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．4．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）如果线段a，b，c，d是成比例线段，且，那么为．【答案】24【分析】由题意可得出，代入数据，即可求出的值．【详解】解：∵是成比例线段，，即，解得：，故答案为：24【点睛】本题考查比例线段的定义．注意各个字母的顺序是解题关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．(1)求和；(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？【答案】(1)，(2)线段，AB，，BC是成比例线段．【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【详解】（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝（2）由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．考查题型四黄金分割1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点C为线段的黄金分割点，，若，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义，线段上一点将线段分成两部分，两部分中较短的线段与较长线段的比值等于较长的线段与整条线段的比值等于，这个点就叫做这条线段的黄金分割点，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故选A【点睛】本题考查黄金分割点．熟记定义，是解题的关键．2．（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为.如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，从而可得是“黄金三角形”，最后进行计算即可解答．【详解】解：，，平分，，，，，是“黄金三角形”，，，，故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割，以及等腰三角形的判定是解题的关键．3．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长为m．【答案】5【分析】设该车车身总长为，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为，则根据题意列方程，然后解方程即可．【详解】解：设该车车身总长为，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为，∴，解得，即该车车身总长为5米．故答案为：5．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为．

【答案】/【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可；【详解】解：∵为的黄金分割点，∴∴（）故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是．(1)求该女士下半身长；(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到）【答案】(1)该女士下半身x为；(2)她应穿的高跟鞋的高度为．【分析】（1）列式计算即可求解；（2）设需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可．【详解】（1）解：；答：该女士下半身x为；（2）解：设需要穿的高跟鞋是，则，解得：，答：她应穿的高跟鞋的高度为．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）下面四组线段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据成比例线段的定义，对各选项进行计算判断即可．【详解】解：，即，A成比例，故不符合要求；，即，B成比例，故不符合要求；，C不成比例，故符合要求；，即，D成比例，故不符合要求；故选：A．【点睛】本题考查了成比例线段．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．2．（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）若，则下列各式中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，．代入选项计算结果，即可得到答案．【详解】解：设，，A．，正确，故A选项不符合题意；B．，原式错误，故B选项符合题意；C．，正确，故C选项不符合题意；D．，正确，故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题．【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，，，，A、C、D选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【详解】解：由，，，故选：A．【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．5．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案．【详解】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，第二次裁剪所得矩形的长为，宽为，第三次裁剪所得矩形的长为，宽为，第四次裁剪所得矩形的长为，宽为，第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，，．故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键．6．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考阶段练习）已知点C是线段的黄金分割点，，若，则的长为．【答案】【分析】根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项．【详解】解：点C是线段的黄金分割点，，设，，，，，，（舍去），，故答案为：．【点睛】本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．7．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考阶段练习）若，则.【答案】3【分析】根据比例设，则，然后代入比例式进行计算即可．【详解】解：，设，则，，．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比的基本性质是解题的关键．8．（2023春·山东威海·八年级校联考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段．

【答案】【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，求出，得出，即可得出结论．【详解】解：根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，，，以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．9．（2023·河北衡水·校考模拟预测）已知A，B两地相距，甲、乙两人分别从A，B两地同时匀速出发．若相向而行，则经过后两人相遇；若同向而行，则经过后甲追上乙（1）甲、乙两人的速度，；（用含a，b的代数式表示）（2）若，则．【答案】【分析】（1）根据题意可得，相向而行时，甲乙两人的路程和等于A，B两地距离，同向而行时，甲乙两人路程差等于A，B两地距离，列出方程组求解即可；（2）由（1）可得，整理可得，即可得出．【详解】（1）解：根据题意可得：，整理得：，解得：，故答案为：，．（2）由（1）可得，∴，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，比例的性质，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，掌握解二元一次方程组的方法和步骤．10．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点为上的黄金分割点（），，作如下操作：步骤1：以点为圆心，小于1为半径作圆弧，分别与，交于点，；步骤2：作的中垂线；步骤3：以点为圆心，为半径为圆弧交于点，连接．则线段，，圆弧围成的几何图形面积为．【答案】【分析】根据为上的黄金分割点得到，根据得到的长度，于是线段，，