2022-2023学年天津市重点高中高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年天津市重点高中高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共14小题，共56.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知点P（s讥a-cosa,tcma）在第一象限，则在［0,2初内a的取值范围是（）

A5B^

u一

4-^

353

cu8Du

4-4-(o,2-

2.函数y=sin（K-%）cos（w-%）的单调增区间为（）

OO

A.[kn-^,kn+^],(fcGZ)B.\2kir+,2kn+(kE.Z)

C.[kn+^-,kn+,],(kEZ)D.[2/CTT—,2/CTT+(k6Z)

3.函数y=sin(2x+5)的图象()

A.关于原点对称B.关于y轴对称

C.关于直线尤=?寸称D.关于直线第="对称

o

4.计算2s讥14。•cos310+s讥17。等于()

A.0B.一世C.皮D.—如

2222

5.函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80。)的最大值是()

ii

A.51B.61C.7D.8

6.函数/'(x)=|sinx|+|cosx|的取值范围是()

A.[0,V2]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,V2]

7.不等式1W|2x—1|<2的解集为()

A.(-l,o)u(l,|)B.(-l,0]u[l,|)

1Q12

C.(一',。]u[1,3D.(-oo,--]u[1,-]

8.若函数/Q）,g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足/（x）-g（x）=ex,则有（）

A./(2)</(3)<5(0)B.5(0)</(3)</(2)

C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)</(3)

9.在下列区间中，函数/(x)=二+4工—3的零点所在的区间为()

A.（-；，。）B.（0,》C.（另）D.弓,令

10.函数y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域为R.则实数TH的取值范围是()

A.(0,4)B.[0,4]

C.(—00,0)U(4,+8)D.(—00,0]U[4,+oo)

11.函数f(x)=(言—的图象大致形状为()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

71

13.若实数％、y满足%>y>0,且log2%+log2y=2,贝女+,的最小值为()

A.4B.V2C.V3D.2

14.已知函数/(%)=则函数g(x)=f(l—x)—1的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)

15.函数f(x)=普耳的定义域为____.

log2(.x-l)

16.已知函数/(%)=(sinx—cosx)sinx,xER,则/(%)的最小正周期是.

2

17.(1一[。063)坦及为竺的值是

•log♦

_TT"11

已知则

18.5/VaV",-7T<£<0,tana=3tan/3=-/2a+/?=_____.

三、解答题（本大题共3小题，共28.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.(本小题8.0分)

已知函数/'(x)=4cosxsin(^x+

(1)求居)的值；

(2)求函数/(©的最小正周期及其图像的对称轴方程.

20.(本小题10.0分)

已知。<a<pcos(a+；)=g

(1)求tan(a+今的值；

(2)求sin(2a+E)的值.

21.(本小题10.0分)

已知函数/(久)=e"+e—,其中e是自然对数的底数.

(1)证明：f(x)是R上的偶函数；

(2)若关于x的不等式(x)<e~x+m-1在(0,+8)上恒成立，求实数机的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：点P(sina-cosa"cma)在第一象限,

即｛sina>coscr

vae[0,2TT],

TI.Sn

-<.a<—

44,

(0<a<或7r<a<^-

即(<a<或7i<a<叫

故a6U(兀,空，

故选：A.

根据点的坐标与象限之间的关系，结合三角函数的图象和性质进行求解即可.

本题主要考查三角函数符号的判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键.

2.【答案】C

1

nr

【解析】解：y=sin偌一%)cos偌一%)2-siKl974T-2%）=--sin（2x—彳）,

令2+2/CTT<2x——<2kli+—,(fcEZ),

整理得萼+/C7T<%<fcTT+(fcGZ),

oo

故函数的单调递减区间为用+抽0+引，(keZ).

故选：c.

首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于基础题和易错题.

3.【答案】D

【解析】解：因为/(0)=sin与=苧W0，故A错误；

在函数y=sin(2%+勺中，令2%+。="fcez,可得久=粤+3fcez,

0111

oDzL12

可得当k=0时，X=%即函数y=sin(2x+9的图象关于直线x=V对称，故。正确；

1Z011151Z

令》=殍+蒋=0,解得k=—故B错误；

2126

令％=殍+蒋=?解得k=^z,故C错误.

Z1Z66

故选：D.

利用正弦函数的对称性即可求解.

