2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题04 初识非负数

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题4初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1.去绝对值符号法则2.绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数，表示数轴上数、数的两点间的距离.3.绝对值常用的性质①②③④⑤⑥例题与求解【例1】已知，且，那么.（祖冲之杯邀请赛试题）解题思路：由已知求出、的值，但要注意条件的制约，这是解本题的关键.【例2】已知、、均为整数，且满足，则（）A.1B.2C.3D.4（全国初中数学联赛试题）解题思路：≥0，≥0，又根据题中条件可推出，中一个为0，一个为1.【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代数式…－的值.解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出…，的值，注意的化简规律.【例4】设、、是非零有理数，求的值.解题思路：根据、、的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.（希望杯邀请赛试题）【例5】设是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.记，求S的最小值.（四川省竞赛试题）解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯竞赛试题）解题思路：由知，即，代入原式中，得，再对的取值，分情况进行讨论.A级1.若为有理数，那么，下列判断中：（1）若，则一定有；（2）若，则一定有；（3）若，则一定有；（4）若，则一定有；正确的是.（填序号）2.若有理数满足，则.3.若有理数在数轴上的对应的位置如下图所示，则化简后的结果是.4.已知正整数满足，，且，则的值是.（四川省竞赛试题）5.已知且，那么.6.如图，有理数在数轴上的位置如图所示：则在中，负数共有（）A．3个B．1个C．4个D．2个（湖北省荆州市竞赛试题）7.若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－138.若是有理数，则一定是（）A．零B．非负数C．正数D．负数9.如果，那么的取值范围是（）A．B．C．D．10.是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（）A．只有（1）正确B．只有（2）正确C．（1）（2）都正确D．（1）（2）都不正确（江苏省竞赛试题）11.已知是非零有理数，且，求的值.12.已知是有理数，，且，求的值.（希望杯邀请赛试题）B级1.若，则代数式的值为.2.已知，那么的值为.3.数在数轴上的位置如图所示，且，则.（重庆市竞赛试题）4.若，则的值等于（五城市联赛试题）5.已知，则.（希望杯邀请赛试题）6.如果，那么代数式在≤≤15的最小值（）A.30B.0C.15D.一个与有关的代数式7.设k是自然数，且，则等于（）A.3B.2C.D.（创新杯邀请赛试题）8.已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．9（希望杯邀请赛试题）9.已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（）A．唯一确定的值B．3种不同的值C．4种不同的值D．8种不同的值10.满足成立的条件是（）A．B．C．D．（湖北省黄冈市竞赛试题）11.有理数均不为0，且，设，试求代数式的值.（希望杯邀请赛训练题）专题04初识非负数例1－2或－8例2B提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一个为0，一个为1，不妨设｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，则a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．例36提示：由题意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．例4－1或7提示：分下列四种情形讨论：（1）若a，b，c均为正数，则ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；（2）若a，b，c中恰有两个正数，不失一般性，可设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，则原式＝－1；（3）若a，b，c中只有一个正数，不失一般性，可设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，则原式＝－1；（4）若a，b，c均为负数，则ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．例5根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少?”为避免重复，从左到右走到6，再从右到左走到1为最短路线，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，则S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．例6根据｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4．对3a－1的取值分情况讨论为：（1）当3a－1＞0，即a＞时，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（2）当3a－1＜0，即a＜时，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，则（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（3）当3a－1＝0，即时，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．综上可知a＝，b＝－，ab＝－．A级1．（4）2．－3．1－2c＋b提示：－1<c<0<a<b∴c－1<0，a－c>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c＋b．4．2提示：原式变形为｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a<b≤2．又∵a，b为正整数，故a＝1，b＝2．5．46．A7．A8．B9．D10．A11．－1提示：a，b，c中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正二负或二正一负，原式值都为－1．12．∵｜a－b｜<9，｜c－d｜≤16，故｜a－b｜＋｜c－d｜<25．又∵25＝｜a－b－c＋d｜＝｜(a－b)＋(d－c)｜≤｜a－b｜＋｜c－d｜<25，∴｜a－b｜＝9，｜c－d｜＝16，故原式＝9－16＝－7．B级1．12．3．24．1或－35．－946．C提示：利用绝对值的几何意义，结合数轴进行分析，当x取15时，原式有最小值15．7．A提示：b＝－ka且k>0．故｜b｜＝k｜a｜，代人原式中，原式＝．当a＞0时，原式＝；当a＜0时，原式＝．故原式＝3．8．B提示：分0≤a≤2，2<a≤3，3<a≤4三种情况讨论．9．B10．C11．提示：a，b，c中不能全同号，必一正二负或二正一负，得a＝－(b＋c)，b＝－(c＋a)，c＝－(a＋b)，即，，，∴，，中必有两个同号，另一个符号与其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1，1＝1，原式＝1902．专题5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．【例2】在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①，②，③，④，其中，正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到，再对代数式进行逐以一判断．【例3】如图所示，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点．如果，试确定原点的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而是解题的关键．【例4】（1）阅读下面材料：点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．当两点中有一点在原点时，当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；

