八年级数学二次根式的性质与运算练习题及答案

二次根式的性质与运算练习题温故而知新：1.二次根式的概念定义：一般地，我们把形如___（a≥0）的式子叫做二次根式，符号“”称为二次根号.2.二次根式的性质（1）（a≥0）是一个非负数；（2）（）2＝a（a≥0）；（3）.3.二次根式的乘法___________(a≥0，b≥0).4.二次根式的除法___________(a≥0，b>0).5.积的算术平方根的性质=_____________(a≥0，b≥0).6.商的算术平方根的性质___________(a≥0，b>0).7.最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.8.二次根式的加减二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例1（2013·娄底）使式子有意义的x取值范围是()A.x≥-，且x≠1B.x≠1C.x≥-D.x>-，且x≠1解析：根据二次根式有意义的条件可得2x+1≥0，解得x≥-；由分式有意义的条件可知x-1≠0，即x≠1；综上可知x≥-，且x≠1.答案：A小结：在求解有关字母范围问题时，一般要注意以下两个方面：（1）二次根式的被开方数是非负数；（2）分式的分母不为0.举一反三：1.（2012·南充）在函数y=中，自变量x的取值范围是()A.x≠B.C.D.解析：由二次根式有意义的条件可知1-2x≥0，解得；由分式有意义的条件可知≠0，即x≠；所以x的取值范围是.例2（2012·全国竞赛）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为()A.2c-aB.2a-2bC.-aD.a解析：观察数轴可知b<a<0<c，；a+b<0，c-a>0，b+c<0；=-a+（a+b）+（c-a）-（b+c）=-a.答案：C小结：解本题的关键是从数轴上获取信息，从而确定a，a+b，c-a，b+c的符号.例3已知xy>0，化简二次根式x的正确结果为()A.B.C.-D.-解析：由xy>0可知x>0且y>0或x<0且y<0；由二次根式有意义的条件可知，又x2>0，所以-y>0，即y<0，所以x<0且y<0；方法一：x=x·=x·=x·=；方法二：x=-（-x）·=-·=-=.答案：D举一反三：4.已知x<1，则化简的结果是（）A.x-1B.x+1C.-x-1D.1-x解析：===1-x.5.若整数m满足条件且，则m的值是_________.解析：由得m+1≥0，m≥-1，所以-1≤<1；又因为m是整数，所以m的值是-1或0.6.把（a-2）根号外的因式移到根号内后，其结果是______________.解析：由二次根式有意义的条件可知>0，即2-a>0，所以（a-2）=-（2-a）=-·=-=-.例4若，则x-y的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0且1-x≥0，解得x=1；所以=0-0=0，所以（1+y）2=0，y=-1；x-y=1-（-1）=2.答案：C小结：非负数有如下几个性质:(1)有限个非负数的和为非负数；(2)非负数与正数之和为正数；(3)有限个非负数的和为0,则每个非负数都为0.例5已知实数a满足，则a-20142的值为_______.解析：根据二次根式有意义的条件可得a-2015≥0，解得a≥2015；所以可化为，整理得；两边同时平方，整理可得a-20142=2015.答案：2015小结：在解决含二次根式与绝对值的问题时，要谨记：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用.例6已知非零实数a，b满足，则a+b等于（）A.-1B.0C.1D.2解析：由得≥0，所以=2a-4，所以，即；由几个非负数的和为0则这几个数都为0可知且，所以b+2=0，b=-2；（a-3）b2=0，a=3；a+b=3+（-2）=1.答案：C小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于要能够想到将所给等式进行简单变形后，我们可以得到条件2a-4≥0，将等式化简为我们常见的几个非负数之和为零的形式，进而可分别求出a，b的值，进一步得到正确答案.常见的非负数有三种形式：、a2、（a≥0）.例7已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b+=10a+-22，则△ABC为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：将a2+b+=10a+-22的右边移到左边整理得（a-5）2+（-1）2+=0；由几个非负数的和为0则这几个数都为0可知，-1=0，=0，解得a=5，b=5，c=5；所以a=b=c，故△ABC为等边三角形.答案：B小结：解本题的关键在于利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2对所给等式进行变形，变形后再根据几个非负数的和为0则这几个非负数均为0分别求出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状.举一反三：2.若，则xy的值为()A.8B.2C.5D.-6解析：根据可得x-2y=0，y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以xy=8.3.若a，b为实数，且满足，则b-a的值为（）A.2B.0C.-2D.以上都不对解析：由可得a-2=0，-b2=0，所以a=2，b=0，所以