本题考查正弦函数的对称性，过图象的顶点垂直于x轴的直线都是正弦函数的对称轴，图象和K轴

的交点即为对称中心，考查了函数思想，属于中档题.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查三角函数值的求法，考查两角和差的正弦公式的运用，属于基础题.

将17°=31。-14。，运用两角差的正弦公式化简，再运用两角和的正弦公式，注意逆用公式，从

而得到结果.

【解答】

解：2sinl40-cos31°+sinl7°

=2sinl4°-cos31°+sin(31°—14°)

=2sinl40cos31°+sin31°cosl4°—cos31°sml4°

=sin31°cosl40+cos31°sinl4°

=sin(31°+14°)

=sM45°

=V2

-y

故选A.

5.【答案】C

【解析】解：ry=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)

=3sin(x+20°)+5sin(x+20°+60°)

=3sin(x+20°)+|sin(x+20°)+cos(x+20°)

=~sm(x+20°)+^^cos(x+20°)

=7s出(x+200+6),且tan。=挈，

二函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是7,

故选：C.

先将函数化为y=7s讥0+20。+6),且tan。=笔，再利用正弦函数的性质求解即可.

本题考查三角函数的恒等变换，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：当2/OT<xWg+2k兀时，/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx+cosx=V2sin(x+7)

・・・/(%)e[1,V2]

当彳+2kn<%<7T+2/OT时,/(%)=\sinx\+\cosx\=sinx-cosx=V2sin(x—7)

・•・/(%)e[1,V2]

当兀+2kn<%<^+2k7r时，/(%)=\sinx\+\cosx\=—sinx-cosx=-V2sin(x+7)

24

[1,V2]

当孚+2kn<x<2TT+2/CTT时，/(%)=\sinx\+\cosx\=-sinx+cosx=-V2sin(x-7)

z4

f(x)e[1,V2]

故选：D.

根据％的不同范围对函数“x)去绝对值符号，进而可得到函数f(x)的范围，确定答案.

本题主要考查正弦函数和余弦函数在不同范围时的函数值的符号，考查两角和与差的正弦公式的

应用.对三角函数的考查一般以基础题为主，要强化基础的夯实.

7.【答案】B

【解析】解：由1W\2x-1|<2得，一2<2x—1W—1或1<2x-1<2,

解得W0或U<|.

故选：B.

利用绝对值的几何意义即可求解.

本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意，函数f(x),g(久)分别是R上的奇函数、偶函数，

则有/'(一式)=-/(X),g(—x)=g(x),

又由/(x)-g(x)=e*,①

则/(一式)-g(-x)--f(x)-g[x}=e~x,即/(x)+g(x)=-e~x,②

联立①②解可得：f(x)=",g(x)=一七，J

2—23—3

g(0)=—1,<(2)=/(3)=

分析可得：g(0)<f(2)<f(3)；

故选：D.

根据题意，由/'(无)一g(x)=e*结合函数的奇偶性的性质可得/久)-g(-x)=-/(%)-。(久)=

e~x,变形可得/'(x)+g(久)=-eT,联立两个式子解可得：/(%)=一,g(x)=-^―y->即

2—?RR

可得g(0)=-1,f(2)=/(3)=比较即可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质，关键是利用函数的奇偶性求出f(x)、久久)的解析式.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点存在性定理及函数的单调性.

判断函数/(久)=1+4久-3单调递增，然后利用零点存在性定理求解即可.

【解答】

解：:函数y=e*和函数y=4久—3在R上都单调递增，

二函数f(久)=ex+4x—3在(—8,+8)上为增函数，

则/(X)最多一个零点，

•；/(；)=e4+1—3<0>

f(^)=Ve+2—3=y[e-1>0,

•••冷用)<0，

・•・函数f(久)=峭+4x—3的零点所在的区间为(。,与

4Z

故选C.

10.【答案】D

【解析】解：・函数y=lg[x2+(m-2)x+1]的值域为R,

方程/+(m-2)x+1=。的4=(m-2)2-4>0,解得m>4或爪<0.

故选：D.

转化为方程/+(m-2)x+1-0的4>0,解得jn范围.

本题主要考查转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题.

先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证.

【解答】

解：・・,/(K)=卬裳-1)-sinx,定义域为R,关于原点对称，

27ex2

(=(五*-一(强标-=(强》-

f—x)1)-sin(-x)=l)sinx1)-Sinx=/(x),

・•・函数/(%)为偶函数，故排除C,D,

当x=2时，/(2)=(京—1)7讥2<0,故排除8,

故选：A

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数函数单调性的合理运用，属于基础题.