③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．④求的最小值．（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值．【例6】如图，是数轴上表示－30的点，是数轴上表示10的点，是数轴上表示18的点，点在数轴上同时向正方向运动．点运动的速度是6个单位长度/秒，点和点运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？

（2）t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时t的值．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）三点在数轴上同时向正方向运动，分别当点运动到点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点左侧，则分为“点在左边”，“点在之间”，“点在右边”三种情况来求解．能力训练A级1．已知数轴上表示负数有理数的点是点，那么在数轴上与点相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（江苏省竞赛试题）2．如果数轴上点到原点的距离为3，点到原点的距离为5，那么两点的距离为______________．3．点分别是数，在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到的中点对应数3，则点对应的数是________________，点移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知，且，那么有理数的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）．A．1998B．1999C．2000D．2001（重庆市竞赛试题）6．如图，为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（）A．1B．2C．3D．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）．A．B．C．D．8．如图所示，在数轴上有六个，且，则与点所表示的数最接近的整数是（ ）．A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：且，求的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左挑一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是_________________．11．如图，已知分别为数轴上两点，点对应的数为－20，点对应的数为100．（1）求过中点对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．B级1．有理数在数轴上的位置如图所示：则化简的结果为_____________________．2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“”的镜头（如示意图中站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于－2，－1处，，则站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若点与原点的距离是点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则点表示的数是_________________．（河南省竞赛试题）4．若，则使成立的的取值范围是__________________．（武汉市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点，且，那么，到三点距离的和最小的点为（ ）．A．点外B．线段的中点C．线段外一点D．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右边，且，点在点的左边，且，点在点的右边，且，，依照上述规律，点所表示的数分别为（ ）．A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004（福建省泉州市中考试题）7．设，则下列四个结论中正确的是（ ）．A．没有最小值B．只有一个使去最小值C．有限个（不止一个）使去最小值D．有无穷多个使取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点对应的数分别是整数，且，那么数轴的原点对应点是（ ）．A．B．C．D．（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）9．已知，求的最大值和最小值．（江苏省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．11．如图，数轴上标有个点，它们对应的整数是．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）专题05数与形的第一次联姻例112提示：点A表示数为3或－3，满足条件的点B共有4个．例2B提示：由数轴知a＜－1＜0＜b＜c＜1．∴abc＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正确；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正确．例3原点O在线段AC上．例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002例5如图，用A，B，C，D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给，，，，台电脑．依题意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本题要求y＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|．由绝对值几何意义可知，当＝3时，y有最小值12．此时有＝0，＝1，＝－6，＝－2．所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台．例6（1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向运动．当点A运动到点C左侧时，∵线段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．当点A运动到点C右侧时，∵线段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．综上可知，t为14或18时，线段AC＝6．当点A，B，C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别为：6t－30，10＋3t，18＋3t．∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点．∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：，，．且点M始终在点N左侧．