数学（选修23）练习7.3.17.3.2第1课时组合活页作业5

活页作业(五)组合与组合数公式及其性质一、选择题1．下列问题中，组合问题的个数是()①从全班50人中选出5人组成班委会；②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；③从1,2,3，…，9中任取两个数求积；④从1,2,3，…，9中任取两个数求差或商．A．1 B．2C．3 D．4解析：只有①③是组合问题．答案：B2．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．52种 B．36种C．20种 D．10种解析：1号盒放1个，2号盒放3个，方法种数是Ceq\o\al(1,4)＝4；1号盒放2个，2号盒放2个，方法种数是Ceq\o\al(2,4)＝6.所以不同的放球方法共有4＋6＝10种．答案：D3．若集合A＝{x|Ceq\o\al(x,7)≤21}，则组成集合A的元素有()A．1个 B．3个C．6个 D．7个解析：∵Ceq\o\al(0,7)＝Ceq\o\al(7,7)＝1，Ceq\o\al(1,7)＝Ceq\o\al(6,7)＝7，Ceq\o\al(2,7)＝Ceq\o\al(5,7)＝21，x＝0,1,2,5,6,7，∴A＝{0,1,2,5,6,7}．答案：C4．已知圆上有9个点，每两点连一线段．若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个C．63个 D．126个解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求．所以交点有Ceq\o\al(4,9)＝126个．答案：D二、填空题5．计算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝________.解析：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝eq\f(10×9×8,3×2×1)＝120.答案：1206．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有Ceq\o\al(4,10)＝210种分法．答案：210三、解答题7．计算：(1)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(98,100)Ceq\o\al(7,7)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5).解：(1)原式＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,100)×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.8．在一次走访养老院的活动中，从10名(男生4名，女生6名)志愿者中选出6人表演节目．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选6人；(2)男、女生都要参加；(3)至少有2名男生参加．解：(1)任意选6人有Ceq\o\al(6,10)＝210种不同的选法．(2)只有女生参加的选法有Ceq\o\al(6,6)＝1种，所以男、女生都要参加有Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(6,6)＝210－1＝209种不同的选法．(3)至少有2名男生参加，分三类．第一类，有2名男生，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)＝90种选法；第二类，有3名男生，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,6)＝80种选法；第三类，有4名男生，有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,6)＝15种选法．根据分类加法定理知，共有90＋80＋15＝185种选法．一、选择题1．若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，则n等于()A．12 B．13C．14 D．15解析：Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，即Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.答案：C2．式子eq\f(nn＋1n＋2…n＋100,100！)可表示为()A．Aeq\o\al(100,n＋100) B．Ceq\o\al(100,n＋100)C．101Ceq\o\al(100,n＋100) D．101Ceq\o\al(101,n＋100)解析：n(n＋1)(n＋2)…(n＋100)共有n＋100－n＋1＝101项，最大项为n＋100，∴n(n＋1)(n＋2)…(n＋100)＝Aeq\o\al(101,n＋100).∴原式＝eq\f(A\o\al(101,n＋100),100！)＝101·eq\f(A\o\al(101,n＋100),101！)＝101Ceq\o\al(101,n＋100).答案：D二、填空题3．对所有满足1≤m＜n≤5的自然数m，n，方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．解析：∵1≤m＜n≤5，∴Ceq\o\al(m,n)可以是Ceq\o\al(1,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)，Ceq\o\al(2,5)，Ceq\o\al(3,5)，Ceq\o\al(4,5)，其中Ceq\o\al(1,3)＝Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)＝Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(4,5)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,5).∴方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1能表示的不同椭圆有6个．答案：64．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类．第一类，两台甲型机，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝30；第二类，两台乙型机，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝40.根据分类加法计数原理知，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝70种不同取法．答案：70三、解答题5．(1)解方程：3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al(2,x－4).(2)解不等式：Ceq\o\al(4,n)＞Ceq\o\al(6,n).解：(1)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·eq\f(x－3！,x－7！4！)＝5·eq\f(x－4！,x－6！)，则eq\f(3x－3,4！)＝eq\f(5,x－6)，即为(x－3)(x－6)＝40.所以x2－9x－22＝0.解得x＝11或x＝－2.经检验知，x＝11是原方程的根．所以方程的根为x＝11.(2)由Ceq\o\al(4,n)＞Ceq\o\al(6,n)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n！,4！n－4！)＞\f(n！,6！n－6！)，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－9n－10＜0，,n≥6，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜n＜10，,n≥6.))又n∈N＋，所以该不等式的解集为{6,7,8,9}．6．有11名划船运动员，其中右舷手4人，左舷手5人，还有甲、乙两人左、右都能划．现要选8人组成一个划船队参加竞赛(左、右各4人)，有多少种安排方法？解：如图，按右舷手为标准安排，分三类．右舷手4人都入选有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(4,7)种；右舷手入选3人，则甲、乙中选一人作右舷手有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,6)种；右舷手入选2人，同理