因为a=g^=lnV^,b=^-=lnV3,c=-^=lnV5,所以先比较V3>遮的大小，然后再

利用单调性比较a,b,c的大小.

【解答】

解：a=^=lnV2,6=竽=111遮，c=^=InVS，

•••(V2)6=23=8,(%)6=32=9,

(V2)10=25=32,(V5)10=52=25,

•••V5<V2<V3.

因为Inx在定义域内为增函数，

：.c<a<b.

故选：C.

13.【答案】B

【解析】解：实数％、y满足］>y>0,且Sg2%+log2y=2,

则log2%y=2,即久y=4,

故3+工=坦生=竽2叫互=&,当且仅当x=2y=2/时，等号成立，

xyxy44)

故的最小值为企.

xy

故选：B.

根据已知条件，结合对数的运算性质，推得孙=4,再结合基本不等式的公式，即可求解.

本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题.

14.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力.

利用已知条件求出/(1-乃的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可.

【解答】

x2+2xx<0

解：函数/（%）=

.|lgx|%>O'

x2—4%+3%>1

/(I一%)=

.|Ig(l-x)|x<1"

函数g(%)=7(1-%)-1的零点个数,

就是y=/（I-%）与y=1交点个数,

如图：可知两个函数的图象有三个交点,

函数g（%）=/（I一x）—1的零点个数为3.

故选：C.

15.【答案】［3,+8）

【解析】解：若使函数f（X）=善写的解析式有意义，

（|x-2|-1>0

自变量%须满足：％-1>0,

、%—1。1

解得：%e［3,+oo）,

故函数/（©=肾然的定义域为［3,+OO）,

故答案为：［3,+8）

/I（\X~2|-1>0

根据使函数/（X）=蒜号的解析式有意义，得到不等式组：卜-1）■0，解得答案.

：1

求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的

取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实

际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则

运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空

集，则函数不存在.(4)对于(4)题要注意：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“久-a”

所要满足的范围是一样的；②函数g(x)中的自变量是x,所以求g(x)的定义域应求。(久)中的久的范

围.

16.【答案】兀

【解析】解：/(%)=sin2%—sinxcosx=1c°s2x—^-sin2x=—\/2sin(2x+7)+^>

2L4L

此时可得函数的最小正周期T=y=7T.

故答案为：n.

/(%)=Qsinx-cosx)sinx=sin2%—cosxsinx,再由二倍角公式可得f(%)=—V2sin(2x+?)+彳,

4L

最后可得答案.

本题主要考查运用三角函数的二倍角公式对函数进行化简后求函数周期的问题.二倍角公式在三

角函数的化简中经常用到，要引起重视.

17.【答案】1

22

【解析】解：[(1-log^}+log62■log618]+log64=[Qog62)+log62-log618]+log64

4

=log62-log6(2x18)+jOg64=2log62|Og6=1.

故答案为：1.

利用对数的运算法则即可得出.

本题考查了对数的运算法则，属于基础题.

18.【答案】？

4

-117r

【解析】解：•••tana=-tan/?=--<a<TI,-TT</?<0,

3/乙

31

••.tm2a=之比=一］，tan(2a+£)=tan2a+tanp_(-4)+(-7)

1—tan2atan^1_(_》义(一今

又,・,毛<2a<2〃，—y<<0,可得：2a+£6(加,2兀),

•••2a+夕=?.

故答案为：

4

由已知利用二倍角的正切函数公式可求tcm2a,利用两角和的正切函数公式可求tan(2a+£),结

合2a+0的范围，由正切函数的图象和性质即可得解2a+0的值.

本题主要考查了二倍角的正切函数公式，两角和的正切函数公式，正切函数的图象和性质在三角

函数化简求值中的应用，考查了转化思想，求出tcm2a的值的关键.注意角的范围.属于基础题.

19.【答案】解:(1)函数f(久)=4cosxsin(x+7)=4cos久sinx+-cosx)=y/3sin2x+cos2x+

6

1=2sin(2x+9+1,

所以fG)=2s讥V+1=0.

(2)由于/(%)=2sin(2x+^)+1,

所以函数的最小正周期T=y=7T；

令2%+，=攵兀+5,(fcGZ),整理得％="+(kEZ),

。，Z6

故函数的对称轴方程为尢=竽+9(kez).

【解析】(1)首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函

数的值；

(2)利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力

和计算能力，属于基础题和易错题.

20.【答案】解