①若点P在M，N左边，则PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝．②若点P在M，N之间，则PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝24－1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝．③若点P在M，N右边，则PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，∴t＝12．但此时PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情况不成立．综上可知，t＝或时符合题意．A级1．2m2．2或8 ，提示：AB的长为＝，对应的数为3－＝，点A移动的距离为－（－3）＝．4．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．510．－30．06提示：设点表示的有理数为x，则，，…，点所表示的有理数分别为x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94．11．（1）M点对应的数为＝40．（2）相遇时间为＝12秒，C点对应的数为100－12×6＝28．（3）追击时间为60秒，D点对应的数为－260．B级1．－22．3．24或40．提示：设N点对应的数为x．根据绝对值的几何意义可知|x|＝4|x－30|．对x分情况讨论得出x＝24或x＝40．b≤x≤a5．A6．C7．D8．C9．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．∵|x＋2|＋|1－x|≥3，当－2≤x≤1时等号成立；|y－5|＋|1＋y|≥6，当－1≤y≤5时等号成立．∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．10．调运后各仓库的存货量都相等，应为×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨．设A库运往B库吨，B库运往C库吨，C库运往D库吨，D库运往E库吨，E库运往F库吨，F库运往A库吨，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64．所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19．若使调运量最小，则有y＝||＋||＋||＋||＋||＋||＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值．而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤-6时，y有最小值，此时，-33-20，-130，316，922，013.当=-19时，=-33,=-13，=3,=9,=0.即A库运往B库-33吨，亦即B库运往A库33吨.B库运往C库-13吨，亦即C库运往B库13吨.C库运往D库3吨，D库运往E库9吨，E库运往F库0吨，F库运往A库19吨，总调运量为77吨.11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任何两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4.因为2006=4×501+2，8×501=4010.故当n=2005时，2n+1=4011.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个点，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.从左到右，第8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.综上所述，n的最小值是2005.专题06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：1．利用运算律．2．以符代数．3．裂项相消．4．分解相约．5．巧用公式等．例题与求解【例1】已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则的值等于______________．（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】已知整数满足，且，那么等于（ ）A．0B．10C．2D．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】计算：（1）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）（3）．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．【例4】都是正整数，并且，．(1)证明：，；(2)若，求和的值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．【例5】在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求的值．（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．【例6】记，令称为这列数的“理想数”，已知的“理想数”为2004．求的“理想数”．（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为为各项和，为各项和的和乘以．能力训练A级1．若互为相反数，互为倒数．，的值为____________．（湖北省武汉市调考试题）2．若，则=___________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．（湖北省仙桃市中考试题）6．如果有理数满足关系式，那么代数式的值（ ）A．必为正数B．必为负数C．可正可负D．可能为0（江苏省竞赛试题）7．已知有理数两两不相等，则，，中负数的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．0个或2个（重庆市竞赛试题）8．若与互为相反数，则＝（ ）A．0B．1C．－1D．1997（重庆市竞赛试题）9．如果，，则的值是（ ）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀请赛试题）10．若是互为不相等的整数，且，则等于（ ）A．0B．4C．8D．无法确定11．把，3.7，，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）12．已知都不等于零，且的最大值为，最小值为，求的值．B级1．计算：＝________________．（“五羊杯”竞赛试题）2．计算：＝________________．（“希望杯”邀请赛试题）3．计算：＝____________________．4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．已知2000年底，人类知识总量，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人类知识总量是：__________________；（2）2019年底人类知识总量是：__________________；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．（北京市顺义区中考试题）5．你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）①，②；③；④；⑤（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________；（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小_____：．（福建省龙岩市中考试题）6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（ ）A．－2B．－1C．0D．2（全国初中数学竞赛海南省试题）7．如果，那么